2019届高三数学一模试卷有标准答案

2019 届高三数学一模试卷有标准答案数 学(满分 160 分，考试时间 120 分钟)参考公式：柱体的体积 VSh，锥体的体积 V13Sh一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分1. 函数 f(x)sin 2x 的最小正周期为_2. 已知集合 A4，a2，B1，16，若 AB，则实数a_ 3. 复数 z 满足 zi43i(i 是虚数单位)，则 |z|_4. 函数 y1x2 的定义域是_5. 从 1，2，3，4，5 这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6 的概率为_6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 T 的值是_7. 已知数列an满足 log2an1log2an 1，则a5a3a3a1 _8. 若抛物线 y22px(p0)的准线与双曲线 x2y21 的一条准线重合，则 p_9. 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，M 为棱 AA1 的中点，记三棱锥 A1MBC 的体积为 V1，四棱锥 A1BB1C1C 的体积为 V2，则V1V2 的值是_ 10. 已知函数 f(x)2x4 4x2，若 f(a3)f(a1)，则实数 a 的取值范围为_11. 在平面直角坐标系 xOy 中，过圆 C1： (xk)2 (yk4)21上任一点 P 作圆 C2：x2y21 的一条切线，切点为 Q，则当线段PQ 的长最小时， k_12. 已知 P 为平行四边形 ABCD 所在平面上任一点，且满足PAPB 2PD0，PAPBPC0，则_13. 已知函数 f(x)x3 3x2a，xa，x33x4a ，xb0)的左顶点为 A，B 是椭圆 C 上异于左、右顶点的任意一点，P 是 AB的中点，过点 B 且与 AB 垂直的直线与直线 OP 交于点 Q，已知椭圆 C 的离心率为 12，点 A 到右准线的距离为 6.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 设点 Q 的横坐标为 x0，求 x0 的取值范围19. (本小题满分 16 分)设 A，B 为函数 yf(x) 图象上相异两点，且点 A，B 的横坐标互为倒数，过点 A，B 分别作函数 yf(x) 的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数 f(x)的“优点” (1) 若函数 f(x)ln x，01 不存在“优点” ，求实数a 的值；(2) 求函数 f(x)x2 的“优点”的横坐标的取值范围；(3) 求证：函数 f(x)ln x 的“优点”一定落在第一象限20. (本小题满分 16 分)已知首项不为 0 的数列an的前 n 项和为 Sn，2a1 a2a3，且对任意的 nN，n2 都有 2nSn1(2n5)SnSn 1ra1.(1) 若 a2 3a1，求 r 的值；(2) 数列 an能否是等比数列？说明理由；(3) 当 r1 时，求证：数列an 是等差数列2019 届高三年级第一次模拟考试数学附加题(本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟)21. 【选做题】本题包括 A、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修 42：矩阵与变换( 本小题满分 10 分)B. 选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为x12t，y12t(t 为参数)，曲线 C 的参数方程为 x12cos ，y2sin ( 为参数) 若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长C. 选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分)设正数 a， b，c 满足 3a2bc1，求 1a1ab1bc 的最小值【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分 10 分)如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA13，AB1.(1) 求异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值；(2) 求平面 A1BC 与平面 AC1D 所成二面角的正弦值23. (本小题满分 10 分)已知函数 f(x)1|2x1|，0x1，设 fn(x)fn1(f1(x)，其中f1(x)f(x)，方程fn(x)0 和方程 fn(x)1 根的个数分别为 gn(0)，gn(1)(1) 求 g2(1)的值；(2) 证明：gn(0) gn(1)1.2019 届高三年级第一次模拟考试(七)( 泰州)数学参考答案1. 2. 4 3. 5 4. 1，1 5. 15 6. 87. 4 8. 2 9. 14 10. (1，) 11. 212. 34 13. 1，0) 14. 51015. (1) 因为 ab，所以 sin xcos x12，即 sin 2x1.因为 x(0，) ，所以 x4.(2) 因为 tan xsin xcos x2，所以 sin x2cos x.因为 ab sin x12，1cos x，所以|ab|sin x122 （1cos x）294sin x2cos x32.16. (1) O 为 BD 的中点，F 为 PD 的中点，所以 PBFO.因为 PB平面 OEF，FO平面 OEF，所以 PB平面 OEF.(2) 连结 AC，因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 AC 与 BD 交于点 O，O 为 AC 的中点因为 E 为 PC 的中点，所以 PAOE.因为 PAAB，PA AD，ABADA，AB ，AD 平面 ABCD，所以 PA平面 ABCD，所以 OE平面 ABCD.因为 OE平面 OEF，所以平面 OEF平面 ABCD.17. (1) 因为 Q 为弧 AB 的中点，由对称性，知PAPB， AOP BOP6，又APO，OAP6，由正弦定理，得 PAsin 6OAsin （ ）OPsin 6，又OA2，所以 PA1sin ，OP2sin6sin ，所以 yPA PB OP2PAOP22sin6sin 3sin cos 2sin ，因为APQAOP ，所以 6，OAQOQA12(6)512，所以 6，512.(2) 令 f( )3sin cos 2sin ，6，512，f( )12cos sin2 0，得 3，f( )在区间 6，3 上单调递减，在区间( 3，512)上单调递增，所以当 3，即 OP233 千米时，f()有唯一的极小值，即是最小值，则 f()min23.答：当工作坑 P 与 O 的距离为 233 千米时，地下电缆管线的总长度最小18. (1) 依题意，得 ca12，aa2c6，解得 a2，c1，所以 ba2c2 3，所以椭圆 C 的方程为 x24y231.(2) 由 (1)知， A(2，0)，设 AB：xmy 2，m 0，联立 xmy2，3x24y212，解得 x6m283m24，y12m3m2 4 或 x2，y0，即 B(6m283m24，12m3m2 4) ，则 P(83m2 4，6m3m2 4)，所以 kOP 3m4，OP：y3m4x.因为 ABBQ ，所以 kBQm，所以直线 BQ 的方程为BQ： ymx6m34m3m2 4，联立 y3m4x，ymx6m34m3m24，得x08（3m22）3m248163m24 (4，8)19. (1) 由题意可知，f (x)f1x 对 x(0，1)(1 ，)恒成立，不妨取 x(0，1) ，则 f(x)1x2axf1x 恒成立，即 a12，经验证，a 12 符合题意(2) 设 A(t，t2)，B1t ， 1t2(t0 且 t1)，因为 f(x)2x，所以 A，B 两点处的切线方程分别为 y2txt2 ，y2tx 1t2，令 2txt22tx1t2，解得 x12t1t(，1)(1，) ，所以“优点”的横坐标取值范围为(，1) (1，) (3) 设 A(t，ln t)，b1t，ln t ，t(0 ，1)，因为 f(x)1x，所以 A，B 两点处的切线方程分别为 y1txln t1，ytxln t1，令 1txln t1txln t1，解得 x2ln tt1t0 ，所以 y1t2ln tt1tln t1t21t21(ln t t21t2 1) ，设 h(m)ln mm21m21，m(0，1)，则 h(m)（ m21）2m（m21）20，所以 h(m)单调递增，所以 h(m)0，所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限20. (1)令 n 2，得 4S39S2S1 ra1 ，即 4(a3a2a1) 9(a2 a1) a1ra1 ，化简，得 4a35a2 4a1ra1.因为 2a1 a2a3，a23a1，所以 45a153a1 4a1ra1，解得 r1.(2) 假设数列 an是等比数列，公比为 q，则由 2a1a2a3 得2a1a1qa1q2，且 a10，解得 q2 或 q1，由 2nSn1 (2n 5)SnSn 1ra1 ，得 4Sn2nan1anra1(n2)，所以 4Sn 12(n 1)anan 1ra1(n 3)，两式相减，整理得2nan1an1(2n3)an，两边同除以 an1，可得 2n(q2q) 3q1.因为 q2 或1，所以 q2q0，所以上式不可能对任意 n3 恒成立，故数列an不可能是等比数列(3) r1 时，令 n2，整理得4a1 5a2 4a3a1，又由 2a1 a2a3 可知 a23a1，a3 5a1，令 n3，可得 6S411S3S2a1，解得 a47a1，由(2)可知 4Sn2nan 1an a1(n2)，所以 4Sn 12(n 1)anan 1a1(n3)，两式相减，整理得 2nan1an 1(2n3)an(n3) ，所以 2(n1)anan2(2n1)an 1(n4) ，两式相减，可得 2n(an1an)(an an1)(anan1)(an1an2)(n 4)因为(a4a3)(a3a2)0，所以(anan1)(an 1an 2)0(n4)，即 anan1an1an2(n4) ，又因为 a3 a2a2a12a1，所以数列an是以 a1 为首项，2a1 为公差的等差数列21. A. 将 2 代入 1252 x2(x1) (x5)0，得 x3，B. 由题意得曲线 C 的直角坐标方程为(x1)2y24.将直线 l 的参数方程 x12t，y12t 代入 (x1)2y24 得12t1212t24，即 4t24t30，解得 t112，t232，则 AB2|t1t2|2123222.C. 因为 3a2bc1 ，所以 1a1ab1b c(2aabbc) 1a1ab1bc(2a1aa b1abbc 1bc)2(2 11)2642，当且仅当 1a2a1abab1bcbc 时，等号成立，所以 1a1ab1b c 的最小值为 642.22. (1) 以 AB，AD， AA1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz，则 A1(0，0，3)，B(1，0，0) ，C1(1，1，3)，所以 BA1(1，0，3)，AC1(1，1 ，3) ，所以 cosBA1，AC11910 11411055.(2) 由题意得 C(1，1，0) ，D(0，1，0)，所以 A1B(1，0，3)，A1C(1，1 ，3) ，AC1 (1，1，3)，AD (0，1，0)，设平面 A1BC 的一个法向量为 n1(x1，y1，z1)，则A1B n10，A1C n10，即 x13z10，x1y13z1 0，令 z11，则 n1(3，0，1) 设平面 AC1D 的一个法向量为 n2(x2 ，y2，z2) ，则AC1 n20，ADn20，即 x2y23z20，y20，令 z21，则 n2(3，0，1) ，所以 cosn1，n2n1n2|n1|n2|91101045，所以平面 A1BC 与平面 AC1D 所成二面角的正弦值为 35.23. (1) 当 n2 时，f2(x)f1(1|2x1|)f(1|2x 1|)1|2(1|2x1|)1|1，所以 2(1|2x 1|) 1，所以 1|2x1|12，所以 2x112，所以 x14 或 x34，所以 g2(1) 2.(2) 因为 f(0)f(1)0 ，所以 fn(0)fn(1)0.因为 f1(x)1|2x1|0，1，当 x0，12 时，f1(x)单调递增，且 f1(x)(0 ，1，当 x12，1 时，f1(x)单调递减，且 f1(x)0 ，1)下面用数学归纳法证明：方程 fn(x)0(x(0，1)、方程 fn(x)1(x (0 ， 1)、方程 fn(x)0(x0 ，1)、方程 fn(x)1(x0 ，1)的根的个数都相等，且为 gn(1)() 当 n 1 时，方程 f1(x)0(x(0，1) 、方程 f1(x)1(x(0 ，1)、方程 f1(x)0(x0 ，1)、方程 f1(x)1(x 0，1)的根的个数都相等，且为 1，上述命题成立() 假设 nk 时，方程 fk(x) 0(x(0，1)、方程 fk(x)1(x (0 ， 1)、方程 fk(x)0(x0 ，1)、方程 fk(x)1(x0 ，1)的根的个数都相等，且为 gk(1)，则当 nk1 时，有 fk1(x) fk(f1(x) 当 x0，12 时，f1(x)(0，1，方程 fk1(x)0 的根的个数为gk(1)当 x12，1 时，f1(x)0，1)，方程 fk1(x)0 的根的个数也为gk(1)所以方程 fk1(x)0(x(0，1)的根的个数为 gk1(0)2gk(1)，同理可证：方程 fk1(x) 1(x(0，1)、方程 fk1(x)0(x 0，1)、方程 fk1(x)1(x0，1)的根的个数都相等，且为 2gk(1)，由( )()可知，命题成立，又因为 fn(0)fn(1)0，所以 gn(0) gn(1)1.