高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 极大值与极小值学案 苏教版选修2-2.doc

1.3.2　极大值与极小值 学习目标 重点难点 1．记住函数的极大值、极小值的概念． 2．结合图象知道函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 3．会用导数求不超过三次的多项式函数的极大、极小值. 重点：利用导数求函数的极值． 难点：函数极值的判断和与极值有关的参数问题. 1．极值 (1)观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调________变为单调________)，这时在点P附近，点P的位置最高，亦即f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个________． (2)类似地，上图中f(x2)为函数的一个________． (3)函数的极大值、极小值统称为函数的______． 预习交流1 做一做：函数y＝－|x|有极______值______． 2．极值点与导数的关系 观察上面的函数的图象，发现： (1)极大值与导数之间的关系如下表： x x1左侧 x1 x1右侧 f′(x) f′(x)____ f′(x)____ f′(x)____ f(x) 增 极大值f(x1) 减 (2)极小值与导数之间的关系如下表： x x2左侧 x2 x2右侧 f′(x) f′(x)____ f′(x)____ f′(x)____ f(x) 减 极小值f(x2) 增 预习交流2 做一做：函数f(x)＝3x－x3的极大值为________，极小值为________． 预习交流3 议一议：(1)导数为0的点一定是函数的极值点吗？ (2)函数在极值点处的导数一定等于0吗？ (3)一个函数在一个区间的端点处可以取得极值吗？ (4)一个函数在给定的区间上是否一定有极值？若有极值，是否可以有多个？极大值一定比极小值大吗？ 在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！ 我的学困点 我的学疑点 答案： 预习导引 1．(1)递增　递减　极大值　(2)极小值　(3)极值 预习交流1：提示：大　0 2．(1)＞0　＝0　＜0　(2)＜0　＝0　＞0 预习交流2：提示：f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0得x＝1，由极值的定义可得函数的极大值为f(1)＝2，极小值为f(－1)＝－2. 预习交流3：提示：(1)不一定，例如对于函数f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件． (2)不一定，例如函数f(x)＝|x－1|，它在x＝1处取得极小值，但它在x＝1处不可导，就更谈不上导数等于0了． (3)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义． (4)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小． 一、求函数的极值 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝－2. 思路分析：首先从方程f′(x)＝0入手，求出在函数f(x)的定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断这些点是否为极值点． 1．函数y＝1＋3x－x3有极大值__________，极小值__________． 2．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值． 利用导数求函数极值的步骤： (1)求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的所有实数根； (3)考察在每个根x0附近，从左到右导函数f′(x)的符号如何变化： ①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值； ②如果由负变正，则f(x0)是极小值； ③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧f′(x)的符号不变，则不是极值点． 二、已知函数的极值求参数范围 已知函数f(x)＝ax3＋bx＋2在x＝1处取得极值，且极值为0. (1)求a，b的值； (2)求f(x)的另一个极值． 思路分析：由极值的定义可知f′(1)＝0，再结合f(1)＝0，建立关于a，b的方程即可求得a，b的值，从而得出另一个极值． 1．已知函数y＝－x3＋6x2＋m有极大值13，则m的值为________． 2．若函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是__________． 1．已知函数极值情况，逆向应用，确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和已知极值(或极值之间的关系)列方程组，利用待定系数法求解； (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． 2．对于可导函数f(x)，若它有极值点x0，则必有f′(x0)＝0，因此函数f(x)有极值的问题，往往可以转化为方程f′(x)＝0有根的问题加以解决． 三、利用函数的极值画函数图象 求函数y＝2x＋的极值，并结合单调性、极值作出该函数的大致图象． 思路分析：先求出函数的极值点和极值，从而把握函数在定义域内各个区间上的单调性和在极值点处的函数值，以及x→∞时的f(x)的变化趋势，据此可画出函数的大致图象． 已知函数f(x)＝x3－4x＋4，求函数的极值，并画出函数的大致图象． 1．列表时应将定义域内的间断点(如x＝0)考虑进去． 2．极大值不一定比极小值大，这是因为极值是相对某一区域讨论的． 3．借助函数的性质(如奇偶性、单调性、极值、周期等)研究函数图象是重要手段． 1．(2012陕西高考改编)设函数f(x)＝xex，则下列说法正确的是__________．(填序号) ①x＝1为f(x)的极大值点　②x＝1为f(x)的极小值点 ③x＝－1为f(x)的极大值点　④x＝－1为f(x)的极小值点 2．若函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－1在x＝2处有极值，则a的值为__________． 3．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为________． 4．关于函数f(x)＝x3－3x2有下列命题，其中正确命题的序号是________． ①f(x)是增函数；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值． 5．已知函数f(x)=ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如下图所示，则下列说法中不正确的是____________.(填序号) ①当x＝时函数取得极小值；②f(x)有两个极值点；③当x＝2时函数取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值． 6．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R，有大于零的极值点，则a的取值范围是________． 提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记． 知识精华 技能要领 答案： 活动与探究1：解：(1)函数f(x)的定义域为R. f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)． 令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 f(－2)＝16 极小值 f(2)＝－16 从上表可以看出： 当x＝－2时，函数有极大值，且f(－2)＝16； 当x＝2时，函数有极小值，且f(2)＝－16. (2)函数的定义域为R. f′(x)＝＝－. 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 极小值 f(－1)＝－3 极大值 f(1)＝－1 由上表可以看出： 当x＝－1时，函数有极小值，且f(－1)＝－3； 当x＝1时，函数有极大值，且f(1)＝－1. 迁移与应用： 1．3　－1　解析：f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0得x＝1， 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，当x∈(－1,1)时，f′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0， ∴f(x)在x＝－1处取极小值－1， 在x＝1处取极大值3. 2．解：f′(x)＝3x2－6x－9. 令3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 因此，当x＝－1时，f(x)有极大值，且极大值为f(－1)＝10；当x＝3时，f(x)有极小值，且极小值为f(3)＝－22. 活动与探究2：解：(1)∵f(x)＝ax3＋bx＋2， ∴f′(x)＝3ax2＋b. 依题意可得f′(1)＝0且f(1)＝0， 即解得 (2)由(1)知f(x)＝x3－3x＋2，f′(x)＝3x2－3， 令f′(x)＝0得3x2－3＝0，所以x＝1. 故函数f(x)在x＝－1处取得另一个极值，且极值为f(－1)＝－1＋3＋2＝4. 迁移与应用： 1．－19　解析：y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．令y′＝0得x＝0或x＝4，当x＜0或x＞4时，y′＜0，函数递减；当0＜x＜4时，函数递增，故f(x)在x＝4处取得极大值，且f(4)＝－64＋96＋m＝13，故m＝－19. 2．a＜0　解析：f′(x)＝3x2＋a，由于f(x)在R上有两个极值点，所以方程f′(x)＝0在R上有两个不同的实数根，即Δ＝0－12a＞0，解得a＜0. 活动与探究3：解：函数的定义域为x∈R且x≠0. y′＝2－，令y′＝0，得x＝2. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表： x (－∞，－2) －2 (－2,0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) y′ ＋ 0 － － 0 ＋ y －8 8 因此当x=－2时，y取得极大值－8； 当x=2时，y取得极小值8. 由表易知y=2x+的草图如图所示． 迁移与应用： 解：(1)f′(x)=x2－4. 解方程x2－4=0，得x1=－2，x2=2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，+∞) f′(x) + 0 － 0 + f(x) 从上表看出，当x＝－2时，函数有极大值，且极大值为f(－2)＝； 而当x=2时，函数有极小值，且极小值为f(2)=. 函数f(x)=x3－4x+4的图象如图所示． 当堂检测 1．④　解析：由f′(x)＝x′ex＋(ex)′x＝ex＋exx＝ex(x＋1)＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f′(x)＜0，f(x)在(－∞，－1)上是减少的；当x＞－1时，f′(x)＞0，f(x)在(－1，＋∞)上是增加的．所以x＝－1为f(x)的极小值点． 2．－15　解析：f′(x)＝6x2＋2ax＋36，依题意f′(2)＝0，所以24＋4a＋36＝0，解得a＝－15. 3．－1　解析：定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1.令f′(x)＝0得x＝1，且当0＜x＜1时，f′(x)＞0，x∈(1，e)时f′(x)＜0，故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1. 4．③④　解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，则x＝0或x＝2.利用极值的求法可求得x＝0是极大值点，x＝2是极小值点． 5．①　解析：从图象上可以看到：当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时函数取得极大值．只有①不正确． 6．a＜－1　解析：y′＝ex＋a，依题意方程ex＋a＝0有大于0的实数根，而a＝－ex，所以ex＞1，－ex＜－1，即a＜－1.