函数的单调性和极值.ppt

求导的公式与法则 如果函数f x g x 有导数 那么 求导的方法 定义法 公式法 复习导入 2 4函数的单调性与极值1 函数的单调性 一 函数的单调性 从几何图形上来分析 可见 函数的单调性可以用导数的符号来判定 同样 当时 曲线在内是下降 我们有如下定理 若函数在区间 a b 内单调递增 我们发现在 a b 上切线的斜率为正 即在 a b 内的每一点处的导数值为正 若函数在区间 a b 内单调递减 发现在 a b 上切线的斜率为负 即在 a b 内的每一点处的导数值为负 分析 从图形看 设函数y f x 在某个区间内有导数 如果在这个区间内y 0 那么y f x 为这个区间内的增函数 如果在这个区间内y 0 那么y f x 为这个区间内的减函数 证明函数单调性的常用方法 1 定义法 2 导数法 结论 y 0 增函数 y 0 减函数 例2 确定函数 的单调区间 解 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 用导数法确定函数的单调性时的步骤是 1 求出函数的导函数 2 求解不等式f x 0 求得其解集 再根据解集写出单调递增区间 3 求解不等式f x 0 求得其解集 再根据解集写出单调递减区间 注 单调区间不以 并集 出现 练习1 确定y 2x2 5x 7的单调区间 练习2 求y 3x x3的单调区间 一般地 设函数y f x 在x x0及其附近有定义 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都大 我们就说f x0 是函数的一个极大值 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都小 我们就说f x0 是函数的一个极小值 极大值与极小值统称为极值 函数极值的定义 函数的极大值和极小值统称为极值 极大值点和 极小值点统称为极值点 注意 极值是局部性的 因而 函数可以有许多个极大值和极小值 并且极大值不一定大于极小值 如果x0是f x 0的一个根 并且在x0的左侧附近f x 0 那么是f x0 函数f x 的一个极小值 导数的应用二 求函数的极值 如果x0是f x 0的一个根 并且在x0的左侧附近f x 0 在x0右侧附近f x 0 那么f x0 是函数f x 的一个极大值 1 求导函数f x 2 求解方程f x 0 3 检查f x 在方程f x 0的根的左右的符号 并根据符号确定极大值与极小值 口诀 左负右正为极小 左正右负为极大 用导数法求解函数极值的步骤 例1求函数的极值 点 1 y x2 7x 6 2 y 2x2 5x 3 y x3 27x 4 y 3x2 x3 表格法 注 极值点是导数值为0的点 导数为零的点不一定是极值点 导数的应用之三 求函数最值 在某些问题中 往往关心的是函数在整个定义域区间上 哪个值最大或最小的问题 这就是我们通常所说的最值问题 2 将y f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个最小值 求f x 在闭区间 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在区间 a b 内极值 极大值或极小值 表格法 例1 求函数f x x2 4x 6在区间 1 5 内的最大值和最小值 法一将二次函数f x x2 4x 6配方 利用二次函数单调性处理 例1 求函数f x x2 4x 6在区间 1 5 内的极值与最值 故函数f x 在区间 1 5 内的极小值为3 最大值为11 最小值为2 法二 解 f x 2x 4 令f x 0 即2x 4 0 得x 2 3 11 2 例2 求函数y x4 2x2 5在区间 2 2 上的最大值与最小值 导数 导数的定义 求导公式与法则 导数的应用 导数的几何意义 多项式函数的导数 函数单调性 函数的极值 函数的最值 基本练习 1 曲线y x4 2x3 3x在点P 1 0 处的切线的斜率为 A 5 B 6 C 7 D 8 2 当x 2 1 时 f x 2x3 3x2 12x 1是 单调递增函数 B 单调递减函数 C 部份单调增 部分单调减 D 单调性不能确定 3 已知过曲线y x3 3上点P的切线方程为12x 3y 16 则点P的坐标为 4 函数f x x3 3x 1的减区间为 A 1 1 B 1 2 C 1 D 1 1 5 若函数y a x3 x 的递减区间为 则a的取值范围为 A a 0 B 11 D 0 a 1 6 如果质点A按规律S 2t3运动 则在t 3秒时的瞬时速度为 A 6 B 18 C 54 D 81 7 已知y f x 2x3 3x2 a的极大值为6 那么a等于 A 6 B 0 C 5 D 1 8 函数y x3 3x的极大值为 A 0 B 2 C 3 D 1 思考 已知函数f x x2 2 m 1 x 4在区间 1 5 内的最小值为2 求m的值