刚体6个自由度自由度数目减少(由于约束).ppt

1 5 2刚体的运动方程刚体 6个自由度自由度数目减少 由于约束 例子 绕固定点的转动 3个自由度 定轴转动 1个自由度 在有约束的情况下 关心刚体本身的运动 约束反力但 由拉格朗日方程中不容易得到约束反力 以前仅讨论理想约束 办法 回到牛顿表述 一 动量定理定点转动角动量定理刚体 特殊的质点组 考察刚体整体运动 质心在静止系中的矢径 对第a个质点 其中 以质心为原点的运动坐标系的矢径 因为 所以 作和 其中 对固定点o的总角动量 对固定点o的总力矩 对固定点的角动量定理 以质心为坐标原点 仍在惯性系中 对上式作和 又则 令则 对质心的角动量定理描述刚体的运动方程组 二 刚体的静平衡平衡时 平衡方程例题 见p88 例1 三 刚体的动平衡 见p88 略 四 刚体的自由运动自由运动 不受外力 不受约束 即 有 质心 匀速运动 绕质心的转动 且角动量守恒 设 为三个惯量主轴方向 为沿这三个主轴的转动惯量则 讨论 球对称陀螺 任意选取三个相互垂直的轴作惯量主轴 此时 2 转子即 L在平面内 3 对称陀螺 不对称陀螺 此时 平面内的任一轴都是主轴选在同一平面将分解到和的方向上 分别称为和 并设它们之间的夹角为 显然有 L在平面内 L与的夹角 L与的夹角 L在轴的投影 由图 在上的分量相等则 且不变 匀速旋转 L与轴的夹角不变规则进动 对称陀螺自由转动 有绕转动 轴绕空间固定轴 L轴 进动 且与L之间的夹角保持不变 五 欧勒运动学方程对称陀螺的基本运动 1 刚体绕对称轴的自转 2 自转轴绕空间固定轴的进动 3 自转轴和固定轴间夹角的章动 用欧勒角描述这三种运动 设 o 固定点 oz 固定轴 刚体绕固定轴oz转过的角度 进动角 进动角速度 沿oz方向 刚体绕转过的角度 自转角 自转角速度 沿方向 和oz间的夹角 章动角 章动角速度 沿oN方向 1 在平面 在的分量 由图 2 在上的投影 由书p91图可知 当时 当时 所以在同一平面 且从上一点作的垂线a 显然a在上 则 因此组成的平面 即平面 由此在平面的投足落在上 得到沿方向 即沿方向 又与的夹角为 这样在的分量为3 沿方向 若 已知则 计算讨论 对于对称陀螺 两个主轴可在平面上任意选取 则 取沿oN方向于是有 六 欧勒动力学方程刚体的运动方程为 而中不是常数 这样要得到M与的关系很困难 办法 建立运动坐标系 坐标轴沿三个惯量主轴方向此时 设 矢量A 相对静止坐标系的改变量若 A相对于运动坐标系不变 则仅仅是由于运动坐标系转动而引起的 故一般情况 A相对于运动坐标系改变 说明如下 设 分别为静止坐标系和运动坐标系 如图 现在系中分别求矢量A t 随时间的变化率 系中的单位常矢量对系不是常矢量 即在中对矢量求导 得 A在运动坐标系中的改变令A L 得 又所以 对运动坐标系 而 欧勒动力学方程 1 5 3非惯性系中的运动若 将参考系固连在刚体上 只要刚体不是作匀速运动 这一参考系为非惯性系 设 系 惯性系 系 相对系的速度为V t K系 相对系的角速度为则 K系 非惯性系做的事 在K系中建立运动方程设 矢量A A在系中的导数 则 令 质点在系中的速度 质点在系中的速度 v 质点在K系中的速度 V 系对系的速度 则 上式右边各项再对时间求导 有 惯性系中 非惯性系中的运动方程f 外力 平动加速度产生的惯性力 角加速度产生的惯性力 科里奥利力 惯性离心力