函数的单调性与极值.ppt

2 4函数的单调性与极值1 函数的单调性 复习 1 某点处导数的定义 这一点处的导数即为这一点处切线的斜率 2 某点处导数的几何意义 3 导函数的定义 4 由定义求导数的步骤 三步法 5 求导的公式与法则 如果函数f x g x 有导数 那么 6 求导的方法 定义法 公式法 练习 1 设f x ax3 bx2 cx 且f 0 0 f 1 1 f 2 8 求a b c 2 抛物线f x x2 2x 4在哪一点处的切线平行于x轴 在哪一处的切线与x轴的夹角为450 a 1 b 1 c 0 引入 函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情况 而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢 若函数在区间 a b 内单调递增 我们发现在 a b 上切线的斜率为正 即在 a b 内的每一点处的导数值为正 若函数在区间 a b 内单调递减 发现在 a b 上切线的斜率为负 即在 a b 内的每一点处的导数值为负 分析 从图形看 设函数y f x 在某个区间内有导数 如果在这个区间内y 0 那么y f x 为这个区间内的增函数 如果在这个区间内y 0 那么y f x 为这个区间内的减函数 证明函数单调性的常用方法 1 定义法 2 导数法 结论 y 0 增函数 y 0 减函数 例1 确定函数y x2 2x 4的单调区间 用导数法确定函数的单调性时的步骤是 1 求出函数的导函数 2 求解不等式f x 0 求得其解集 再根据解集写出单调递增区间 3 求解不等式f x 0 求得其解集 再根据解集写出单调递减区间 注 单调区间不以 并集 出现 导数的应用一 判断单调性 求单调区间 例2 确定函数y 2x3 6x2 7的单调区间 练习1 确定y 2x2 5x 7的单调区间 练习2 求y 3x x3的单调区间 引例 确定y 2x3 6x2 7的单调区间 一般地 设函数y f x 在x x0及其附近有定义 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都大 我们就说f x0 是函数的一个极大值 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都小 我们就说f x0 是函数的一个极小值 极大值与极小值统称为极值 函数极值的定义 如果x0是f x 0的一个根 并且在x0的左侧附近f x 0 那么是f x0 函数f x 的一个极小值 导数的应用二 求函数的极值 如果x0是f x 0的一个根 并且在x0的左侧附近f x 0 在x0右侧附近f x 0 那么f x0 是函数f x 的一个极大值 1 求导函数f x 2 求解方程f x 0 3 检查f x 在方程f x 0的根的左右的符号 并根据符号确定极大值与极小值 口诀 左负右正为极小 左正右负为极大 用导数法求解函数极值的步骤 例1 求函数y x3 3 4x 4极值 练 1 y x2 7x 6 2 y 2x2 5x 3 y x3 27x 4 y 3x2 x3 表格法 注 极值点是导数值为0的点 导数的应用之三 求函数最值 在某些问题中 往往关心的是函数在整个定义域区间上 哪个值最大或最小的问题 这就是我们通常所说的最值问题 2 将y f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个最小值 求f x 在闭区间 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在区间 a b 内极值 极大值或极小值 表格法 一是利用函数性质二是利用不等式三是利用导数 注 求函数最值的一般方法 例1 求函数f x x2 4x 6在区间 1 5 内的最大值和最小值 法一 将二次函数f x x2 4x 6配方 利用二次函数单调性处理 例1 求函数f x x2 4x 6在区间 1 5 内的极值与最值 故函数f x 在区间 1 5 内的极小值为3 最大值为11 最小值为2 法二 解 f x 2x 4 令f x 0 即2x 4 0 得x 2 3 11 2 课本练习p44 思考 已知函数f x x2 2 m 1 x 4在区间 1 5 内的最小值为2 求m的值 导数 导数的定义 求导公式与法则 导数的应用 导数的几何意义 多项式函数的导数 函数单调性 函数的极值 函数的最值 基本练习 1 曲线y x4 2x3 3x在点P 1 0 处的切线的斜率为 A 5 B 6 C 7 D 8 2 函数y x100 2x50 4x25的导数为 y 100 x99 x49 x24 B y 100 x99 C y 100 x99 50 x49 25x24 D y 100 x99 2x49 3 已知过曲线y x3 3上点P的切线方程为12x 3y 16 则点P的坐标为 4 函数f x x3 3x 1的减区间为 A 1 1 B 1 2 C 1 D 1 1 6 当x 2 1 时 f x 2x3 3x2 12x 1是 单调递增函数 B 单调递减函数 C 部份单调增 部分单调减 D 单调性不能确定 7 如果质点M的运动规律为S 2t2 1 则在一小段时间 2 2 t 中相应的平均速度等于 A 8 2 t B 4 2 t C 7 2 t D 8 2 t 8 如果质点A按规律S 2t3运动 则在t 3秒时的瞬时速度为 A 6 B 18 C 54 D 81 9 已知y f x 2x3 3x2 a的极大值为6 那么a等于 A 6 B 0 C 5 D 1 10 函数y x3 3x的极大值为 A 0 B 2 C 3 D 1 例1 若两曲线y 3x2 ax与y x2 ax 1在点x 1处的切线互相平行 求a的值 分析原题意等价于函数y 3x2 ax与y x2 ax 1在x 1的导数相等 即 6 a 2 a 例2 已知抛物线y ax2 bx c通过点P 1 1 且在点Q 2 1 处与直线y x 3相切 求实数a b c的值 分析由条件知 y ax2 bx c在点Q 2 1 处的导数为1 于是4a b 1 又点P 1 1 Q 2 1 在曲线y ax2 bx c上 从而a b c 1且4a 2b c 1 例3已知P为抛物线y x2上任意一点 则当点P到直线x y 2 0的距离最小时 求点P到抛物线准线的距离 分析点P到直线的距离最小时 抛物线在点P处的切线斜率为 1 即函数在点P处的导数为 1 令P a b 于是有 2a 1 例4设f x ax3 x恰有三个单调区间 试确定实数a的取值范围 并求出这三个单调区间 思考 已知函数y x2 2 m 1 x 2在区间 2 6 内单调递增 求m的取值范围 1 若曲线y x3在点 处的切线的斜率等于 则点 的坐标为 2 8 B 2 8 C 1 1 或 1 1 D 1 2 1 8 2 若曲线y x5 5上一点 处的切线与直线y 3 x垂直 则此切线方程为 5x 5y 4 0 B 5x 5y 4 0 C 5x 5y 4 0 D 以上皆非 3 曲线y x3 3 x2 5在点 处的切线的倾角为3 4 则 的坐标为