资源描述
榆林市2019届高考模拟第一次测试数学（理科）试题第卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则其虚部为（ ）A. B. C. -2 D. 2【答案】D【解析】【分析】先化简复数z，即可得出虚部.【详解】,故选D.【点睛】本道题考查了复数的四则运算，基础题.2.若集合，则中元素的个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A【解析】【分析】结合一元二次不等式的解法，得到集合B，然后结合集合交集运算性质，即可。【详解】化简B集合，得到B=x|2x1)的图像的大致形状是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得，又由可得函数图象选B。4.已知向量a,b满足|a|=1，|b|=2，|a+b|=6，则|ab|=（ ）A. 2 B. 2 C. 3 D. 5【答案】A【解析】【分析】根据题意明确ab，进而求出|a-b|的值.【详解】根据题意得，（a-b）2=a2+b22ab又（a+b）2=a2+2ab+b21+4+2ab=62ab=1，（a-b）21+414，a-b=2故选：A【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决列出方程组求解未知数.5.若,都是锐角，且cos=55，sin(+)=35，则cos= （ ）A. 2525 B. 255 C. 2525或255 D. 55或525【答案】A【解析】【分析】先计算出cos(+)，再利用余弦的和与差公式，即可.【详解】因为,都是锐角，且cos=5512，所以312，所以2+2的解集为（ ）A. (0,12)(2,+) B. (2,+)C. (0,22)(2,+) D. (0,22)【答案】A【解析】因为偶函数f(x)在(,0上是减函数，所以f(x)在(0,+)上是增函数，由题意知:不等式f(log4x)2等价于f(log4x)f(12),即f(|log4x|)f(12)|log4x|12,即log4x12或log4x12,解得0x211.函数f(x)=x3+log2(x+x2+1)，若对任意实数a,b，a+b0，则（ ）A. f(a)+f(b)0 B. f(a)+f(b)0C. f(a)f(b)0 D. f(a)f(b)0【答案】B【解析】易知函数f(x)为奇函数，且在R上单调递增，因为a+b0，所以ab，则f(a)f(b)=f(b)，即f(a)+f(b)0.故选B.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合运用.解决本题的关键在于联想到要判定函数fx的单调性和奇偶性，进而利用性质进行比较大小，这是一种常见题型，要多总结，多积累.12.已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左右两支分别交于A,B两点，若AB:BF2:AF2=3:4:5，则双曲线的离心率为（ ）A. 13 B. 15 C. 2 D. 3【答案】A【解析】【分析】本道题目关键利用AB2+BF22=AF22，建立等式，计算离心率，即可。【详解】设AB=3x,BF2=4x,AF2=5x，结合AF2AF1=2a，所以AF1=5x2a所以BF1=8x2a，而BF1BF2=2a，解得x=a，结合AB2+BF22=AF22 ,所以ABF2=900，所以BF12+BF22=F1F22，建立等式，得到4c2=52a2所以离心率e=ca=13，故选A.【点睛】本道题目考查了直线与双曲线位置关系问题，难度较大。第卷二、填空题（将答案填在答题纸上）13.我国南宋著名数学家秦久韶发现了由三角形三边长求三角形的面积“三斜求积”公式：设ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则ABC的面积S=14c2a2(c2+a2b22)，若a2sinC=4sinA，(a+c)2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为_【答案】3【解析】由正弦定理得，由a2sinC=4sinA得ac=4，则由(a+c)2=12+b2得a2+c2b2=4，则SABC=14(154)=3 .14.若函数f(x)=12x2+4x3lnx在t,t+1上不单调，则的取值范围是_【答案】0t1或2t3【解析】此题考查导数的应用；f(x)=x+43x=x24x+3x=(x1)(x3)x，所以当x(0,1),(3,+)时，原函数递增，当x(1,3)原函数递减；因为在t,t+1上不单调，所以在t,t+1上即有减又有增，所以0t11t+13或1t33t+10t1或2t0，前n项和为Sn，若an=Sn+Sn1 (nN+,n2).（1）求数列an的通项公式；（2）若数列1anan+1的前n项和为Tn，求证：120Tn0，式式得：Sn-Sn-1=1 (n2)，数列Sn以S1=a1=4=2为首项，公差为1的等差数列，Sn=2+(n-1)=n+1Sn=(n+1)2当n2时，an=Sn-Sn-1=(n+1)2-n2=2n+1当n=1时，a1=4，不满足上式，数列an的通项公式为an=4,n=12n+1,n2且nN+（2）由（1）知，an=4,n=12n+1,n2且nN+，则数列1anan+1的前n项和当n=1时，Tn=145=120，当n=1时，Tn=120，满足120Tn-14n+6-110120320-14n+6320.【点睛】本道题考查了构造等差数列和裂项相消法进行求和，难度较大。18.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且(2ac)(a2b2+c2)=2abccosC.（1）求角B的大小；（2）若sinA+13(cosC+32)=0，求ba的值.【答案】（1）B=600（2）3【解析】【分析】（1）利用正、余弦定理处理(2ac)(a2b2+c2)=2abcosC，即可得出答案。（2）展开sinA+13(cosC+33)=0，结合A+B+C=1800，和第一问计算出的角B的大小，即可得出A的值，结合正弦定理ba=sinBsinA，代入，即可。【详解】（1）角A,B,C的对边分别为a,b,c，且(2a-c)(a2-b2+c2)=2abccosC(2a-c)(a2+c2-b2)2ac=bcosC，(2a-c)cosB=bcosCb2a-c=cosBcosC，由正弦定理得：asinA=bsinB=csinC=2R，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，2RsinB4RsinA-2RsinC=cosBcosC，2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB =sin(C+B)=sinA，sinA0，cosB=12B(00,1800)，B=600.（2）sinA+1-3(cosC+32)=0，sinA+1-3cosC-32=0，sinA-3cosC=12，B=600，C=1800-600-A，C=1200-A，sinA-3cos(1200-A)=12，sinA-3(cos1200cosA+sin1200sinA)=12sinA-3(-12)cosA-32sinA=1232cosA-12sinA=12cos(A+300)=1200A1200，300A+300b0)的离心率e=32，左顶点M到直线xa+yb=1的距离d=455，O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线L与椭圆C相交于A,B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：O到直线AB的距离为定值.【答案】（1）x24+y2=1.（2）见解析【解析】【分析】（1）结合离心率e=ca,与a2=b2+c2，计算出a,b,c之间的关系，利用点到直线距离，计算a,b值，即可。（2）分直线AB斜率存在与不存在讨论，结合直线方程和椭圆方程,并利用OAOB=x1x2+y1y2=0,计算O到直线距离,即可.【详解】（1）椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=32，e=ca=32，c=32a，b2=a2-c2=a2-34a2=14a2，b=12a，即a=2b，椭圆C的左顶点M(-a,0)到直线xa+yb=1，即到bx+ay-ab=0的距离d=455，b(-a)-aba2+b2=2aba2+b2=455，把a=2b代入得：45b5=455，解得：b=1，a=2b=2，c=3，椭圆C的方程为x24+y2=1.（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，当直线AB的斜率不存在时，由椭圆的性质可得：x1=x2，y1=-y2，当直线AB的斜率不存在时，以AB为直径的圆经过坐标原点，OAOB=0，即x1x2+y1y2=0，也就是x12-y12=0，又点A在椭圆C上， x124+y12=1，以AB为直径的圆经过坐标原点，且AB平行于y轴，x1=y1，x124+x12=1，解得：x1=255此时点O到直线AB的距离d1=x1=255当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立有y=kx+mx24+y2=1，消去y，得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-41+4k2，同理：y=kx+mx24+y2=1，消去x，得y2-2my+m2+4k2y2-4k2=0，即(4k2+1)y2-2my+m2-4k2=0，y1y2=m2-4k24k2+1AB为直径的圆过坐标原点O，所以OAOB，OAOB=x1x2+y1y2=04m2-41+4k2+m2-4k24k2+1=04m2-4=-(m2-4k2)4k2+4=5m2点O到直线AB:y=kx+m的距离d2=mk2+1=2m4k2+4=2m5m2=255综上所述，点O到直线AB的距离为定值255.【点睛】本道题考查了椭圆性质和直线与椭圆位置关系,难度较大.20.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，连接BD，其中DA=DP，BA=BP.（1）求证：PABD；（2）若DADP，ABP=600，BA=BP=BD=2，求二面角DPCB的正弦值.【答案】(1)见解析；(2) sin=437【解析】试题分析：.（1）取AP中点M，易证PA面DMB，所以PABD，（2）以MP,MB,MD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，平面DPC的法向量n1=(-3,1,-3)，设平面PCB的法向量n2=(3,1,-3)，cosn1,n2=n1n2n1n2=17，即sin=437.试题解析：（1）证明：取AP中点M，连DM,BM，DA=DP，BA=BPPADM，PABM，DMBM=MPA面DMB，又BD面DMB，PABD（2）DA=DP，BA=BP，DADP，ABP=600DAP是等腰三角形，ABP是等边三角形，AB=PB=BD=2，DM=1，BM=3.BD2=MB2+MD2，MDMB以MP,MB,MD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(-1,0,0)，B(0,3,0)，P(1,0,0)，D(0,0,1)从而得DP=(1,0,-1)，DC=AB=(1,3,0)，BP=(1,-3,0)，BC=AD=(1,0,1)设平面DPC的法向量n1=(x1,y1,z1)则n1DP=0n1DC=0，即x1-z1=0x1+3y1=0，n1=(-3,1,-3)，设平面PCB的法向量n2=(x2,y1,z2)，由n2BC=0n2BP=0，得x2+z2=0x2-3y2=0，n2=(3,1,-3)cosn1,n2=n1n2n1n2=17设二面角D-PC-B为，sin=1-cos2n1,n2=437点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.21.已知f(x)=x22（1）若函数g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx在区间(0,1)上单调递减，求实数的取值范围；（2）函数h(x)=ln(1+x2)-12f(x)-k有几个零点？【答案】（1）a4 (2)见解析【解析】【分析】（1）将f(x)解析式代入g(x)中，结合导数，将问题转化成a-(2x2+2x)在(0,1)上恒成立问题，计算a的范围，即可。（2）将f(x)解析式代入h(x)中，计算导数，判定原函数单调性，计算h(x)极值，即可得出答案。【详解】（1）f(x)=x2-2，g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx=x2-2+2(x+1)+alnx=x2+2x+alnxg(x)=2x+2+axg(x)在区间(0,1)上单调递减，g(x)=2x+2+ax =2x2+2x+ax0在(0,1)上恒成立，2x2+2x+a0在(0,1)上恒成立，即a-(2x2+2x)在(0,1)上恒成立，-(2x2+2x)在(0,1)上单调递减，-4-(2x2+2x)0a-4（2）f(x)=x2-2，h(x)=ln(1+x2)-12f(x)-k=ln(1+x2)-12x2+1-k，函数h(x)的定义域为x(-,+)h(x)=2x1+x2-x=-x(x+1)(x-1)1+x2，令h(x)=0，解得：x1=0，x2=-1，x3=1，当x0，当-1x0时，h(x)0，当0x0，当x1时，h(x)ln2+12时，函数h(x)没有零点，当1kln2+12时，函数h(x)有四个零点，当k=ln2+12时，函数h(x)有两个零点，当k=1时，函数h(x)有三个零点，当k0）.（1）画出函数f(x)的图像；（2）若不等式f(x)5的解集为(,23,+)，求的值.【答案】(1)见解析；(2)2【解析】【分析】（1）针对x取不同范围，去掉绝对值，得到f(x)的解析式，绘制图像，即可。（2）结合图像，得到f(2),f(3)的值，代入，即可。【详解】（1）f(x)=|x+1|+|x-a|(a0)当x-1时，f(x)=-(x+1)-(x-a)=-2x-1+a当-1a时，f(x)=x+1+x-a=2x+1-a，f(x)=-2x-1+a,x-1a+1,-1a画出函数f(x)的图像如图：（2）的解集为，且由（1）中解图知：在中单调递减，在中单调递增，当时，若不等式的解集为，则的值为2.【点睛】本道题考查了含绝对值函数的图像绘制和图像性质，难度中等。
展开阅读全文