分离变量法第一节：预备知识.ppt

第二章分离变量法 本章中心内容 用分离变量法求解各种有界问题 本章基本要求 着重掌握分离变量法的解题思路 解题步骤及其核心问题 本征值问题 特征值问题 分离变量法基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程 其中有的常微分方程带有附加条件从而构成特征值问题 分离变量法理论依据是线性方程的叠加原理和Sturm Liouville特征值 本征值 理论 分离变量法又称特征展开法和Fourier级数方法 第一节 预备知识 1 下面的定理叙述了Fourier级数展开的一个结论 定理1设函数f是以2L为周期的函数 在 L L 上满足Dirichlet条件 即在 L L 上只有有限多个第一类间断点和有限多个极值点 则在 L L 上 f可以展成Fourier级数 上式的含义 在f的连续点处取等号 在f的间断点处取其左右极限的平均值 其中 如果f是奇函数 则 其中 注1 在定理1的条件下 如果f是偶函数 则 其中 对应用定理1 可知在 0 L 上 注2 如果f在 0 L 上满足Dirichlet条件 将f展开成Fourier级数的方法 其中 方法1 将f延拓成整个实轴上2L周期的 奇函数 其中 方法2 将f延拓成整个实轴上2L周期的偶函数 对应用定理1 可知在 0 L 上 例1 把 展开成 1 正弦级数 2 余弦级数 解 1 将f x 作奇周期延拓 则有 机动目录上页下页返回结束 2 将 作偶周期延拓 则有 机动目录上页下页返回结束 2 正交函数系 标准正交系 带权函数的正交函数系 定义 一列函数构成的函数系称为在 a b 上正交 如果 正交系称为标准正交的 如果 函数系 在 a b 上称为带权函数r x 正交的 如果 例2 是 0 L 上的正交函数系 是 L L 上的正交函数系 但不是 0 L 上的正交函数系 是 0 L 上的正交函数系 是 的正交函数系 上带权函数 完备正交函数集 如果在正交函数集 1 t 2 t n t 之外 不存在函数 t 0 满足 则称此函数集为完备正交函数集 可比较课本上的定义 i 1 2 n 对应的特征方程 两个根 3 常系数二阶线性常微分方程的通解 3 1 为相异实数 通解为 2 为相同实数 通解为 为两个虚数 通解为 例3 的通解 解 特征方程 特征根 因此原方程的通解为 例4 求解初值问题 解 特征方程 有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为 机动目录上页下页返回结束 4欧拉 Euler 方程 为n阶欧拉方程 其中为常数 二阶欧拉方程 1 的求解 令 则t lnx 代入方程 1 有 这是一二阶线性常系数微分方程 解 这是一二阶欧拉方程 令 则t lnx 原方程可化为 特征方程 特征根 齐次方程的通解 设非齐次方程的特解 代入方程解得 所以非齐次方程的通解 原方程的通解 5 线性方程的叠加原理 n阶线性常微分方程的一般形式为 其中a1 x an 1 x an x 和f x 均为x的已知连续函数 如果f x 0 则式 9 22 变为 定理 线性常微分方程解的性质定理 1 齐次线性方程组的叠加原理 如y1 x ym x 是n阶齐次线性方程 9 23 的m个解 则它们的线性组合 y x C1y1 x Cmym x 也是方程 9 23 的解 其中C1 Cm为任意常数 2 非齐次线性方程解的叠加原理 如果y1 x 和y2 x 分别为非齐次线性方程 和 的解 则y1 x y2 x 是非齐次线性方程 的解 线性偏微分定解问题的叠加性质 L称为算子 偏微分方程可以用算子作用在函数上标示出来 非齐次方程L u f x y z t 齐次方程L u 0 1 算子 2 性质 u2是齐次方程的解L u2 0 L u1 f 1 分别是齐次方程的解 2 是非齐次方程的解 则是非齐次方程的解 则其组合 3 若L u1 f1 L u2 f2 性质 3 对边界条件 初始条件常常用到 则