动力学专题(单自由度系统的振动).ppt

1 第20章动力学专题 单自由度系统的振动 大学物理 下册 天大李金锷编 第一章详细阐述了单自由度系统的振动 包括振动方程的建立 各种基本概念 有阻尼与无阻尼自由振动和强迫振动解的性质 运动规律及其各种现象 这些内容与本章大部分内容相同 故不再详细介绍 本课主要讲解以下内容 振动的二重性 振动的分类 2 用理论力学各种动力学理论建立振动微分方程 而不仅是用牛顿第二定律 主要是刚体及刚体系统的振动问题 3 固有频率的求法 4 振动在工程中的应用 简介弹性体的振动 固有频率 固有振型 模态的概念 1 概述 振动是一大类特殊的动力学问题 是动力学与控制 一般力学 专业研究的主要内容之一 2 20 1概述 1 振动 机械振动 特殊的运动形式 特殊的动力学现象 一个振动系统必须伴随保守力场的存在 常见有弹性力场 重力场 描述振动规律的方程为关于坐标的二阶微分方程 组 2 振动的二重性 缺点 振动过大引起系统动态特性不良 噪音过大 大多数问题中应避免振动过大 解决办法 改变结构 振动控制 如隔振 优点 利用振动 如振动机械 一些测量仪器中利用临界阻尼以使指针平稳等 3 振动的分类 按自由度分类 a 单自由度振动系统 常微分方程 如 物理形式 数学形式 或 同学举例 动静法 3 b 多自由度振动系统 常微分方程 组 c 弹性体振动 无穷多自由度 偏微分方程 组 如 均为n阶 均为n n阶 如等直杆的无阻尼纵向强迫振动方程 按振动微分方程分类 b 非线性振动 a 线性振动 如 两种方程 系统 在解法上和解的性质上存在本质的差异 大部分非线性方程不存在封闭解 只能得到近似解或作定性分析 非线性系统的解不再具有迭加性 非线性振动 非线性动力学 是目前数学 力学 物理学 生物学 社会科学等多个领域研究的热点和前沿 4 按受力分类 b 强迫振动 受迫振动 按解的周期性分类 a 自由振动 b 非周期振动 a 周期振动 解是周期的 有阻尼自由振动 衰减振动 如 如 如 如简谐振动 线性系统 倍周期运动 非线性系统 如自由衰减振动 线性系统 概周期运动 混沌运动 非线性系统 了解上述概念对今后的学习和工作是有益的 5 如 非线性转子 有非线性油膜力和汽流力 在不平衡激励 周期的 下的响应 辛晓辉2005 周期1 周期2 周期4 混沌 分岔图 相图 Poincar 映射图 混沌吸引子 6 20 2振动微分方程的建立 除牛顿第二定律外 可以试用各种动力学方法建立振动微分方程 只是将列出的动力学方程写成位移坐标的导数形式 事实上是含 角 加速度的动力学方程 例1 例12 1改 在重物下加弹簧 设初始静止 弹簧为原长 弹簧系数为k 可用多种方法建立振动微分方程 对本题 你会用什么方法 哪种方法有效 动能定理 动量定理 动量矩定理 达朗贝尔原理 动静法 动力学普遍方程 拉格朗日方程 机械能守恒定律 对本题 共6大类方法有效 7 解 动能定理 研究整体 设重物自初始上升s 各物体速度如图 代入 1 式 整理得 对t求导 得 代入 2 式 整理得标准振动方程 1 2 含常数项 非标准形式 你可以试一下其它方法 事实上 x为重物从平衡位置开始的位移 坐标 8 20 3固有频率的求法 一 通过建立振动微分方程求 二 能量法 两种方法 对单自由度 无阻尼 线性 自由振动系统 你已经会用各种动力学方法建立振动微分方程 写成标准形式 固有频率指无阻尼线性系统的固有频率 0即系统的固有频率 圆频率 对单自由度 无阻尼 线性 自由振动系统 其解一定为 9 例2求例1中系统振动的固有频率 解2 能量法 设重物自初始上升s 各物体速度如图 系统在任一位置的动能 设系统在静平衡位置时 弹簧伸长量为s0 解1 通过建振动方程求 例1已求得标准振动方程 则系统振动的固有频率为 则 则系统振动时最大动能 而速度振幅 10 设系统静平衡位置为0势能点 此时弹簧伸长量为s0 系统在任一位置的势能为 在静平衡位置 给系统虚位移 由虚位移原理 则系统势能 而位移振幅 则系统最大势能 11 在静平衡位置 考虑滚子 滑轮 重物的平衡 系统为单自由度自由振动 由能量法 即 注 也可由静力学平衡方程求出关系式 考虑如何求 作业 20 5 20 7 试用两种方法求 12 20 4 无阻尼 自由振动 一 模型 两种最简模型如图 二 振动方程 式中 无阻尼 固有 圆 频率 固有周期 固有频率 三 方程的解 由常微分方程理论知方程 1 的解 扭转振动 对扭转振动 式中A和 为由初始条件确定的两个常数 13 20 5衰减振动 有阻尼自由振动 一 模型 二 振动方程 式中 衰减指数 三 方程的解 由常微分方程理论知方程 2 的解 式中A和 为由初始条件确定的两个常数 最简模型如图 粘性 阻尼系数c 无量纲阻尼比 阻尼大小决定振动形态 1 0 欠阻尼 振动 1 0 临界阻尼 不振动 1 0 过阻尼 不振动 通常讲的衰减振动即此种情形 如图 14 20 6强迫振动 受迫振动 一 模型 二 振动方程 三 方程的解 由常微分方程理论知方程 3 的解 当t足够大时 第一项趋于0 最简模型如图 设简谐激励 非齐次方程 强迫振动通解 通常总关心稳态解 可见 对线性系统 周期激励下的稳态解一定是周期的 且与激励频率相同 但相位滞后 而非线性系统则不一定如此 15 四 稳态解的幅频特性和相频特性 将稳态解 4 代入方程 3 可求得稳态解的两个常数 当系统一定时 d 为常数 我们特别关心当激励幅值f一定时 外激励频率 的变化对振动的影响 因此B和 为 的函数 故称之为幅频特性和相频特性 其关于 的曲线分别称为幅频 特性 曲线和相频 特性 曲线 如图 静力偏移 16 对非线性振动 幅频特性曲线有明显的区别 如 单质体振动筛 如图1 其幅频特性曲线如图2 17 又如 在考虑压电材料非线性时 压电超声电机 USM 定子主共振响应 高健2005 如图3 振幅 a 激励频率失调参数 图3阴影部分 不稳定 18 20 7多自由度系统振动简介 多自由度系统 均指线性 的振动与单自由度系统最本质的区别是 多自由度系统具有振型的概念 一般地 n自由度系统具有n个固有频率和n个振型 固有振型 模态 如 2自由度系统具有2个固有频率和振型 对连续体 可通过离散 化为有限多自由度系统 有限元分析是最常用的一种方法 常用软件有ALGOR ANSYS ADINA等 还可以通过模态分析实验得到结构的各阶固有频率和振型 19 如 电吉他模态 通过实验模态分析 测出电吉他的前4阶模态 20 又如 基于计算模态分析的动画 基于计算模态分析 模拟刚体碰撞发出的声音 21 下次课预习 不用再预习了 准备复习考试吧 祝大家有个好的考试成绩 再见 愿大家不断努力 自强不息 谢谢大家 联系我 lili tju 更有好的学习方法和学习品质