列写微分方程的一般方法及线性化.ppt

1 30 第二章控制系统的数学模型 机电学院自动化研究所 柯海森仰仪南楼310电话 86914549 2 30 2 1列写系统微分方程式的一般方法 2 2非线性数学模型的线性化 2 3传递函数 2 4系统框图及其等效变换 2 6信号流图和梅逊公式的应用 2控制系统的数学模型 2 5控制系统的传递函数 3 30 系统的数学模型 描述系统输入 输出变量以及内部其它变量之间关系的数学表达式 2 1列写系统微分方程式的一般方法 实际存在的系统的动态性能都可以通过数学模型来描述 例如微分方程 传递函数等 建立合理的控制系统数学模型是控制系统分析中最重要的内容 与系统性能密切相关 数学模型 4 30 2 状态变量描述 不仅可以描述系统的输入 输出之间的关系 而且还可以描述系统的内部特性 或称内部描述 例如状态变量空间法 矩阵 适用于多输入 多输出系统 也适用于时变系统 非线性系统和随机控制系统 控制系统中常见的两种数学模型形式 1 输入 输出描述 把系统的输出量与输入量之间的关系用数学方式表达出来 或称端部描述 例如微分方程 传递函数 框图和差分方程 适用于单输入 单输出系统 2 1列写系统微分方程式的一般方法 5 30 数学模型分为静态模型和动态模型两种 动态模型描述系统各变量各阶导数之间关系的微分方程 即线性定常微分方程 可由此分析系统的动态特性 静态模型是指在静态条件下 即变量的各阶导数为零 描述变量之间关系的代数方程 建立系统数学模型时 必须 2 根据所应用的系统分析方法 建立相应的数学模型 1 全面了解系统特性 确定研究目的以及准确性要求 决定能否忽略一些次要因素而简化系统的数学模型 2 1列写系统微分方程式的一般方法 6 30 建立系统数学模型的方法有解析法和实验法两种 解析法 根据系统及元件各变量之间所遵循的基本物理 化学等定律 列写出每一个元件的输入 输出的关系式 然后消去中间变量 从而求得系统输出与输入的数学表达式 实验法 根据对系统的观察 通过测量所得到的输入 输出数据 推断出系统的数学模型 2 1列写系统微分方程式的一般方法 7 30 研究一个自动控制系统单是分析系统的作用原理及其大致的运动过程是不够的 必须同时进行数量上的分析 才能做到深入的研究并将其有效地应用到实际工程中去 用解析法推演系统数学模型的前提是对系统的作用原理和系统中各元件的物理属性有着深入的了解 2 1列写系统微分方程式的一般方法 8 30 1 明确系统每一元件的输入 输出量 根据基本的物理 化学等定律 列写出系统中的输入与输出的微分方程式 2 明确系统的输入 输出量 各元件方程叠加 消中间量 求得系统输出输入微分方程 3 标准化处理 与输出量有关项列左侧 与输入量有关项列右侧 建立系统微分方程的步骤 2 1列写系统微分方程式的一般方法 9 30 例2 1 图2 1为一R L C电路 其输入电压为ur 输出电压为uc 试写出ur与uc之间的微分方程式 图2 1R L C电路 解根据电路理论中的基尔霍夫定律 写出下列方程式 消去中间变量 则得 2 1 2 1列写系统微分方程式的一般方法 10 30 在列写每一个元件的微分方程式时 必须注意到它与相邻元件间的相互影响 下面举例说明 例2 2 已知R C网络如图2 2所示 试写出该网络输入与输出间的微分方程 图2 2R C滤波网络 2 1列写系统微分方程式的一般方法 11 30 解 对于图2 2所示的电路 由基尔霍夫定律写出下列方程组 消去中间变量 得 2 2 由式2 2可知 该电路的数学模型是一个二阶常系数非齐次微分方程 图2 2R C滤波网络 2 1列写系统微分方程式的一般方法 12 30 例2 3 设弹簧 质量 阻尼器系统 如图2 3所示 试求外力与质量块位移之间的微分方程式 2 1列写系统微分方程式的一般方法 13 30 式中 f为阻尼系数 k为弹簧的弹性系数 2 3 经变换得 根据牛顿第二定律 该系统在外力的作用下 当抵消了弹簧拉力和阻尼器的阻力后 使质量块 质量为m 产生加速度 于是得 2 1列写系统微分方程式的一般方法 14 30 例2 4 液位控制系统 q1 t 系统输入量h t 系统变化量C液槽的截面积 p15 物料平衡原理 2 1列写系统微分方程式的一般方法 15 30 例2 5 齿轮系的运动系统 Mm原动力矩 Mc负载转动力矩 J1 J2惯性系数 f1 f2粘性系数 r1 r2齿轮半径 w1 w2齿轮转动速度 M1 M2齿轮输出力矩 Z1 Z2齿轮齿数 2 1列写系统微分方程式的一般方法 16 30 1 齿轮传动特性 两个齿轮在咬合运动时 传输功率相同 两个齿轮在咬合运动时 线速度相同 2 几何知识 齿轮齿数与半径成正比 2 1列写系统微分方程式的一般方法 17 30 3 力矩平衡方程 消去中间变量 可得 2 1列写系统微分方程式的一般方法 18 30 例2 6 直流调速系统 p17 2 1列写系统微分方程式的一般方法 19 30 1 放大器 2 直流他励发电机假设 原动机转速恒定 磁化曲线为一直线 一阶微分方程 p17 2 1列写系统微分方程式的一般方法 20 30 3 直流他励电动机 二阶微分方程 4 测速发电机 p17 2 1列写系统微分方程式的一般方法 21 30 直流调速系统系统方程 三阶微分方程 2 1列写系统微分方程式的一般方法 22 30 2 2非线性数学模型的线性化 严格说来 构成控制系统的元件 在其输出信号与输入信号之间 都具有不同程度的非线性 因此在研究控制系统动态过程时就会遇到求解非线性微分方程的问题 然而 对于高阶非线性微分方程来说 在数学上不可能求得一般形式的解 因此 当研究这类控制系统的运动过程时 在理论上将会遇到困难 问题的提出 23 30 2 2非线性数学模型的线性化 但是 如果对求解非线性运动方程作某些近似或缩小研究问题的范围 那么对控制系统中所采用的大多数元件来说其输出和输入信号间的关系可近似看成是线性的 并可用常系数线性微分方程来描述 这种将非线性微分方程在一定条件下近似转化为线性微分方程的方法 称为非线性微分方程的线性化 通过线性化得到的线性微分方程将有条件地 近似地描述系统的动态过程 也就是说 只有近似条件成立时 基于线性化微分方程来讨论系统的运动状态才有实际意义 24 30 2 2非线性数学模型的线性化 线性化的基本思想 1 对于一些较复杂的函数 为了研究方便 往往希望用一些简单的函数来近似表达 2 由多项式表示的函数 只要对自变量进行有限的加 减 乘三种运算 便能求出它的函数值来 因此我们经常用多项式来近似表达函数 25 30 控制系统都有一个平衡的工作状态和响应的工作点 非线性数学模型线性化的一个基本假设是变量对于平衡工作点的偏离很小 微偏法 若非线性函数不仅连续 而且其各阶导数均存在 则由级数理论可知 可在给定工作点邻域将此非线性函数展开为泰勒级数 并略去二阶和二阶以上的各项 用所得到的线性化方程代替原来的非线性方程 这种线性化的方法就叫做微偏法 2 2非线性数学模型的线性化 26 30 必须注意 如果系统在原平衡工作点处的特性不是连续的 而是呈现折线或跳跃现象 如图2 10 那么就不能应用微偏法 图2 10本质非线性特征 2 2非线性数学模型的线性化 27 30 设一非线性元件的输入为x 输出为y 它们间的关系如图2 11所示 相应的数学表达式为 y f x 2 3 在给定工作点 附近 将式 2 3 展开为泰勒级数 2 2非线性数学模型的线性化 28 30 2 2非线性数学模型的线性化 若给定工作点 附近增量的变化很小 则可略去式中项及其后面所有的高阶项 这样 上式近似表示为 或写为 2 4 式 2 4 就是式 2 3 的线性化方程 对于含有多个变量非线性方程的线性化 与上述含有单个变量的线性化方法是完全相同的 29 30 微分方程式是描述线性系统运动的一种基本形式的数学模型 通过求解 可以得到系统在给定信号作用下的输出响应 不足之处 1 求解难度大 2 很难反映系统的结构 参数与其性能间的关系 2 2非线性数学模型的线性化 30 30 在控制工程中 一般也不需要精确的知道其输出响应 一般希望用简单的方法判断系统的稳定性和动态性能指标 以及判别当系统中某些参数改变或校正装置对系统性能的影响 以传递函数为工具的根轨迹法和频率响应法就可以实现上述要求 2 2非线性数学模型的线性化