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习题课 一 曲线积分的计算法 二 曲面积分的计算法 线面积分的计算 第十一章 一 曲线积分的计算法 1 基本方法 曲线积分 第一类 对弧长 第二类 对坐标 1 选择积分变量 定积分 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 2 确定积分上下限 第一类 下小上大 第二类 下始上终 练习题 P244题3 1 3 6 解答提示 计算 其中L为圆周 提示 利用极坐标 原式 说明 若用参数方程计算 则 P2443 1 P2443 3 计算 其中L为摆线 上对应t从0到2 的一段弧 提示 P2443 6 计算 其中 由平面y z截球面 提示 因在 上有 故 原式 从z轴正向看沿逆时针方向 1 利用对称性及重心公式简化计算 2 利用积分与路径无关的等价条件 3 利用格林公式 注意加辅助线的技巧 4 利用斯托克斯公式 5 利用两类曲线积分的联系公式 2 基本技巧 例1 计算 其中 为曲线 解 利用轮换对称性 有 利用重心公式知 的重心在原点 例2 计算 其中L是沿逆 时针方向以原点为中心 解法1令 则 这说明积分与路径无关 故 a为半径的上半圆周 解法2 它与L所围区域为D 利用格林公式 思考 2 若L同例2 如何计算下述积分 1 若L改为顺时针方向 如何计算下述积分 则 添加辅助线段 思考题解答 1 2 证 把 例3 设在上半平面 内函数 具有 连续偏导数 且对任意t 0都有 证明 对D内任意分段光滑的闭曲线L 都有 两边对t求导 得 则有 因此结论成立 2006考研 计算 其中L为上半圆周 提示 沿逆时针方向 练习题 P244题3 5 P245题6 11 3 5 用格林公式 P2456 设在右半平面x 0内 力 构成力场 其中k为常数 证明在此力场中 场力所作的功与所取的路径无关 提示 令 易证 P24511 求力 沿有向闭曲线 所作的 其中 为平面x y z 1被三个坐标面所截成三 提示 方法1 从z轴正向看去沿顺时针方向 利用对称性 角形的整个边界 功 设三角形区域为 方向向上 则 方法2 利用 公式 斯托克斯公式 例4 设L是平面 与柱面 的交线 从z轴正向看去 L为逆时针方向 计算 解 记 为平面 上L所围部分的上侧 D为 在xOy面上的投影 由斯托克斯公式 公式 D的形心 二 曲面积分的计算法 1 基本方法 曲面积分 第一类 对面积 第二类 对坐标 二重积分 1 选择积分变量 代入曲面方程 2 积分元素投影 第一类 始终非负 第二类 有向投影 3 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面 思考题 1 二重积分是哪一类积分 答 第一类曲面积分的特例 2 设曲面 问下列等式是否成立 不对 对坐标的积分与 的侧有关 2 基本技巧 1 利用对称性及重心公式简化计算 2 利用高斯公式 注意公式使用条件 添加辅助面的技巧 辅助面一般取平行坐标面的平面 3 两类曲面积分的转化 练习 P244题4 3 其中 为半球面 的上侧 且取下侧 原式 P244题4 2 P245题10同样可利用高斯公式计算 记半球域为 高斯公式有 计算 利用 例5 证明 设 常向量 则 单位外法向向量 试证 例6 计算曲面积分 其中 解 思考 本题 改为椭球面 时 应如何 计算 提示 在椭球面内作辅助小球面 内侧 然后用高斯公式 例7 设 是曲面 解 取足够小的正数 作曲面 取下侧 使其包在 内 为xOy平面上夹于 之间的部分 且取下侧 取上侧 计算 则 第二项添加辅助面 再用高斯公式 注意曲面的方向 得 例8 计算曲面积分 中 是球面 解 用重心公式 作业 P2443 2 4 4 2 5 9 备用题1 已知平面区域 L为D的边界 试证 证 1 根据格林公式 所以相等 从而 左端相等 即 1 成立 2003考研 因 两式右端积分具有轮换对称性 2 由 式 由轮换对称性 1 在任一固定时刻 此卫星能监视的地球表面积是 2 地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄象机 能监视其 视线 所及地球表面的每一处的景象并摄像 若地球半径为R 卫星距地球表面高度为H 0 25R 卫星绕地球一周的时间为T 试求 2 在 解 如图建立坐标系 的时间内 卫星监视的地球 表面积是多少 多少 设卫星绕y轴旋转 1 利用球坐标 任一固定时刻监视的地球表面积为 2 在 时间内监视的地球表面积为 点击图片任意处播放开始或暂停 注意盲区与重复部分 其中S0为盲区面积 1 利用球坐标 任一固定时刻监视的地球表面积为 2 在 其中盲区面积 时间内监视的地球表面积为 斯托克斯 Stokes 公式