连续函数的四则运算.ppt

1 连续函数的四则运算 2 反函数与复合函数的连续性 3 初等函数的连续性 基本初等函数在各自的定义域上都连续 初等函数在其各自的定义域上都连续 这里定义 区间指包含在其定义域内的区间 4 闭区间上连续函数的性质 1 11连续函数的运算与性质 一 连续函数的算术运算 定理1 则 例如 故 在其定义域内连续 二 复合函数的连续性 定理2 若 连续 则有 证 恒有 又 对上述 当 时 恒有 结合上述两步得 当 时 恒有 意义 1 2 极限符号可以与连续函数符号互换 定理3 且 则复合函数 注意 定理4是定理3的特殊情况 例如 例1 完 求 解 例 完 求 解 例2 完 求 解 因为 所以 三 初等函数的连续性 的 且连续 调且连续 在 内连续 在它们的定义域内是连续 初等函数的连续性 定理4 基本初级函数 定理5 一切初级函数 定义区间是指 注意 1 但在其 定义域内不一定连续 例如 在这些孤立点的领域内没有定义 及 在定义域内是连续的 在其定义区间内都是连续的 包含在定义域内的区间 初等函数仅在其定义区间内连续 在这些孤立点的领域内没有定义 及 在0点的领域内没有定义 2 定义区间 连续 初等函数求极限的方法 代入法 完 例3 完 求 解 且 是其定义区间内的点 处连续 于是 幂指函数 因为 故幂指函数可化为复合函数 易见 若 则 即 注意公式成立的条件 例6 求 称为幂指函数 解 完 定义 如果 有 例如 四 闭区间上连续函数的性质 定理6最大值和最小值定理 在闭区间上连续的函数 一定有最大值和最小值 定理7有界性定理 在闭区间上连续的函数 证 使得 有 取 完 一定在该区间上有界 定义 的零点 定理8零点定理 且 即 即至少有 一点 使 那么在开区 定理9介值定理 且 在这区间的端点取不同的函数值 推论1 在闭区间上连续的函数 必取得介于最大值 例5 完 证 证明方程 少有一个实根 令 又 由零点定理 使 即 方程 根 例6 完 证 且 证明 使得 令 而 由零点定理 使 即 1 设 试研究复合函数 2 课堂练习 1 设 试研究复合函数 解 又 故 是它的可去间断点 2 解 设 由于 根据介值定理的推论可知 内至少各有一个根 完 又因为三次方程的根最多有三个 内容小结 1 连续函数的四则运算 2 反函数与复合函数的连续性 3 初等函数的连续性 基本初等函数在各自的定义域上都连续 初等函数在其各自的定义域上都连续 这里定义 区间指包含在其定义域内的区间 4 闭区间上连续函数的性质