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2016-2017年上海市嘉定区高三第二次（4月）质量调研数学一、填空题：共12题1函数y=2sin22x-1的最小正周期是_.【答案】2【解析】本题考查二倍角公式,三角函数的性质.由题意得y=2sin22x-1=-cos4x,其周期T=24=2.即函数y=2sin22x-1的最小正周期是2.2设i为虚数单位，复数z=1-2i2+i，则z=_.【答案】1【解析】本题考查复数的概念与运算.z=1-2i2+i=1-2i2-i2-i2+i=-5i5=-i;所以z=1.3设f-1x为fx=2xx+1的反函数，则f-11=_.【答案】1【解析】本题考查反函数.令fx=2xx+1=1,解得x=1,所以f-11=1.4limn2n+1+3n+12n+3n=_.【答案】3【解析】本题考查极限.limn2n+1+3n+12n+3n=limn2(23)n+3(23)n+1=2+limn1(23)n+1=2+10+1=3.5若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是_.【答案】6【解析】本题考查圆锥.由题意得122Rl=2R2,即l=2R,所以sin=Rl=12,即=6.即母线与轴所成角的大小是6.6设等差数列an的前n项和为Sn，若a5a3=53，则S5S3=_.【答案】52【解析】本题考查等差数列.因为a5a3=a1+4da1+2d=53,解得a1=d;所以S5S3=56d34d=52.【备注】等差数列:an=a1+n-1d,Sn=nan+a12=na1+nn-12d7直线x=2+ty=4-t(t为参数)与曲线x=3+2cosy=5+2sin(为参数)的公共点的个数是_.【答案】1【解析】本题考查直线、曲线的参数方程.削参得直线的普通方程:x+y-6=0;削参得曲线的普通方程:(x-3)2+(y-5)2=2;圆心到直线的距离d=|3+5-6|2=2=R,即直线与圆相切,所以直线与曲线的公共点的个数是1.8已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为x23-y2=1，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为_.【答案】x2-y23=1【解析】本题考查双曲线的标准方程与几何性质.由题意得C1的焦点为(2,0),所以双曲线C2的焦点为(2,0),即c=2;而C1的一条渐近线为y=33x,其斜率k=tan=33,即C1的一条渐近线的倾斜角=6;而C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍,所以C1的一条渐近线的倾斜角为2=3,其斜率k=3,即C2的一条渐近线为y=3x=bax,即ba=3;而a2+b2=c2,解得a=1,b=3,所以C2的方程为x2-y23=1.【备注】双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0),离心率e=ca,a2+b2=c2,渐近线为y=bax.9若f(x)=x13-x-12，则满足f(x)0的x的取值范围是_.【答案】(1,+)【解析】本题考查幂函数.由题意得x0,若fx=x13-x-120,则x56-10,即x561,即x1;所以满足f(x)0的x的取值范围是(1,+).10某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为_.【答案】1315【解析】本题考查互斥事件的概率.由题意得至少有一种新产品研发成功的概率P=1-231-35=1-215=1315.11设等差数列an的各项都是正数，前n项和为Sn，公差为d.若数列Sn也是公差为d的等差数列，则an的通项公式an=_.【答案】2n-14【解析】本题考查等差数列,数列求和.因为数列Sn是公差为d的等差数列,所以Sn=a1+(n-1)d;即S2=2a1+d=a1+d,S3=3a1+3d=a1+2d,解得a1=14,d=12;所以an=14+12n-1=2n-14.即an的通项公式an=2n-14.【备注】等差数列:an=a1+(n-1)d,Sn=n(an+a1)2=na1+n(n-1)2d.12设xR，用x表示不超过x的最大整数(如2.32=2，-4.76=-5)，对于给定的nN*，定义Cnx=n(n-1)(n-x+1)x(x-1)(x-x+1)，其中x1,+)，则当x32,3)时，函数f(x)=C10x的值域是_.【答案】(5,203(15,45【解析】本题考查函数的值域,新定义问题.当x32,2)时,函数fx=C10x=10x,此时fx单减,可得fx=10x(5,203；当x2,3)时,函数fx=C10x=90x(x-1),此时fx单减,可得fx(15,45；所以当x32,3)时，函数f(x)=C10x的值域是(5,203(15,45.二、选择题：共4题每题5分共20分13命题“若x=1，则x2-3x+2=0”的逆否命题是A.若x1，则x2-3x+20B.若x2-3x+2=0，则x=1C.若x2-3x+2=0，则x1D.若x2-3x+20，则x1【答案】D【解析】本题考查命题及其关系.命题“若x=1，则x2-3x+2=0”的逆否命题是“若x2-3x+20，则x1”.选D.14如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、E是AB的三等分点，G、N是CD的三等分点，F、H分别是BC、MN的中点，则四棱锥A1-EFGH的左视图是A.B.C.D.【答案】C【解析】本题考查三视图.由题意得四棱锥A1-EFGH的左视图是C.选C.15已知ABC是边长为4的等边三角形，D、P是ABC内部两点，且满足AD=14(AB+AC)，AP=AD+18BC，则ADP的面积为A.34B.33C.32D.3【答案】A【解析】本题考查平面向量的线性运算.取BC的中点E,连接AE,则AE=12(AB+AC),AEBC；因为AD=14(AB+AC),所以AD=12AE,即AD=12AE=3;而AP=AD+18BC,所以ADDP,且DP=18BC=12;所以SADP=12ADPD=12312=34.选A.16已知f(x)是偶函数，且f(x)在0,+)上是增函数，若f(ax+1)f(x-2)在x12,1上恒成立，则实数a的取值范围是A.-2,1B.-2,0C.-1,1D.-1,0【答案】B【解析】本题考查函数的性质,不等式恒成立问题.由题意得|ax+1|x-2|在x12,1上恒成立,即ax+12-x在x12,1上恒成立,即ax+11在x12,1上恒成立,即-2ax0在x12,1上恒成立,所以a0a-2x,而x12,1,所以-2a0.即实数a的取值范围是-2,0.选B.三、解答题：共5题17在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a-b=2，c=4，sinA=2sinB.(1)求ABC的面积S；(2)求sin(2A-B)的值.【答案】(1)因为sinA=2sinB，所以由正弦定理得a=2b；又a-b=2，故a=4，b=2，所以cosA=b2+c2-a22bc=14;因为A(0,)，所以sinA=154.所以S=12bcsinA=1224154=15.(2)因为sinA=154，cosA=14，所以sin2A=2sinAcosA=158，cos2A=cos2A-sin2A=-78，sinB=12sinA=158，因为bb0)过点(1,32)，两个焦点为F1(-1,0)和F2(1,0).圆O的方程为x2+y2=a2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F1且斜率为k(k0)的动直线l与椭圆C交于A、B两点，与圆O交于P、Q两点(点A、P在x轴上方)，当|AF2|，|BF2|，|AB|成等差数列时，求弦PQ的长.【答案】(1)由题意得c=1；设椭圆C的方程为x2a2+y2a2-1=1，将点(1,32)代入1a2+94(a2-1)=1,解得a2=4(a2=14舍去)，所以，椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)由椭圆定义，|AF1|+|AF2|=4，|BF1|+|BF2|=4，两式相加，得|AB|+|AF2|+|BF2|=8；因为|AF2|，|BF2|，|AB|成等差数列，所以|AB|+|AF2|=2|BF2|；于是3|BF2|=8，即|BF2|=83.设B(x0,y0)，由(x0-1)2+y02=649x024+y023=1,解得B(-43,-153)，所以k=15，直线l的方程为y=15(x+1)，即15x-y+15=0，圆O的方程为x2+y2=4，圆心O到直线l的距离d=154，此时，弦PQ的长|PQ|=24-d2=72.【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆的位置关系,等差数列.(1)由题意求得c=1，a2=4，所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)由椭圆的定义得|AB|+|AF2|+|BF2|=8；因为AF2,BF2,|AB|成等差数列，求得|BF2|=83.联立方程求得B(-43,-153)，所以k=15，l为15x-y+15=0，求得圆心O到直线l的距离d=154，|PQ|=24-d2=72.20如果函数y=f(x)的定义域为R，且存在实常数a，使得对于定义域内任意x，都有f(x+a)=f(-x)成立，则称此函数f(x)具有“P(a)性质”.(1)判断函数y=cosx是否具有“P(a)性质”，若具有“P(a)性质”，求出所有a的值的集合；若不具有“P(a)性质”，请说明理由；(2)已知函数y=f(x)具有“P(0)性质”，且当x0时，f(x)=(x+m)2，求函数y=f(x)在区间0,1上的值域；(3)已知函数y=g(x)既具有“P(0)性质”，又具有“P(2)性质”，且当-1x1时，g(x)=|x|，若函数y=g(x)的图像与直线y=px有2017个公共点，求实数p的值.【答案】(1)由题意，cos(x+a)=cos(-x)，即cos(x+a)=cosx对于任意实数x成立，由诱导公式cos(x+2k)=cosx，函数y=cosx具有“P(a)性质”，且所有a的值的集合为a|a=2k,kZ.(2)因为函数y=f(x)具有“P(0)性质”，所以f(x)=f(-x)，即y=f(x)是偶函数.所以当x0时，-x0，f(x)=f(-x)=(-x+m)2=(x-m)2.当m0时，函数y=f(x)在0,1上递增，值域为m2,(1-m)2.当0m1时，函数y=f(x)在0,1上递减，值域为(1-m)2,m2.(3)由题意g(x)=g(-x)，函数y=g(x)偶函数，又g(x+2)=g(-x)=g(x)，所以函数y=g(x)是以2为周期的函数.因为当-1x1时，g(x)=|x|，所以当1x3时，-1x-21，g(x)=g(x-2)=|x-2|，一般地，当2k-1x2k+1(kZ)时，g(x)=|x-2k|.作出函数y=g(x)的图像，可知，当p=0时，函数y=g(x)与直线y=px交于点(2k,0)(kZ)，即有无数个交点，不合题意.当p0时，在区间0,2016上，函数y=g(x)有1008个周期，要使函数y=g(x)的图像与直线y=px有2017个交点，则直线在每个周期内都有2个交点，且第2017个交点恰好为(2017,1)，所以p=12017.同理，当p0且a1)，对于任意的n,mN*，都有an+m=anam，则称数列an为指数数列.(1)已知数列an，bn的通项公式分别为an=32n-1，bn=3n，试判断an，bn是不是指数数列(需说明理由)；(2)若数列an满足：a1=2，a2=4，an+2=3an+1-2an，证明：an是指数数列；(3)若数列an是指数数列，a1=t+3t+4(tN*)，证明：数列an中任意三项都不能构成等差数列.【答案】(1)对于数列an，a1=3，a2=6，a3=12;因为a3=a1+2a1a2，所以an不是指数数列.对于数列bn，对任意n,mN*，因为bn+m=3n+m=3n3m=bnbm，所以bn是指数数列.(2)由题意，an+2-an+1=2(an+1-an)，所以数列an+1-an是首项为a2-a1=2，公比为2的等比数列.所以an+1-an=2n.所以an=an-an-1+an-1-an-2+a2-a1+a1=2n-1+2n-2+2+2=2(1-2n-1)1-2+2=2n，即an的通项公式为an=2n(nN*).所以an+m=2n+m=2n2m=anam，故an是指数数列.(3)因为数列an是指数数列，故对于任意的n,mN*，有an+m=anam;令m=1，则an+1=ana1=t+3t+4an，所以an是首项为t+3t+4，公比为t+3t+4的等比数列;所以an=(t+3t+4)n.假设数列an中存在三项au，av，aw构成等差数列，不妨设uvw，则由2av=au+aw，得2(t+3t+4)v=(t+3t+4)u+(t+3t+4)w，所以2(t+4)w-v(t+3)v-u=(t+4)w-u+(t+3)w-u，当t为偶数时，2(t+4)w-v(t+3)v-u是偶数，而(t+4)w-u是偶数，(t+3)w-u是奇数，故2(t+4)w-v(t+3)v-u=(t+4)w-u+(t+3)w-u不能成立；当t为奇数时，2(t+4)w-v(t+3)v-u是偶数，而(t+4)w-u是奇数，(t+3)w-u是偶数，故2(t+4)w-v(t+3)v-u=(t+4)w-u+(t+3)w-u也不能成立.所以，对任意tN*，2(t+4)w-v(t+3)v-u=(t+4)w-u+(t+3)w-u不能成立，即数列an的任意三项都不成构成等差数列.(另证：因为对任意tN*，2(t+4)w-v(t+3)v-u一定是偶数，而t+4与t+3为一奇一偶，故(t+4)w-u与(t+3)w-u也为一奇一偶，故等式右边一定是奇数，等式不能成立.)【解析】本题考查新定义问题,等差、等比数列，数列求和.(1)因为a3=a1+2a1a2，所以an不是指数数列.因为bn+m=bnbm，所以bn是指数数列.(2)证得数列an+1-an是等比数列,所以an+1-an=2n.累加求得an=2n.满足an+m=anam，故an是指数数列.(3)因为数列an是指数数列，有an+m=anam;令m=1得an=(t+3t+4)n.反证法,推出矛盾,所以数列an的任意三项都不成构成等差数列.
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