任意角的三角函数(优秀课件).ppt

1 2任意角的三角函数 1 2 1任意角的三角函数 1 在初中我们是如何定义锐角三角函数的 y x 2 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数 y x 2 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数 o 如果改变点 在终边上的位置 这三个比值会改变吗 M O y x P a b 1 锐角三角函数 在单位圆中 2 任意角的三角函数定义 设是一个任意角 它的终边与单位圆交于点 那么 1 叫做的正弦 记作 即 2 叫做的余弦 记作 即 3 叫做的正切 记作 即 所以 正弦 余弦 正切都是以角为自变量 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数 我们将他们称为三角函数 使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域 说明 任意角的三角函数的定义过程 例1 求的正弦 余弦和正切值 的终边与单位圆的交点坐标为 所以 思考 若把角改为呢 P15 1 几个特殊角的三角函数值 例2 已知角的终边经过点 求角的正弦 余弦和正切值 解 由已知可得 设角的终边与单位圆交于 分别过点 作轴的垂线 于是 设角是一个任意角 是终边上的任意一点 点与原点的距离 那么 叫做的正弦 即 叫做的余弦 即 叫做的正弦 即 任意角的三角函数值仅与有关 而与点在角的终边上的位置无关 定义推广 于是 练习 1 已知角的终边过点 求的三个三角函数值 解 由已知可得 练习4 R R 口诀 一全正 二正弦 三正切 四余弦 心得 角定象限 象限定符号 例3 求证 当下列不等式组成立时 角为第三象限角 反之也对 证明 因为 式成立 所以角的终边可能位于第三或第四象限 也可能位于y轴的非正半轴上 又因为 式成立 所以角的终边可能位于第一或第三象限 因为 式都成立 所以角的终边只能位于第三象限 于是角为第三象限角 反过来请同学们自己证明 思考 如果两个角的终边相同 那么这两个角的同一三角函数值有何关系 利用公式一 可以把求任意角的三角函数值 转化为求角的三角函数值 例题 1 因为是第三象限角 所以 3 因为 而是第一象限角 所以 解 2 因为是第四象限角 所以 解 6 已知 在第二象限 试确定sin cos cos sin 的符号 解 在第二象限 1 cos 0 0 sin 1 sin cos 0 sin cos cos sin 0 故sin cos cos sin 的符号为 号 1 内容总结 三角函数的概念 三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号 诱导公式一 运用了定义法 公式法 数形结合法解题 划归的思想 数形结合的思想 2 方法总结 3 体现的数学思想 下面我们再从图形角度认识一下三角函数 思考 为了去掉等式中得绝对值符号 能否给线段OM MP规定一个适当的方向 使它们的取值与点P的坐标一致 定义 有向线段 带有方向的线段叫有向线段 有向线段的大小称为它的数量 在坐标系中 规定 有向线段的方向与坐标系的方向相同 即同向时 数量为正 反向时 数量为负 当角 的终边不在坐标轴上时 以M为始点 P为终点 规定 当线段MP与y轴同向时 MP的方向为正向 且有正值y 当线段MP与y轴反向时MP的方向为负向 且有负值y MP y sin 有向线段MP叫角 的正弦线 MP y sin OM x cos 当角 的终边不在坐标轴上时 以O为始点 M为终点 规定 当线段OM与x轴同向时 OM的方向为正向 且有正值x 当线段OM与x轴反向时 OM的方向为负向 且有负值x OM x cos 有向线段OM叫角 的余弦线 过点A 1 0 作单位圆的切线 设它与 的终边或其反向延长线相交于点T 有向线段AT叫角 的正切线 这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 分别叫做角 的正弦线 余弦线 正切线 统称为三角函数线 当角 的终边与x轴重合时 正弦线 正切线 分别变成一个点 此时角 的正弦值和正切值都为0 当角 的终边与y轴重合时 余弦线变成一个点 正切线不存在 此时角 的正切值不存在 规律 三角函数线是有向线段的数量 要分清起点 终点 1 凡含原点的线段 均以原点为起点 2 不含原点的线段 线段与坐标轴的交点为起点 3 正切线AT 起点A一定是单位圆与轴的非负半轴的交点 终点T为终边 或延长线 与过A的圆的切线的交点 MP是正弦线 OM是余弦线 AT是正切线 M P A T 例题示范 例2 作出下列各角的正弦线 余弦线 正切线 1 2 例3 利用单位圆寻找适合下列条件的0 到360 的角 30 150 解 30 90 或210 270 例4 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边 例 在单位圆中作出符合条件的角的终边 变式 写出满足条件 cos 的角 的集合 虚线 小结 1 2 三角函数线的定义 会画任意角的三角函数线 3 利用单位圆比较三角函数值的大小 求角的范围