2019届高三数学上学期期末试卷含详细答案

2019 届高三数学上学期期末试卷含详细答案数学(满分 160 分，考试时间 120 分钟)参考公式：锥体体积公式：V13Sh，其中 S 为底面积，h 为高圆锥侧面积公式：S rl，其中 r 为底面半径，l 为母线长一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分1. 已知集合 A0，1，2，集合 B1，0，2，3，则AB_2. 函数 f(x)lg（3x）的定义域为_3. 从 1，2，3，4，5 这 5 个数中，随机抽取 2 个不同的数，则这 2个数的和为 6 的概率是_4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的 i 的值为_5. 已知一个圆锥的底面积为 ，侧面积为 2，则该圆锥的体积为_6. 抛物线 y28x 的焦点到双曲线 x216y291 渐近线的距离为_7. 设 Sn 是等比数列an的前 n 项的和，若 a6a312，则S6S3_8. 已知函数 f(x)12x2x，则满足 f(x2 5x)f(6)0 的实数 x 的取值范围是_9. 若 2cos 2sin4，2，则 sin 2_10. 已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，D，E 分别是边 AB，BC的中点，连结 DE 并延长到点 F，使得 DE3EF，则 AFBC的值为_11. 已知等差数列an的公差为 d(d0)，前 n 项和为 Sn，且数列Snn也为公差为 d 的等差数列，则 d_12. 已知 x0，y0 ，x y1x4y，则 xy 的最小值为_13. 已知圆 O：x2 y21，圆 M：(x a)2 (y2)22.若圆 M 上存在点 P，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A，B，使得PAPB，则实数 a 的取值范围为 _14. 设函数 f(x)ax3bx2cx(a，b，cR，a0)若不等式xf (x)af(x) 2 对一切 xR 恒成立，则 bca 的取值范围为_二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. (本小题满分 14 分)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ccos B bcos C3acos B.(1) 求 cos B 的值；(2) 若|CACB|2，ABC 的面积为 22，求边 b.16. (本小题满分 14 分)如图，在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是矩形，VD 平面ABCD，过 AD 的平面分别与 VB，VC 交于点 M，N.(1) 求证：BC平面 VCD；(2) 求证： ADMN.17. (本小题满分 14 分)某房地产商建有三栋楼宇 A，B，C，三楼宇间的距离都为 2 千米，拟准备在此三楼宇围成的区域 ABC 外建第四栋楼宇 D，规划要求楼宇 D 对楼宇 B，C 的视角为 120，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计(1) 求四栋楼宇围成的四边形区域 ABDC 面积的最大值；(2) 当楼宇 D 与楼宇 B，C 间距离相等时，拟在楼宇 A，B 间建休息亭 E，在休息亭 E 和楼宇 A，D 间分别铺设鹅卵石路 EA 和防腐木路 ED，如图已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为 a，2a(单位：元/千米，a 为常数)记BDE，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值18. (本小题满分 16 分)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的长轴长为 4，两准线间距离为 42.设 A 为椭圆 C 的左顶点，直线 l 过点 D(1，0) ，且与椭圆 C相交于 E，F 两点(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 若 AEF 的面积为 10，求直线 l 的方程；(3) 已知直线 AE，AF 分别交直线 x3 于点 M，N，线段 MN 的中点为 Q，设直线 l 和 QD 的斜率分别为 k(k0) ，k.求证：kk为定值19. (本小题满分 16 分)设数列an是各项均为正数的等比数列，a12，a2a464，数列bn满足：对任意的正整数 n，都有a1b1a1b2anbn(n1)2n12.(1) 分别求数列 an与bn的通项公式；(2) 若不等式 112b1112b2112bn0)恒成立，求实数m 的取值范围.数学附加题(本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟)21. (本小题满分 10 分)求函数 y3cos2x3 的图象在 x512 处的切线方程22. (本小题满分 10 分)已知定点 A(2，0)，点 B 是圆 x2y28x120 上一动点，求 AB 中点 M 的轨迹方程. 23. (本小题满分 10 分)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知AB AC， AB2，AC4，AA13，D 是 BC 的中点(1) 求直线 DC1 与平面 A1B1D 所成角的正弦值；(2) 求二面角 B1DC1A1 的余弦值24. (本小题满分 10 分)已知 x，y 为整数，且 xy0，0，2 ，n 为正整数，cos x2y2x2y2，sin 2xyx2 y2，记 An(x2 y2)ncos n，Bn (x2y2)nsin n.(1) 试用 x， y 分别表示 A1，B1；(2) 用数学归纳法证明：对一切正整数 n，An 均为整数数学参考答案1. 0，2 2. x|x2 3. 15 4. 8 5. 33 6. 65 7. 12 8. (2，3) 9. 78 10. 13 11. 12 12. 3 13. 2，2 14. 16，15. (1) 由正弦定理 asin Absin Bcsin C，(1 分)且 ccos Bbcos C3acos B，得 sin Ccos Bsin Bcos C3sin Acos B， (3 分)则 3sin Acos Bsin(BC)sin (A)sin A ，(5 分)又 A(0，) ，则 sin A0，(6 分)则 cos B13.(7 分)(2) 因为 B(0，)，则 sin B0，sin B 1 cos2B1132223.(9 分)因为|CACB|BA|c2，(10 分)又 S12acsin B12a222322，解得 a3.(12 分)由余弦定理得，b2a2c2 2accos B9 4232139，则b3.(14 分)故边 b 的值为 3.16. (1) 在四棱锥 VABCD 中，因为 VD平面 ABCD，BC平面 ABCD，所以 VDBC.(3 分)因为底面 ABCD 是矩形，所以 BCCD.(4 分)又 CD平面 VCD，VD 平面 VCD，CDVD D ，则 BC平面 VCD.(7 分)(2) 因为底面 ABCD 是矩形，所以 ADBC，(8 分)又 AD平面 VBC，BC平面 VBC，则 AD平面 VBC，(11 分)又平面 ADNM平面 VBCMN ，AD平面 ADNM，则 ADMN.(14 分)17. (1) 因为三楼宇间的距离都为 2 千米，所以 ABAC BC 2，(1 分)因为楼宇 D 对楼宇 B，C 的视角为 120，所以BDC 120， (2 分)在BDC 中，因为 BC2BD2DC22BDDCcosBDC，(3 分)所以 22BD2CD2 2BDCD cos 120oBD2CD2 BD CD2BDCDBD CD3BDCD，则 BDCD 43，(4 分)当且仅当 BDCD 时等号成立，此时DBC DCB 30，BDCD1cos 30233.区域最大面积 SS ABCSBCD1222sin 6012BDCDsin 120 433(平方千米)(7 分)(或者：因为直角三角形ABD ，ACD 全等，区域最大面积SS ABDSACD2SABD212ABBD433(平方千米)(7 分 )(2)设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为 y 元，在 RtBDE 中，由(1)知，BDE0，3，(8 分)则 DE233cos，BE 233tan ， AEABBE 2233tan ，(9 分)所以 y2aEDaAE2a233cos a 2233tan 23a32 sin cos 2a，0，3.(10 分)记 f( )2sin cos ，令 f()12sin cos20，解得 60，3.(11 分)当 0，6 时，f()0，函数 f() 为增函数所以当 6 时，f() 取最小值，此时 ymin4a(元)(12 分)答：(1) 四栋楼宇围成的四边形区域 ABDC 面积的最大值为 433 平方千米；(2)铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为 4a 元(14 分)18. (1)由长轴长 2a4，准线间距离 2a2c42，解得 a2， c2，(2 分)则 b2a2 c22，即椭圆方程为 x24y221.(4 分)(2) 若直线 l 的斜率不存在，则 EF6，AEF 的面积 S12ADEF362 不合题意；(5 分)若直线 l 的斜率存在，设直线 l：yk(x1)，代入得，(1 2k2)x24k2x2k240，因为点 D(1，0) 在椭圆内，所以 0 恒成立设点 E(x1， y1)，F(x2，y2) ，则 x1，24k2223k222（12k2） ，(6 分)EF（ x1x2）2（y1y2）21k2|x1x2|1k2223k2212k2.(7 分)点 A 到直线 l 的距离 d 为 3|k|1k2，(8 分)则 AEF 的面积S12dEF123|k|1 k21k2223k2212k2323k42k212k210，(9 分)解得 k1.综上，直线 l 的方程为 xy10 或 xy10.(10 分)(3)设直线 AE：yy1x12(x2)，令 x3，得点 M3，5y1x12，同理可得点 N3，5y2x22，所以点 Q 的坐标为 3，5y12（x12）5y22（x22）.(12 分)所以直线 QD 的斜率为 k54y1x12y2x22，(13 分)而 y1x12y2x22k（x11）x12k（x21）x22k2x1x2x1x24x1x22（x1x2）4.(14 分)由(2)中 得， x1x24k212k2，x1x22k2412k2，代入上式得，(15 分)y1x12y2x22k4k284k24（12k2）2k248k248k212k18k223k.则 k56k，所以 kk56 为定值(16 分)19. (1) 设等比数列 an的公比为 q(q0)，因为 a12 ，a2a4a1qa1q364，解得 q2，则 an2n.(1 分)当 n1 时，a1b1 2，则 b11，(2 分)当 n2 时，a1b1 a2b2anbn(n1)2n12，a1b1a2b2an1bn1(n2)2n2，由得，anbn n 2n，则 bnn.综上，bnn.(4 分)(2)不等式 112b1112b2112bn0，当 0 时，不等式显然成立；(5 分)当 0 时，则不等式等价于 112114112n2n1f(2)f(3)f (n)，所以 1f(n)maxf(1) 32，则 02019，(12 分)又因为 2 0191 0659544772，(14 分)所以当 m9(22228)477996 时，Tm2 019.即存在 m996，使得 Tm2 019.(16 分)20. 当 a1 ，b1 时， f(x)ln xx，(1 分)则 f (x)1x1，则 f(1)1110.(3 分)又 f(1)1，则所求切线方程为 y1.(4 分)(2) 当 a1 时，f(x)ln xbx，则 f (x)1xb1bxx，(5 分)由题意知，函数的定义域为(0，)，若 b0，则 f(x)0 恒成立，则函数 f(x)的增区间为(0，)；(6 分)若 b0，则由 f(x)0，得 x1b，当 x0，1b 时，f(x)0，则函数 f(x)的单调增区间为 0，1b；(7 分)当 x1b，时，f(x)0时，函数 f(x)的单调增区间为 0，1b，单调减区间为 1b，.(3) 因为 x1，x2 分别是方程 aln xx0 的两个根，即 aln x1x1，aln x2x2.两式相减 a(ln x2ln x1)x2x1，则 ax2 x1lnx2x1，(9 分)则不等式 a0) ，可变为 x2x1lnx2x10，ln t0，所以 ln tt11mmt0 在 t(1，) 上恒成立，(11 分)令 k(t)ln tt11mmt，则 k(t) （ t1）m2t（m 1）2t（1 m mt）2m2（t 1）t（m1）2m2t（1mmt）2，当（m1）2m21，即 m12 时，k(t)0 在(1，) 上恒成立，则 k(x)在(1，)上单调递增，又 k(1)0，则 k(t)0 在(1，)上恒成立； (13 分)当（1m）2m21，即 0m12 时，当 t1， （1m）2m2 时，k(t)0 ，则 k(x)在 1， （1m） 2m2 上单调递减，则 k(x)k(1)0，不符合题意(15 分)综上，m12.(16 分)21. 因为 y3cos2x3，所以 y6sin2x3，(4 分)所以函数图象在 x512 处的切线斜率k6sin5636.(6 分)当 x512 时，y3cos5630，(7 分)所以所求切线方程为 y06x512，即 y6x52.(10 分)22. 设点 M(x，y)，点 B(x0，y0)因为 M 为 AB 的中点，所以 xx022，yy002，(4 分)所以 x02x2，y02y.(6 分)将点 B(x0，y0)代入圆 x2y28x120 得(2x 2)24y24，化简得(x1)2y21.即点 M 的轨迹方程为(x1)2y21.(10 分 )23. (1) 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，有AB AC， AA1AB ，AA1 AC，故可以AB，AC，AA1为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系(1 分)因为 AB2，AC 4，AA13，所以 A(0，0，0) ，B(2 ，0，0) ，C(0，4，0)，A1(0，0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3)因为 D 是 BC 的中点，所以 D(1，2，0)所以 DC1(1，2，3)设 n1(x1，y1，z1)为平面 A1B1D 的法向量，因为 A1B1(2，0，0)，B1D(1， 2，3) ，所以 A1B1n10，B1Dn10，即2x10，x12y13z10，令 y13，则 x10，z12，所以平面 A1B1D 的一个法向量为n1(0，3，2) (3 分)设直线 DC1 与平面 A1B1D 所成的角为 ，则 sin |cos?DC1，n1?|121314618291，所以直线 DC1 与平面 A1B1D 所成角的正弦值为 618291.(5 分)(2) 由 (1)知 DC1(1，2，3)，B1C1(2，4，0) ，设 n2(x2，y2，z2)为平面 B1DC1 的法向量，则 DC1n20，B1C1n20，即x22y23z2 0， 2x24y20，令 x22，则 y21，z20，所以平面 B1DC1 的一个法向量为n2(2，1，0) (7 分)同理可以求得平面 A1DC1 的一个法向量 n3(3 ，0，1)，所以 cos?n2，n3?6105325，(9 分)由图可知二面角 B1DC1A1 的余弦值为 325.(10 分)24. (1) A1(x2y2)cos (x2y2)x2 y2x2y2x2y2，(1 分)B1(x2y2)sin (x2y2)2xyx2y22xy.(2 分)(2) 当 n 1 时，由(1)得 A1x2y2，B12xy.因为 x，y 为整数，所以 A1，B1 均为整数，所以结论成立；(4 分)当 nk(k2，kN*)时，假设 Ak，Bk 均为整数，则当 nk1 时，Ak1(x2y2)k1cos (k1) (x2 y2)(x2y2)k(cos kcos sin ksin )(x2 y2)cos (x2y2)kcos k(x2y2)ksin k(x2y2)sin A1AkB1Bk.(9 分)因为 A1，B1，均为整数，所以 Ak1 也为整数，即当 nk1 时，结论也成立综合得，对一切正整数 n，An 均为整数(10 分)