冲激函数及其性质.ppt

2 0引言 第二章连续系统时域分析 基本思想 如果能把任意输入信号分解成基本信号的线性组合 那么只要得到了LTI系统对基本信号的响应 就可以利用系统的线性特性 将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合 由于LTI系统满足齐次性和可加性 并且具有时不变性的特点 因而为建立信号与系统分析的理论与方法奠定了基础 问题的实质 1 研究信号的分解 即以什么样的信号作为构成任意信号的基本信号单元 如何用基本信号单元的线性组合来构成任意信号 2 如何得到LTI系统对基本单元信号的响应 1 本身尽可能简单 并且用它的线性组合能够表示 构成 尽可能广泛的其它信号 2 LTI系统对这种信号的响应易于求得 如果解决了信号分解的问题 即 若有 则 将信号分解可以在时域进行 也可以在频域或变换域进行 相应地就产生了对LTI系统的时域分析法 频域分析法和变换域分析法 信号与系统分析 2 系统分析 已知系统模型 研究系统对各种激励信号作用下的响应特性 4 分析方法 3 信号与系统分析的意义 1 信号时间特性与系统时间特性匹配 2 信号频率特性与系统频率特性匹配 3 信号功率特性与系统负载功率匹配 4 信号信息含量与系统容量匹配 分解 阶跃信号冲激信号正弦信号指数信号等 基本信号特性 复杂信号特性 基本信号 1 信号分析 复杂信号 时域法 变域法 内部法 外部法 2 1冲激函数及其性质 第二章连续系统时域分析 一 冲激函数 定义如图所示 可认为 显然当时 表示为 矩形面积称为冲激强度 显然有 2 1冲激函数及其性质 二 性质加权特性偶函数单位阶跃函数的倒数尺度变换的倒数及其性质 第二章连续系统时域分析 2 2系统的冲激响应 激励为单位冲激信号时系统的零状态响应 由于冲激函数及其各阶导数仅在t 0处作用 而在t 0的区间恒为零 也就是说 激励信号的作用是在t 0的瞬间给系统输入了若干能量 贮存在系统的各贮能元件中 而在t 0系统的激励为零 只有冲激引入的那些贮能在起作用 因而 系统的冲激响应由上述贮能唯一地确定 第二章连续系统时域分析 2 2系统的冲激响应 第二章连续系统时域分析 列微分方程 上式从到取积分 得 2 2系统的冲激响应 第二章连续系统时域分析 由三要素公式得 零输入响应 当时 电感电流在冲激信号作用下 从零跃变到 此时电路是一个特殊的 2 2系统的冲激响应 第二章连续系统时域分析 2 阶跃响应法 2 2系统的冲激响应 第二章连续系统时域分析 2 阶跃响应法 解 先用三要素法求阶跃响应 例 如图所示电路 R1 R2 1 c 1F 求阶跃响应和冲激响应 2 2系统的冲激响应 第二章连续系统时域分析 2 阶跃响应法 2 3信号的时域分解和卷积积分 第二章连续系统时域分析 直流分量 平均值 交流分量 其中 1 f t fD t fA t 其中 奇分量 偶分量 2 f t fo t fe t 如果有则称该信号为奇信号 镜像奇对称 则称为共轭偶信号 则称为共轭奇信号 对实信号有 对复信号有 3 任意连续时间信号可分解为冲激信号的连续和 对一般信号 可以将其分成很多宽度的区段 用一个阶梯信号近似表示 当时 有 这些矩形叠加起来形成阶梯信号 3 任意连续时间信号可分解为冲激信号的连续和 当时 于是 3 任意连续时间信号可分解为冲激信号的连续和 2 3卷积积分 第二章连续系统时域分析 I 系统零状态响应 y t yx t yf t 记作 yf t f t h t yx t 取决于系统自然频率和初始值yf t 取决于系统自然频率和激励 t h t t h t f t f h t 此称为f t 与h t 的卷积积分 Convolution LTI系统可以完全由它的单位冲激响应来表征 这种求得系统响应的运算关系称为卷积积分 II 卷积积分的计算 1 利用定义计算 2 利用图解法计算 1 f t h t f h 2 h h 折叠 3 h h t 平移 4 f h t 相乘 5 计算积分 卷积积分图解法 当t 1 当 1 t 1 当1 t 2 当2 t 4 当t 4 例1 若h1 t u t h2 t t T h3 t t 求h t 解 例2 求y t f t h t 其中 h t u t 1 u t 1 解 例6 用图解法求y t f t h t 其中 解 当t 0 当0 t 7 当7 t 或 III 常用信号的卷积积分 3 f t 与阶跃信号卷积 4 斜坡信号与阶跃信号卷积 1 f t 与冲激信号卷积 2 f t 与冲激信号偶卷积 2 4卷积积分的运算性质及含有冲激函数的卷积 第二章连续系统时域分析 1 交换律 结论 一个单位冲激响应是的LTI系统对输入信号所产生的响应 与一个单位冲激响应是的LTI系统对输入信号所产生的响应相同 第二章连续系统时域分析 2 分配律 第二章连续系统时域分析 结论 两个LTI系统并联 其总的单位脉冲 冲激 响应等于各子系统单位脉冲 冲激 响应之和 3 结合律 第二章连续系统时域分析 两个LTI系统级联时 系统总的单位冲激 脉冲 响应等于各子系统单位冲激 脉冲 响应的卷积 由于卷积运算满足交换律 因此 系统级联的先后次序可以调换 结论 产生以上结论的前提条件 系统必须是LTI系统 所有涉及到的卷积运算必须收敛 4 卷积运算还有如下性质 若 则 卷积积分满足微分 积分及时移特性 若 则