代数系统(离散数学).ppt

离散数学 II 古典代数与近世代数 古典代数的研究对象 方程以方程根的计算与分布为其研究中心近世代数的研究对象 代数系统古典代数的发展过程导致了群的概念的提出 发展成了近世代数 古典代数的发展过程 一元一次方程公元前1700年一元二次方程公元前几世纪巴比伦人一元三次方程我国 在公元七世纪一般的近似解法唐朝数学家王孝通 缉古算经 西方 16世纪意大利数学家卡丹公式 古典代数的发展过程 一元四次方程FerrariL化为求一个三次方程和两个二次方程的根一元五次方程失败 EulerL 1707 1783 Vandemonde LagrangeJL RuffiniP GaussKF19世纪法国青年数学家Galois 五次以上方程无根式解 Galois 1811 1832 近世代数的创始人 EvaristeGalois 近世代数的特点 抽象代数系统 群环域格布尔代数 离散数学II 第六章群与环 6 1代数系统 代数运算的定义及其性质代数系统的定义 二元代数运算设S是一个非空集合 称S S到S的一个映射f为S的一个二元代数运算 即 对于S中任意两个元素a b 通过f 唯一确定S中一个元素c f a b c 常记为a b c Note 代数运算是闭运算 该运算具有很强的抽象性 不限于 意义很广泛 类似地 可定义S的n元代数运算 Sn到S的映射 代数运算的定义 加法和乘法是自然数集N上的二元代数运算 减法和除法不是N上的二元代数运算加法 减法 乘法都是整数集Z上的二元代数运算 除法不是Z上的二元代数运算乘法 除法是非零实数集R 上的二元代数运算 加法和减法不是R 上的二元代数运算 代数运算的例子 矩阵加法和乘法是n阶实矩阵集合上的二元代数运算 设S是一个非空集合 S 是S的幂集 则 是 S 上的二元代数运算 都是真值集合 0 1 上的二元代数运算 代数运算的例子 设 是集合S上的二元代数运算 如果对于任意a b S a b b a都成立 则称运算 满足交换律 例 设Q为有理数集合 对任意a b Q 定义Q上的运算 如下 a b a b a b 则 是Q上的二元代数运算 且满足交换律 a b a b a b b a b a b a 代数运算的性质 交换律 设 是集合S上的二元代数运算 如果对于任意a b c S a b c a b c 都成立 则称运算 满足结合律 例 设A是一个非空集合 对任意a b A 定义A上的运算 如下 a b b 则 是A上的二元代数运算 且满足结合律 a b c b c ca b c a c c 代数运算的性质 结合律 设 是集合S上的二元代数运算 a是S中的元素 如果a a a 则称a是关于运算 的幂等元 如果S中每个元素都是关于 的幂等元 则称运算 满足等幂律 结论 若a是关于运算 的幂等元 则对于任意正整数n an a 代数运算的性质 等幂律 设 和 是集合S上的两个二元代数运算 如果对于任意a b c S a b c a b a c b c a b a c a 都成立 则称运算 对 满足分配律 Note 未必满足交换律 所以一个等式成立 另一个未必成立 代数运算的性质 分配律 例 设A 二元运算 定义如下 问分配律成立否 证明 x y z x y x z 证 当x x y z x y x z 当x x y z y z x y x z y z 运算 对运算 不可分配证 设 和 是集合S上的两个二元代数运算 如果对于任意a b S a a b a a a b a 都成立 则称运算 和 满足吸收律 例 定义自然数集合N上的运算 和 如下 对于任意a b N 有a b max a b a b min a b 则 和 是N上的二元代数运算 且满足吸收律a a b max a min a b a a a b min a max a b a 代数运算的性质 吸收律 设 是集合S上的二元代数运算 如果S中存在元素 使得对于S中任意元素a 都有a a 则称 是S上关于运算 的零元 设 是集合S上的二元代数运算 对于S中任意三个元素a b c 其中a不等于零元 如果有 1 若a b a c 则b c 2 若b a c a 则b c 就称 满足消去律 代数运算的性质 消去律 例 n阶实矩阵集合上的加法满足消去律 但乘法不满足消去律 因为但 例 整数集Z上的加法 乘法都满足结合律和交换律 乘法对加法满足分配律 但加法对乘法不满足分配律 减法不满足结合律 也不满足交换律 它们都不满足等幂律 也不满足吸收律 例 n阶实矩阵集合上的加法满足结合律 也满足交换律 乘法满足结合律 但不满足交换律 它们都不满足等幂律 也不满足吸收律 代数运算性质例 例 设 S 是非空集合S的幂集 则 S 上的交运算 并运算 都满足结合律 交换律 对 对 都满足分配律 它们都满足等幂律 也满足吸收律 但 不满足消去律 代数运算性质例 设S是一个非空集合 f1 fm是S上的若干代数运算 把S及其运算f1 fm看成一个整体来看 叫做一个代数系统 记为 S f1 fm 代数系统的定义 例 设S是一个非空集合 S 是S的幂集 则 S 为代数系统 例 设 是真值集合 0 1 上的合取与析取运算 则 0 1 是代数系统 代数系统的例 例 设Z为整数集 Z0为偶数集 N为自然数集 是数的加法和乘法 则 Z Z Z Z0 Z0 Z0 N N N 都是代数系统 例 设 分别表示求最大公约数和求最小公倍数的运算 那么 Z Z0 N 都是代数系统 代数系统的例