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第5章刚体力学基础动量矩 5 1刚体和刚体的基本运动5 2力矩刚体绕定轴转动微分方程5 3绕定轴转动刚体的动能动能定理5 4动量矩和动量矩守恒定律 猫下落过程中的翻身问题 一 理解描写刚体定轴转动角速度和角加速度的物理意义 并掌握角量与线量的关系 二 理解力矩和转动惯量概念 掌握刚体绕定轴转动的转动定理 三 理解角动量概念 掌握角动量定律 并能处理一般质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题 5 0教学基本要求 能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题 四 理解刚体定轴转动的转动动能概念 能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律 5 1刚体和自由度的概念及其基本运动 一 刚体 质点间距离始终保持不变 在外力作用下 形状和大小都不发生变化的物体 二 刚体的基本运动 平动转动 1 平动 结论 刚体内所有质点的速度相同 加速度相同 刚体运动时 刚体内任意一条直线都始终保持和自身平行 2 转动 刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动 该直线为转轴 分定轴转动和非定轴转动 3 刚体定轴转动的角速度和角加速度 2 角位移 1 角坐标 约定 与转动方向满足右手螺旋 0 反之 0 3 角速度 刚体定轴转动的运动方程 意义 描述绕定轴转动刚体的转动快慢和转动方向 规定 沿 角正方向转 0 反之 0 4 角加速度 0 表示角加速度的方向与角坐标的正方向一致 0 表示两者方向相反 4 刚体绕定轴的匀速和匀变速转动 刚体定轴转动与质点直线运动公式对比 5 绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度 1 速度大小 2 加速度 刚体运动随处可见 观览轮盘是一种具有水平转轴 能在铅垂平面内回转的装置 轮盘和吊箱的运动各有什么样的特点 如何描述 飞轮30s内转过的角度 例1一飞轮半径为0 2m 转速为150r min 1 因受制动而均匀减速 经30s停止转动 试求 1 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数 2 制动开始后t 6s时飞轮的角速度 3 t 6s时飞轮边缘上一点的线速度 切向加速度和法向加速度 解 1 t 30s时 0 设t 0s时 0 0 飞轮做匀减速运动 2 t 6s时 飞轮的角速度 3 t 6s时 飞轮边缘上一点的线速度大小 该点的切向加速度和法向加速度 转过的圈数 5 2力矩刚体绕定轴转动微分方程 一 力矩 刚体绕Oz轴旋转 力作用在刚体上点P 且在转动平面内 为由点O到力的作用点P的径矢 对转轴Z的力矩 改变质点的运动状态 质点获得加速度 改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度 力 力矩 力臂 对转轴Z的力矩 2 力不在垂直于轴的平面内 1 力F在垂直于轴的平面内 1 力对z轴的力矩 第一项的方向与Z轴垂直 故在Z轴的分量为零 2 合力矩等于各分力矩的矢量和 3 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消 根据牛顿第二定律 第i个质元 圆周轨迹切线投影 同乘以ri 对所有质元求和 mi h ri fi fi 二 定轴转动定律 刚体的转动定律 讨论 2 转动惯量 转动惯性 1 与牛顿定律比较 转动惯量J 外力矩M 内力矩为0 外力 内力 ai ri m反映质点的平动惯性 J则反映刚体的转动惯性 三 转动惯量的计算 质量连续分布物体 物理意义 转动惯性的量度 确定转动惯量的三个要素 J的单位 SI kgm2 1 总质量 2 质量分布 3 转轴的位置 质量连续分布物体 例均质细棒L M 绕端点轴z和质心轴z 的转动惯量 z o x dx x 解 质元质量 质元转动惯量 z L 2 x 1 J与转轴的位置有关 例等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量 2 J与刚体的总质量有关 例圆环绕中心轴旋转的转动惯量 3 J与质量分布有关 例求圆盘绕中心轴旋转的转动惯量的计算 R o m r dr 解 dm转动惯量 平行轴定理 d C m z 例均匀细棒的转动惯量 m L 刚体绕任意轴的转动惯量 刚体绕通过质心轴的转动惯量 两轴间垂直距离 L 2 用平行轴定理 迭加法计算转动惯量 J J大 J小 J J大 J小 大圆盘上挖去小圆盘 大圆盘上叠加上小圆盘 右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算 棒长为L 圆半径为R 1 滑轮的角加速度 2 如以重量P 98N的物体挂在绳端 计算滑轮的角加速度 解 1 2 四 转动定律的应用举例 例1 求 滑轮半径r 20cm 转动惯量J 0 5kg m2 在绳端施以F 98N的拉力 不计摩擦力 例2 一定滑轮的质量为m 半径为r 不能伸长的轻绳两边分别系m1和m2的物体挂于滑轮上 绳与滑轮间无相对滑动 设轮轴光滑无摩擦 滑轮的初角速度为零 求 滑轮转动角速度随时间变化的规律 解 以m1 m2 m为研究对象 受力分析如图所示 物体m1 物体m2 滑轮m 均匀细直棒m l 可绕轴O在竖直平面内转动 初始时它在水平位置 求它由此下摆 角时的 O l m x 解 质元dm gdm 转动定律 例3 dm重力矩 dx x 重力对棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩 r dr 圆盘以 0在桌面上转动 受摩擦力而静止 例4 求到圆盘静止所需时间 解 细圆环 圆盘摩擦力矩 dm摩擦力 df的力矩 转动定律 力矩的累积效果 力矩的时间累积作用 角冲量的效果 力矩的空间累积作用 功的效果 角动量守恒定律 机械能守恒定律 5 3绕定轴转动刚体的动能动能定理 一 定轴转动刚体的动能 o 第i个质元的动能 刚体转动动能 转动惯量 说明 刚体平动动能 二 力矩的功 对一有限过程 o d 若M C 2 力矩的功就是力的功 3 内力矩作功之和为零 1 合力矩的功 讨论 三 定轴转动动能定理 对于一有限过程 讨论 外力做功等于定轴转动刚体的动能增量 3 刚体动能的增量 等于外力的功 2 刚体的内力做功之和为零 1 质点系动能变化取决于所有外力做功及内力做功 刚体重力势能 定轴转动刚体的机械能 质心的势能 对于包括刚体的系统 功能原理和机械能守恒定律仍成立 四 刚体的机械能 刚体的势能等于质量集中在质心时所具有的重力势能 解 例1 滑轮r M 在绳的一端挂一重物m 开始时静止 不计摩擦力 m的重力势能转化为滑轮和m的动能 求重物下落高度h时重物的速度v 根据机械能守恒定律 均匀细直棒m l 可绕轴O在竖直平面内转动 初始时它在水平位置 求它由此下摆 角时的 O l m 解一机械能守恒 以初始位置为0势能点 例2 c h 解二定轴转动动能定理m动能的增量等于重力做的功 重力矩 一 动量矩 5 4动量矩和动量矩守恒定律 1 质点的角动量 对O点 大小 质点的角动量与质点的动量及位矢有关 特例质点作圆周运动 右手螺旋定则 kgm2 s 方向 单位 动量矩与质点动量对比 Jz m v 2 刚体定轴转动的动量矩 o 刚体对z轴的动量矩 第i个质元对z轴的动量矩 z 说明 角动量定理的积分形式 角动量定理的微分形式 二 质点的动量矩定理和动量矩守恒定律 质点所受合力矩的冲量矩等于质点的角动量的增量 已知 积分 冲量矩 1 质点的动量矩定理 2 质点动量矩守恒定律 质点角动量守恒 1 守恒条件 2 向心力的角动量守恒 讨论 3 自然界普遍适用的一条基本规律 冲量矩是质点角动量变化的原因 质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果 说明 例1 一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内 一质量为m的小球穿在圆环上 并可在圆环上滑动 小球开始时静止于圆环上的点A 该点在通过环心O的水平面上 然后从A点开始下滑 设小球与圆环间的摩擦略去不计 求小球滑到点B时对环心O的角动量和角速度 解 小球受重力和支持力作用 支持力的力矩为零 重力矩垂直纸面向里 由质点的角动量定理 考虑到 由题设条件积分上式 解 引力场 有心力 系统的机械能守恒质点的角动量守恒 例2 发射一宇宙飞船去考察一质量为M 半径为R的行星 当飞船静止于空间距行星中心4R时 以速度v0发射一质量为m的仪器 要使该仪器恰好掠过行星表面 求 角及着陆滑行时的速度多大 二 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律 1 刚体定轴转动的动量矩定理 质点的角动量定理 质点系中任一质点所受力矩 质点系中所有质点 而 对定轴转动的刚体 Jz为常量 动量矩定理微分形式 将微分形式积分 得动量矩定理积分形式 J不变时 J改变时 2 刚体定轴转动的动量矩守恒定律 对定轴转动刚体 若 角动量L不变的含义 刚体 J不变 则 不变 非刚体 因J可变 则J 乘积不变 变形体绕某轴转动时 若 则变形体对该轴的动量矩 a M L J必须相对于同一转轴 b M L J相对于同一惯性系 转动系统因为不是惯性系 因此不能作为参考系 说明 动量矩守恒举例 花样滑冰 跳水 芭蕾舞等 质量分别为M1 M2 半径分别为R1 R2的两均匀圆柱 可分别绕它们本身的轴转动 二轴平行 原来它们沿同一转向分别以 10 20的角速度匀速转动 然后平移二轴使它们的边缘相接触 如图所示 例3 求 最后在接触处无相对滑动时 每个圆柱的角速度 1 2 二圆柱系统角动量守恒 有以下的解法 在接触处无相对滑动时 二圆柱边缘的线速度一样 故有 由以上二式就可解出 1 2 其中 这种解法对吗 原解认为系统的总角动量为二圆柱各自对自己的轴的角动量之和是错误的 因为系统的总角动量只能对某一个轴进行计算 另当两柱体边缘没有相对滑动时 1 2方向相反 所以应为 应对两圆柱分别使用角动量定理 由于两柱接触时摩擦力大小相等 方向相反 力矩和冲量矩的大小正比于半径 方向相同 解 1 2 式 得 例4 一均质棒 长度为L 质量为M 现有一子弹在距轴为y处水平射入细棒 求子弹细棒共同的角速度 解 其中 m 子弹 细棒系统的动量矩守恒 一长为l的匀质细杆 开始时杆静止于水平位置 一质量与杆相同的昆虫以速度v0垂直落到距中点l 4处的杆上 昆虫落下后立即向杆的端点爬行 如图所示 若要使杆以匀角速度转动 O r 昆虫落到杆上为完全非弹性碰撞 对于昆虫和杆构成的系统 昆虫重力忽略 系统动量矩守恒 例5 解 求昆虫沿杆爬行的速度 v0 昆虫的爬行 会改变系统的转动惯量和受到的外力矩 定轴转动刚体的动量矩定理 恒定 定轴转动刚体的动量矩定理 O r 昆虫的爬行 会改变系统的转动惯量和外力矩 例6 一匀质细棒长为l 质量为m 可绕通过其端点O的水平轴转动 如图所示 当棒从水平位置自由释放后 它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞 该物体的质量为m 它与地面的摩擦因数为 相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止 求 相撞后棒的质心C离地面的最大高度h 并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件 分析 这个问题可分为三个过程 第一 棒自由摆落的过程 第二 碰撞过程 第三 碰撞后的过程 解 1 棒自由摆落的过程 只有重力作功 所以机械能守恒 设棒在竖直位置的质心位置为势能零点 设棒运动到铅直位置时的角速度为 2 碰撞过程 因碰撞时间极短 自由的冲力极大 物体虽然受到地面的摩擦力 但可以忽略 这样 棒与物体相撞时 它们组成的系统所受的对转轴O的外力矩为零 所以 系统对O轴的角动量守恒 用v表示物体碰撞后的速度 为棒在碰撞后的角速度 则 3 碰撞后的滑行过程 由牛顿第二定律得 由匀减速直线运动的公式 由式 1 2 与 4 联合求解 得 当 取负值 则棒向右摆 其条件为 棒的质心C上升的最大高度为h 由机械能守恒定律得 把式 5 代入上式 所求结果为 当 取正值 则棒向左摆 其条件为 例7 一轻绳绕过一定滑轮 滑轮轴光滑 滑轮的质量为M 4 均匀分布在其边缘上 绳子的A端有一质量为M的人抓住了绳端 而在绳的另一端B系了一质量为M 4的重物 如图 已知滑轮对O轴的转动惯量J MR2 4 设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时 绳与滑轮间无相对滑动 求 B端重物上升的加速度 解 以A B 滑轮为研究对象 受力分析如图所示 对B 对滑轮 对人 例8 在半径为R的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上 有一人静止站立在距转轴为R 2处 人的质量是圆盘质量的1 10 开始时盘载人相对地面以角速度匀速转动 然后此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v沿与盘转动相反方向作圆周运动 如图所示 己知圆盘对中心轴的转动惯量为MR2 2 人可视为质点 求 1 圆盘对地的角速度 2 欲使圆盘对地静止 人沿着R 2圆周对圆盘的速度的大小及方向 解 1 以人和盘为一系统M外 0角动量守恒 2 欲使圆盘对地静止