连续函数的概念与性质.ppt

主要内容 一 函数的连续性 二 函数的间断点 三 初等函数的连续性 四 闭区间上连续函数的性质 第一章函数与极限第八 九节连续函数的概念与性质 一 函数的连续性 1 函数的增量 2 连续的定义 例1 证 由定义2知 3 单侧连续 定理 例2 解 右连续但不左连续 4 连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如 多项式函数在R上是连续的 四则运算的连续性 定理1 例如 意义 1 极限符号可以与函数符号互换 例3 解 定理2 二 函数的间断点 1 跳跃间断点 例4 解 2 可去间断点 例5 解 注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义 则可使其变为连续点 如例5中 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点 特点 3 第二类间断点 例6 解 例7 解 例8 解 内容小结 1 函数在一点连续必须满足的三个条件 3 间断点的分类与判别 2 区间上的连续函数 第一类间断点 可去型 跳跃型 第二类间断点 无穷型 振荡型 间断点 见下图 可去型 第一类间断点 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 思考题1 思考题1解答 且 1 一类 一类 二类 2 定理3基本初等函数在定义域内是连续的 定理4一切初等函数在其定义区间内都是连续的 定义区间是指包含在定义域内的区间 三 初等函数的连续性 初等函数仅在其定义区间内连续 在其定义域内不一定连续 例如 这些孤立点的邻域内没有定义 在0点的邻域内没有定义 注意1 注意2初等函数求极限的方法代入法 例9 例10 解 解 四 连续性在求极限中的应用 利用函数y f u 在u A点连续的定义 可以证明 如果 特别 1 当f u au则 2 当f u logau则 3 当f u 为实数 则 特别 第二章中的对数函数 幂函数 指数函数求导公式的推导过程要用到下面几个极限 例11 求下列极限 a 0a 1 解 1 重要极限 lne 1 1 最大值和最小值定理 定义 例如 五 闭区间上连续函数的性质 定理3 最大值和最小值定理 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值 注意 1 若区间是开区间 定理不一定成立 2 若区间内有间断点 定理不一定成立 定理4 有界性定理 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 证 2 介值定理 定义 几何解释 几何解释 证 由零点定理 推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值 例11 证 由零点定理 例12 证 由零点定理 小结 四个定理 最值定理 有界性定理 零点定理 介值定理 注意1 闭区间 2 连续函数 这两点不满足 上述定理不一定成立 解题思路 1 直接法 先利用最值定理 再利用介值定理 2 辅助函数法 先作辅助函数F x 再利用零点定理 但反之不成立 例 但 思考题2 下述命题是否正确 思考题2解答 不正确 例函数 六 习题演练