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1 第四章静定结构位移的计算 2 A 第四章静定结构位移的计算 4 1计算结构位移的目的 4 2功广义力和广义位移 4 3计算结构位移的一般公式 4 4静定结构在荷载作用下的位移计算 4 5图乘法 4 6静定结构由于支座位移和温度变化时的位移计算 4 7互等定理 3 4 1计算结构位移的目的 位移的概念 结构在荷载 温度变化 支座移动与制造误差等各种因素作用下发生变形 因而结构上各点的位置会有变动 这种位置的变动称为位移 位移分类 截面的移动 线位移 截面的转动 角位移 线位移又分为 水平位移和竖向位移 按位置变化的参照物分 绝对位移和相对位移 一 结构的位移 4 结构上的一个指定截面 位移后的新位置相对其位移前旧位置的改变 绝对位移 结构上的两个指定截面 位移后新的位置关系相对其位移前旧位置关系的改变 相对位移 5 A P A A 线位移 角位移 A A Ay Ax Ay Ax A 绝对位移 相对位移 P A C D C D C D CD C D B 6 为什么要计算位移 引起结构位移的原因 还有什么原因会使结构产生位移 7 二计算结构位移的目的 铁路工程技术规范规定 1 刚度要求 桥梁在竖向活载下 钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 1 700和1 900跨度 高层建筑的最大位移 1 1000高度 最大层间位移 1 800层高 2 超静定 动力和稳定计算 3 施工要求 在工程上 吊车梁允许的挠度 1 600跨度 8 本章所研究的是线性变形体系的位移计算 是指位移与荷载成比例的结构体系 荷载对这种体系的影响可以叠加 而且当荷载全部撤除时 由荷载引起的位移也完全消失 满足如下基本假定 应力和应变服从虎克定律 物理线性 位移是微小位移 几何线性 即可用结构原尺寸和叠加法计算其位移 所有约束为理想约束 即约束力不作功 9 4 2功 广义力 广义位移 功 力对物体作用的累计效果的度量功 力 力作用点沿力方向上的位移 实功 力在自身所产生的位移上所作的功 广义力 广义位移对于其他形式的力或力系所做的功也常用两个因子的乘积来表示 其中与力相对应的因子称为广义力 与位移相对应的因子称为广义位移 一个力系作的总功W P P 广义力 广义位移 10 例 1 作功的力系为一个集中力 2 作功的力系为一个集中力偶 3 作功的力系为两个等值反向的集中力偶 4 作功的力系为两个等值反向的集中力 11 4 3计算结构位移的一般公式 虚功 力在非自身所产生的位移上所作的功 虚功中的力和位移之间没有因果关系 即虚功的力和位移不相关 这是虚功区别于实功的重要特点 实功 力在自身所产生的位移上所作的功 虚功中的两种状态 力状态 位移状态 虚力状态 虚位移状态 12 在简支梁上先加载FP1 使力FP1作用点的位移达到终值 11 再加载FP2 使力FP1的作用点发生位移 12 力FP1在位移 12上作的功叫虚功 即 W12 FP1 12虚功中的力和位移两个要素不相关 即无因果关系 虚功具有常力功的形式 根据叠加原理 13 变形体的虚功原理 虚应变能 当结构的力状态的外力因结构的位移状态的位移作虚功时 力状态的内力也因位移状态的相对变形而作虚功 这种虚功称为虚应变能 以V表示 变形体系的虚功原理 设变形体系在力系作用下处于平衡状态 力状态 又设该变形体系由于别的原因产生符合约束条件的微小的连续变形 位移状态 则力状态的外力在位移状态的位移上所作的虚功 恒等于力状态的内力在位移状态的变形上所作的虚功 即等于虚应变能 或简写为 外力虚功W 虚应变能V 14 微段剪切 微段拉伸 微段弯曲 力状态 位移状态 对于杆件结构 设在力状态中任一微段dx的内力为FN1 FQ1 M1 而位移状态中杆件对应微段的相对变形 即正应变 2 切应变 2和曲率 2 如图所示 微段上的虚应变能可表示为 dV FN1du2 FQ1dv2 M1d 2 15 微段上的虚应变能 dV FN1du2 FQ1dv2 M1d 2 对上式沿杆长进行积分 然后对结构的全部杆件求和 即得到杆件结构的虚应变能为 或 那么杆件结构的虚功原理就可表示为 或 16 计算结构位移的一般公式 求D点的水平位移 实际状态 虚拟状态 在D点处沿水平方向加上一个单位荷载 此时 处虚拟状态的支座反力为B处的支座反为 结构在单位力和相应的支座反力的作用下维持平衡 其内力用 来表示 17 虚设力系的外力 包括反力 对实际状态的位移所作的总虚功为 即 以d d d 表示实际状态中微段的变形 则总的虚应变能为 由杆件结构的虚功原理 得 即 计算结构位移的一般公式 18 求C点竖向位移 求B点水平位移 求C点转角位移 求A B两点相对竖向位移 力的虚设方法 求A B两点相对水平位移 19 求C点相对转角位移 求CD杆相对转角位移 20 求A B两点相对线位移 求A B两点相对线位移 求相对转角位移 21 在具有理想约束的刚体体系中 若力状态中的力系满足静力平衡条件 位移状态中的刚体位移与约束几何相容 则该力在该相应的刚体位移上所作的外力虚功之和等于零 即W 刚体的虚功原理 利用虚功原理和虚功的力和位移不相关的特性 虚功原理有两种应用 1 虚设位移 求实际的力 虚位移原理 2 虚设力状态 求位移 虚力原理 22 1虚设位移求未知力 a b 如图 a 所示杠杆 在B点作用已知荷载FP 求杠杆平衡时在A点需加的未知力FA 把刚体取虚位移 如图 b 所示 根据刚体虚功原理得 令 A 1 且令 B表示位移之间的比例系数 由图中几何关系得 1 其中 分别是沿FA和FP方向的虚位移 将 1 式除以 A 得 23 例求A端的支座反力 ReactionatSupport 解 去掉A端约束并代以反力X 构造相应的虚位移状态 直线 待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态 由外力虚功总和为零 即 通常取 单位位移法 Unit DisplacementMethod 1 对静定结构 这里实际用的是刚体虚位移原理 实质上是实际受力状态的平衡方程 2 虚位移与实际力状态无关 故可设 3 求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系 4 用几何法来解静力平衡问题 24 单位位移法步骤 去掉与拟求力相应的约束 并代以拟求力 力的方向是先假定的 并使得到的体系 机构 沿拟求力的方向发生单位虚位移 令所有外力在体系的虚位移上作虚功 建立虚位移方程并求解 结果为正 所得力的方向与假定的方向相同 结果为负 所得力的方向与假定的方向相反 25 例 利用虚位移原理求图示简支梁的 支座的反力FBy 1 去掉B支座链杆 2 按拟求支座反力让机构发生单位虚位移 3 写出虚位移方程 4 求解虚位移方程 解 26 例 试求静定多跨梁在C点的支座反力Fx 1 去掉C支座链杆 把支座反力变成主动力Fx 2 按拟求支座反力让机构发生单位虚位移 并设 x 1 根据几何关系 可得 3 写出虚位移方程 4 求解虚位移方程 解 27 例 试求简支梁截面C的弯矩Mc 设在A端作用力偶荷载M 1 去掉与弯矩Mc相应的约束 即将截面C由刚接改为铰接 同时弯矩Mc由约束力变为主动力 由一对大小相等 方向相反的力偶组成 2 取虚位移 设C点竖向位移为 c 则AC和BC两段的转角 和 分别为 3 写出虚位移方程 4 求解虚位移方程 解 28 例 试求简支梁截面C的剪力FQc 设全跨作用均布竖向荷载q 1 去掉与剪力FQc相应的约束 即将截面C切开 加上两个平行梁轴的链杆 同时剪力FQc由约束力变为主动力 由一对大小相等 方向相反的竖向力组成 2 取虚位移 两梁的转角为 C1 C2的竖向位移分别为a 和b 相对竖向位移为a b 3 写出虚位移方程 解 剪力FQC作的虚功为 29 因此虚功方程为 微段dx上的均布荷载q在竖向位移y上作的虚功为 AC1段上的均布荷载q作的虚功为 BC2段上的均布荷载q作的虚功为 4 求解虚位移方程 30 2虚设力系求位移 在拟求位移的方向设置单位位移 而在其他地方不再设置荷载 这个单位位移与相应的支座反力组成一个虚设的平衡力系 静定梁支座A向上移动距离c1 拟求B点的竖向位移 1 虚设的平衡力系 2 虚功方程 3 竖向位移 1 所建立的虚功方程 实质上是几何方程 2 虚设的力状态与实际位移状态无关 故可设单位广义力P 1 3 求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系 4 是用静力平衡法来解几何问题 单位荷载法 31 悬臂梁在截面B有相对转角 拟求A点的竖向位移 1 在B处加铰 把实际位移状态表示为刚体体系的位移状态 4 竖向位移 3 虚功方程 2 在A点沿拟求位移的方向虚设单位荷载 在B处加铰还虚设一对弯矩 32 4 4静定结构在荷载作用下的位移计算 当结构只受到荷载作用时 求K点沿指定方向的位移 KP 此时没有支座位移 故 KP 式中 为虚拟状态中微段上的内力 d P duP Pds为实际状态中微段上的变形 由材料力学知 a d P duP Pds 将以上诸式代入式 a 得 KP 这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式 33 讨论 1 梁和刚架 轴向变形和剪切变形影响较小 可以忽略 KP 2 桁架 只有轴力的作用 KP 3 组合结构 KP 在实际计算时 根据结构的具体情况 34 4 拱结构 一般的实体拱中 其位移计算只考虑弯曲变形一项的影响 但在扁平拱中有时尚须考虑轴向变形对位移的影响 故位移公式 例 求图示简支梁中点C的竖向位移 解 1 取虚力状态如图 2 写出弯矩 剪力的方程 L 2 L 2 2 35 3 计算 2 写出弯矩 剪力的方程 36 4 比较弯曲变形与剪切变形的影响 弯曲变形 剪切变形 两者的比值 若高跨比为 则 37 例求图示刚架A点的竖向位移 Ay E A I为常数 A B C q L L A 实际状态 虚拟状态 A B C 1 解 1 设置虚拟状态 x x 选取坐标如图 则各杆弯矩方程为 AB段 x BC段 2 实际状态中各杆弯矩方程为 AB段 BC段 MP MP x x 3 代入公式得 Ay x 2 qx 2 EI dx L 2 qL 2 EI dx 返回 38 解 1 求 写出杆件的方程 BA杆 给出结构的虚拟状态 39 2 求 写出杆件的方程 BC杆 BA杆 给出结构的虚拟状态 40 例 求曲梁B点的竖向位移 EI EA GA已知 解 构造虚设的力状态如图示 41 小曲率杆可利用直杆公式近似计算 轴向变形 剪切变形对位移的影响可略去不计 42 例 如图所示桁架 求 1 D结点的竖向位移 2 CD杆的转角位移 已知各杆EA相等 并为常数 1 求D结点的竖向位移 DV 解 1 计算 通过求解我们得到 各杆的轴力如图所示 单位 KN 43 2 计算 在D点虚设单位竖向荷载 相应各杆的轴力如图所示 3 求D结点的竖向位移 DV 根据桁架位移计算公式得 44 2 求CD杆的转角位移q 设置虚力状态 求得相应虚力状态的各杆内力 根据桁架位移计算公式得 45 图乘法及其应用条件几种常见图形的面积和形心位置应用图乘法时的几个具体问题图乘法应用举例 4 5图乘法 46 图乘法 计算弯曲变形引起的位移时 需要计算积分 对直杆或直杆一段 当EI沿杆长度不变 且积分号内两个弯矩图形有一个是直线图时 采用图乘法计算积分比较方便 什么是图乘法 它的适用条件是什么 图乘法是Vereshagin于1925年提出的 他当时为莫斯科铁路运输学院的学生 47 KP 当结构符合下述条件时 1 杆轴为直线 2 EI 常数 上述积分可以得到简化 MP图 和M两个弯矩图中至少有一个是直线图形 3 x y 面积 设等截面直杆AB段的两个弯矩图中 为一段直线 MP图为任意 形状 A B O 则上式中的ds可用dx代替 A B MP dx 故有 xtg 且tg 常数 则 d MPdx x EI tg xMPdx EI tg xMPdx EI tg xd 图乘法 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时 要计算下面的积分 48 MP图 x y 形心 C 面积 A B O A B MP dx d MPdx x xC 有 yC yC xCtg 则积分运算化简为一个弯矩图的面积 乘以其形心处所对应的另一个直线弯矩图上的竖标yC 如果结构上所有各杆段均可图乘则位移计算可写成 KP 而 EI xd tg EI xC tg EI yC EI yC 49 由此可见 上述积分式等于一个弯矩图的面积乘以其形心处所对应的另一个直线弯矩图上的纵距 再除以EI 这就是图形相乘法的计算公式 简称为图乘法 图乘法公式 1 结构上各杆均为等截面直杆 即 各杆EI分别或分段为常数 2 竖标必须取自直线弯矩图形 3 另一弯矩图的面积A和面积形心易求得 图乘公式的应用条件 图乘法的注意事项 1 必须符合上述三个前提应用条件 2 竖标yc只能取自直线图形 3 与yc若在杆件同侧则乘积取正号 反之取负号 50 3 常用的几种简单图形的面积和形心 L h 2L 3 L 3 L h a b L a 3 L b 3 形心 形心 三次抛物线 51 L h 二次抛物线 顶点 L 2 二次抛物线 L h 4L 5 L 5 3L 8 5L 8 1 2 1 2 3 hL 2 1 3 hL 顶点 返回 52 注 图中的抛物线均为标准抛物线 标准抛物线是指含有顶点在内且顶点处的切线与基线平行的抛物线 弯矩图为标准抛物线时 在顶点处截面的弯矩为0 n次抛物线 53 应用图乘法要注意的若干问题 1 如果两个图形都是直线图 则标距yc可取自其中任一图形 2 如果两个图形都是梯形 则把一个梯形分为两个三角形 分别应用乘法 MP图 a b c d L yb ya 则 其中标距ya和yb要用以下公式计算 54 3 当yC所属图形是由若干段直线组成时 或各杆段的截面不相等时 均应分段相乘 然后叠加 1 2 3 y1 y2 y3 1 2 3 y1 y2 y3 1y1 2y2 3y3 I1 I2 I3 55 MP图 a b c d y1 y2 此时 y1 2 3 c 1 3 dy2 2 3 d 1 3 c 4 图形的纵距a b或c d不在基线同一侧时 处理原则也和上面一样 可分解为位于基线两侧的两个三角形 分别与另一图形相乘 然后叠加 56 例试求图a所示刚架C点的竖向位移 解 1 作实际状态的 2 建立虚拟状态 并作图 1 l 2 57 3 进行图形相乘 求C点竖向位移 y1 y2 y3 58 例 求A点的转角和C点的竖向位移 解 1 求A点的转角 2 求C点的竖向位移 59 图 图 例 求图示梁 EI 常数 跨长为l B截面转角 解 60 例 求图示三铰刚架C点的相对转角 解 荷载作用下的弯矩图和虚设力作用下的弯矩图如图所示 B 20kN m Mp图 61 3 4 3 4 1 62 求下图所示刚架C D两点间距离的改变 设EI 常数 A B C D L h q 解 1 作实际状态的MP图 MP图 2 设置虚拟状态并作 1 1 h h yC h 3 计算位移 CD EI yC EI 1 3 2 8 qL 2 L h 12EI qhL 2 形心 63 求图示刚架A点的竖向位移 Ay A B C D EI EI 2EI P L L L 2 解 1 作MP图 P PL MP图 1 L 2 图乘计算 Ay EI yC EI 1 2 L L 2 PL L 4 16EI PL 2 2EI 1 2 3L PL 返回 64 求图示外伸梁C点的竖向位移 Cy EI 常数 q A B C L 图 1 1 y2 y3 解 1 作MP图 2 作 图 3 图乘计算 y1 y2 y3 Cy y1 MP图 2 3 返回 65 7 6静定结构温度变化时的位移计算 当静定结构温度发生变化时 由于材料热胀冷缩 结构将产生变形和位移 设结构 见图 外侧温度升高t1 内侧温度升高t2 求K点的竖向位移 Kt t1 t2 K K Kt 现研究实际状态中任一微段ds 由于温度变化产生的变形 ds ds Kt 此时由式 7 5 可得 h t1 t2 t2ds t1ds d t dut t1ds t2ds 2 tds a b K ds PK 1 ds 实 虚 式中 d t t2ds t1ds h t t2 t1 c h tds 式中 将式 b c 代入式 a 得 Kt 7 11 温度变化不会引起剪切变形 即 t 0 返回 66 支座移动 温度作用时的位移计算 静定结构由于支座移动并不产生内力 材料 杆件 也不产生变形 只发生刚体位移 该位移也可由几何关系求得 有 一支座移动时的位移计算 67 例 图示三铰刚架A支座往下位移了b B支座往右位移了a 求C点的竖向位移 和C点的相对转角 1 求C点的竖向位移 真实的位移状态 在C点作用一个竖向单位力 求出和 虚设的力状态 68 2 求C点的相对转角 在C点作用一对力矩 求出和 虚设的力状态 真实的位移状态 a 69 例 图示三铰刚架右边支座的竖向位移 By 0 06m 水平位移 Bx 0 04m 已知L 12m h 8m 求 A h L 2 L 2 Bx By 实 A B C 解 虚拟状态如图 A B C 1 A 0 0075rad 虚 70 二温度改变时的位移计算 杆件温度变化时 静定结构不会引起内力 但材料会发生膨胀和收缩 从而引起截面的应变 使结构产生变形和位移 温度改变时 1 由于纤维的伸长或缩短引起轴向变形2 由于伸长或缩短不一致 引起弯曲变形3 温度改变不引起剪切变形 一般公式 设温度沿截面高度h以直线传递 则截面上材料的应变沿高度也呈线性变化 因此 杆件由于温度改变变形后平截面假定仍然适用 71 上边缘温度上升 下边缘温度上升 形心轴处的温度 当时 材料的线胀系数 则微段的变形 由于温度改变不引起切应变 72 温度作用引起的位移 若温度沿杆长变化相同 且截面高度不变 则上式可写成 由虚设单位力产生的弯矩图面积 正负号的规定 虚力状态中的变形与温度改变产生的变形方向一致时 取正号 反之取负号 73 温度作用的位移计算例子 解 C点加单位竖向力p 1 并作图 杆件两边的温差及轴线处温度升高为 74 例图示刚架施工时温度为20 求冬季外侧温度为 10 内侧温度为0 时A点的竖向位移 Ay 已知L 4m 10 5 各杆均为矩形截面 高度h 0 4m L L t1 t2 实 解 外侧温度变化 绘 图 A A 1 虚 1 代入式 7 12 并注意正负号 判断 L Ay 可得 t1 10 20 30 内侧温度变化 t2 0 20 20 t t1 t2 2 25 t t2 t1 10 75 已知 AB杆做短了 lAB 求 安装后 C点的竖向位移 解 位移状态 只有刚体位移 力状态 在求位移处加单位力 将有制造误差的杆件去掉 画出杆件的轴力 静定结构制造误差下的结构位移计算 实际的位移状态 虚设的单位力状态 76 刚体虚功原理 若多个杆件有误差 实际的位移状态 虚设的单位力状态 77 已知 下弦杆均做短了0 6cm 求 结点A的竖向位移 解 6m 6 6m A 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 78 互等定理 本节介绍线性变形体系的四个互等定理 1 功的互等定理2 位移互等定理3 反力互等定理4 位移反力互等定理其中最基本的是功的互等定理 其它三个定理均可由此推导出来 互等定理只适用于线形变形体系 其应用条件为 材料处于弹性阶段 应力与应变成正比 结构变形很小 不影响力的作用 79 1 功的互等定理设有两组外力FP1和FP2分别作用于同一线弹性结构上 如图所示 a b 分别称为结构的第一状态和第二状态 a 第一状态 b 第二状态 第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功 等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功 80 外力所作总功与加载次序无关 即 W1 W2 由1 2可得 这两组力按不同次序先后作用于同一结构上时所作的总功分别为 1 先加FP1后加FP2 外力的总功 2 先加FP2后加FP1 外力的总功 定理推导 81 2 位移互等定理 在功的互等定理中 令 FP1 FP2 1 即 由功的互等定理式则有 令 位移影响系数 每单位力引起的位移值 82 位移互等定理 即第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向上的位移 等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向上的位移 在位移互等定理中 单位力 广义力 单位力偶 单位集中力 位移 广义位移 线位移 角位移 83 右图分别表示二种状态 即支座1发生单位位移 1 1时 使支座2产生的反力k21 另一种即为支座2发生单位位移 2 1时 使支座1产生的反力k12 3 反力互等定理 反力互等定理也是功的互等定理的一个特例 a 第一状态 b 第二状态 84 根据功的互等定理有 反力互等定理 即支座1发生单位位移所引起支座2的反力 等于支座2发生单位位移所引起的支座1的反力 85 注意 该定理对结构上任何两支座都适用 但应注意反力与位移在作功的关系上应相对应 即力对应线位移 力偶对应角位移 由反力互等定理 则有 k12 k21 86 4 反力位移互等定理 这个定理同样是功的互等定理的一种特殊情况 由两个状态应用功的互等定理 则有 主功力与反力的功相反 相差一负号 b 第二状态 由 1 1引起 21 a 第一状态 由FP2 1引起k12 87 单位载荷引起某支座的反力 等于因该支座发生单位位移时所引起的单位载荷作用处相应的位移 但符号相反 88 支座移动产生的位移 刚体位移 制造误差产生的位移 刚体位移 荷载作用产生的位移 变形体位移 温度改变产生的位移 变形体位移 显然支座移动产生的位移 制造误差产生的位移应该用刚体的虚力原理计算 荷载作用产生的位移 温度改变产生的位移应该用变形菜体的虚力原理计算