函数模型及其应用.ppt

第十一节函数模型及其应用 第二章函数 导数及其应用 考纲要求 1 了解指数函数 对数函数以及幂函数的增长特征 知道直线上升 指数增长 对数增长等不同函数类型增长的含义 2 了解函数模型 如指数函数 对数函数 幂函数 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 的广泛应用 课前自修 知识梳理 1 我们学过的基本初等函数主要有 一次函数 二次函数 正 反 比例函数 三角函数 幂函数 等 我们要熟练掌握这些函数的图象与性质 以便利用它们来解决一些非基本函数的问题 2 函数的性质主要有 周期性 有界性 等 灵活运用这些性质 可以解决方程 不等式方面的不少问题 指数函数 对数函数 单调性 奇偶性 3 在解决某些应用问题时 通常要用到一些函数模型 它们主要有 一次函数模型 分式函数模型 分段函数模型等 4 解决实际问题的解题过程 1 阅读理解 读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景 领悟其中的数学本质 弄清题中出现的量及其数学含义 2 分析建模 分析题目中的量与量之间的关系 根据题意恰当地引入字母 包括常量与变量 有时可借助列表和画图等手段来理顺关系 同时要注意由已知条件联想熟悉的数学模型 以确定函数模型的种类 在对已知条件和目标变量的综合分析 归纳抽象的基础上 建立目标函数 将实际问题转化为数学问题 二次函数模型 幂函数模型 指数函数模型 对数函数模型 3 数学求解 利用相关的函数知识 进行合理设计 以确定最佳解题方案 进行数学上的求解计算 4 还原总结 把计算获得的结果还原到实际问题中去解释实际问题 即对实际问题进行总结作答 这些步骤用框图表示如下 基础自测 1 某工厂一种高科技产品第三年的销量比第一年的销量增长了69 若每年的平均增长率都是x 则以下结论正确的是 A x 33 B x 33 C x 33 D x的大小由第一年的销量确定 解析 依题意第三年的销量 1 x 2 1 69 解得x 30 33 故选B 答案 B 2 在一次数学试验中 运用图形计算器采集到如下一组数据 则x y的函数关系与下列哪类函数最接近 其中a b为待定系数 A y a bxB y a bxC y ax2 bD y a 解析 由表格数据逐个验证 知模拟函数为y a bx 故选B 答案 B 3 某工厂生产某种产品固定成本为2000万元 并且每生产一单位产品 成本增加10万元 又知总收入K是单位产品数Q的函数 K Q 40Q Q2 则总利润L Q 的最大值是 万元 2500 4 2012 荆州市调研 将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中 t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y aent 若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等 又过了m分钟后甲桶中的水只有升 则m的值为 解析 令a aent 即 ent 又 e5n 故 e15n 比较 知t 15 m 15 5 10 答案 10 考点探究 考点一 二次函数模型应用题 例1 2012年伦敦奥运会中国跳水队取得了辉煌的成绩 据科学测算 跳水运动员进行10米跳台跳水训练时 身体 看成一点 在空中的运动轨迹 如图所示 是一经过坐标原点的抛物线 图中标出数字为已知条件 且在跳某个规定的翻腾动作时 正常情况下运动员在空中的最高点距水面10米 入水处距池边4米 同时运动员在距水面5米或5米以上时 必须完成规定的翻腾动作 并调整好入水姿势 否则就会出现失误 1 求这个抛物线的解析式 2 在某次试跳中 测得运动员在空中的运动轨迹为 1 中的抛物线 且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为3米 问 此次跳水会不会失误 请通过计算说明理由 思路点拨 根据题设条件设出抛物线的解析式 再根据已知点的坐标 即可求出解析式 点评 实际生产和生活中 很多问题与二次函数有关 如面积的最大 利润最大 产量最高 用料最省等 解决这些问题 可建立二次函数模型 常利用配方法借助于对称轴和单调性求最值问题 有时也会使用导数法求最值 但一定要注意函数的定义域 否则容易出错 变式探究 1 某产品按质量分为10个档次 生产第一档 即最低档次 的利润是每件8元 每提高一个档次 利润每件增加2元 每提高一个档次 在相同的时间内 产量减少3件 在相同的时间内 最低档次的产品可生产60件 问在相同的时间内 生产第几档次的产品的总利润最大 有多少元 解析 法一 设相同的时间内 生产第x x N 1 x 10 档次的产品利润为y 依题意 得y 8 2 x 1 60 3 x 1 6x2 108x 378 6 x 9 2 864 1 x 10 x N 显然 当x 9时 ymax 864 元 即在相同的时间内 生产第9档次的产品利润最大 最大利润为864元 法二 同上得到y 6x2 108x 378 求导数 得y 12x 108 令y 12x 108 0 解得x 9 因x 9 1 10 y只有一个极值点 所以它是最值点 即在相同的时间内 生产第9档次的产品利润最大 最大利润为864元 考点二 分段函数应用题 例2 2011 佛山市南海一中模拟 某特许专营店销售世界大运会纪念章 每枚进价为5元 同时每销售一枚这种纪念章还需向深圳大组委交特许经营管理费2元 预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚 经过市场调研发现 每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少1元则增加销售400枚 而每增加1元则减少销售100枚 现设每枚纪念章的销售价格为x元 x N 1 写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y 单位 元 与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式 并写出这个函数的定义域 2 当每枚纪念章销售价格x为多少元时 该特许专营店一年内利润y 单位 元 最大 求出这个最大值 解析 1 依题意 y 变式探究 2 某市有甲 乙两家乒乓球俱乐部 两家设备和服务都很好 但收费方式不同 甲每张球台每小时5元 乙按月计费 一个月中30小时以内 含30小时 每张球台90元 超过30小时的部分每张球台每小时2元 李明准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动 其活动时间不少于15小时 也不超过40小时 1 设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f x 元 15 x 40 在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g x 元 15 x 40 试求f x 和g x 2 李明选择哪家俱乐部比较合算 为什么 当15 x 18时 f x g x 5x 90 0 f x g x 即选甲 当x 18时 f x g x 既可以选甲 也可以选乙 当18 x 30时 f x g x 5x 90 0 f x g x 即选乙 当30 x 40时 f x g x 5x 2x 30 3x 30 0 f x g x 即选乙 综上所述 当15 x 18时 选甲 当x 18时 可以选甲 也可以选乙 当18 x 40时 选乙 考点三 双勾函数的应用题 例3 2012 大连市模拟 某单位用2160万元购得一块空地 计划在该地块上建造一栋至少10层 每层2000平方米的楼房 经测算 如果将楼房建为x x 10 层 则每平方米的平均建筑费用为560 48x 单位 元 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少 该楼房应建为多少层 注 平均综合费用 平均建筑费用 平均购地费用 平均购地费用 点评 在解决函数综合问题时 要认真分析 处理好各种关系 把握问题的主线 运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决 尤其是注意等价转化 分类讨论 数形结合等思想的综合运用 综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能 因此 必须全面掌握有关的函数知识 并且严谨审题 弄清题目的已知条件 尤其要挖掘题目中的隐含条件 变式探究 3 2012 莱芜一中测试 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米 50 x 100 单位 千米 时 假设汽油的价格是每升2元 而汽车每小时耗油升 司机的工资是每小时14元 1 求这次行车总费用y关于x的表达式 2 当x为何值时 这次行车的总费用最低 并求出最低费用的值 考点四 指数函数型应用题 例4 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a 单位 m2 其中有部分旧住房需要拆除 当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10 建设新住房 同时也拆除面积为b 单位 m2 的旧住房 1 分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式 2 如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30 则每年拆除的旧住房面积b是多少 计算时取1 15 1 6 变式探究 4 现有某种细胞100个 其中有占总数的细胞每小时分裂一次 即由1个细胞分裂成2个细胞 按这种规律发展下去 经过多少小时 细胞总数可以超过1010个 参考数据 lg3 0 477 lg2 0 301 考点五 与数列相关的应用题 例5 2011 佛山市二模 国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款 旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费 住宿费及生活费 每一年度申请总额不超过6000元 某大学2010届毕业生凌霄在本科期间共申请了24000元助学贷款 并承诺在毕业后3年内 按36个月计 全部还清 签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元 第13个月开始 每月工资比前一个月增加5 直到4000元 凌霄同学计划前12个月每个月还款额为500元 第13个月开始 每月还款额比前一月多x元 1 若凌霄恰好在第36个月 即毕业后三年 还清贷款 求x的值 2 当x 50时 凌霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款 他当月工资的余额是否能满足每月3000元的基本生活费 参考数据 1 0518 2 406 1 0519 2 526 1 0520 2 653 1 0521 2 786 解析 1 依题意 从第13个月开始 每个月的还款额an构成等差数列 其中a1 500 x 公差为x 从而到第36个月 凌霄共还款12 500 24a1 x 令12 500 500 x 24 x 24000 解之得x 20 元 即要在第三年年末全部还清 第13个月起每个月必须比上一个月多还20元 变式探究 5 某企业进行技术改造 有两种方案 甲方案 一次性贷款10万元 第一年便可获利1万元 以后每年比前一年增加30 的利润 乙方案 每年贷款1万元 第一年可获利1万元 以后每年比前一年增加5千元 两种方案的使用期都是10年 到期一次性归还本息 若银行两种形式的贷款都按年息5 的复利计算 试比较两种方案中 哪种获利更多 参考数据 1 0510 1 629 1 310 13 786 1 510 57 665 课时升华 1 要熟练掌握几种常见的函数模型 并了解它们的增长差异 1 一次函数模型 f x kx b k b是常数 k 0 2 二次函数模型 f x ax2 bx c a b c是常数 a 0 3 指数函数模型 f x a bx c a b c是常数 a 0 b 0 b 1 4 对数函数模型 f x mlogax n a m n是常数 m 0 a 0 a 1 5 幂函数模型 f x a xn b a n b是常数 a 0 n 1 6 分式函数 7 分段函数 2 几类函数模型的增长差异 在 0 上 尽管函数y ax a 1 y logax a 1 和y xn n 0 都是增函数 但它们的增长速度不同 而且不在同一个 档次 上 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度越来越快 会超过并远远大于y xn n 0 的增长速度 而y logax a 1 的增长速度则会越来越慢 因此总会存在一个x0 当x x0时 恒有logax1 n 0 上述结论要结合几个特殊函数 y 2x y log2x和y x2 的图象去理解 通过图象可以体现出指数函数的爆炸式增长 3 解决函数应用问题应着重培养的能力 1 阅读理解 整理数据的能力 通过分析 画图 列表 归类等方法 快速弄清数据之间的关系 数据的单位等等 2 建立函数模型的能力 关键是正确选择自变量 将问题的目标表示为这个变量的函数 建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式 注意不要忘记考虑函数的定义域 3 求解函数模型的能力 主要是研究函数的单调性 求函数的值域 最大 小 值 计算函数的特殊值等 注意发挥函数图象的作用 感悟高考 品味高考 1 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下 大桥上的车流速度v 单位 千米 小时 是车流密度x 单位 辆 千米 的函数 当桥上的车流密度达到200辆 千米时 造成堵塞 此时车流速度为0 当车流密度不超过20辆 千米时 车流速度为60千米 小时 研究表明 当20 x 200时 车流速度v是车流密度x的一次函数 1 当0 x 200时 求函数v x 的表达式 2 当车流密度x为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数 单位 辆 小时 f x x v x 可以达到最大 并求出最大值 精确到1辆 小时 2 请你设计一个包装盒 如图所示 ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得A B C D四个点重合于图中的点P 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 E F在AB上是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点 设AE FB xcm 1 若广告商要求包装盒的侧面积S 单位 cm2 最大 试问 x应取何值 2 若厂商要求包装盒的容积V 单位 cm3 最大 试问 x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 高考预测 1 2012 华南师大附中综合测试 某厂生产某种产品的年固定成本为250万元 每生产x千件 需另投入成本为C x 当年产量不足80千件时 C x x2 10 x 万元 当年产量不小于80千件时 C x 51x 1450 万元 通过市场分析 若每件售价为500元时 该厂当年生产该产品能全部销售完 1 写出年利润L x 单位 万元 关于年产量x 单位 千件 的函数解析式 2 年产量为多少千件时 该厂在这一产品的生产中所获利润最大 最大利润是多少 2 2012 徐州市调研 据环保部门测定 某处的污染指数与附近污染源的强度成正比 与到污染源距离的平方成反比 比例系数为k k 0 现已知相距18km的A B两家化工厂 污染源 的污染强度分别为a b 它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和 设AC xkm 1 试将y表示为x的函数 2 若a 1 且当x 6时 y取得最小值 试求b的值 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