2018-2019高二数学上学期1月月考试卷含标准答案

2018-2019 高二数学上学期 1 月月考试卷含标准答案第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是（ ）2已知条件 ，条件 ，则 是 成立的（ ）充分不必要条件 必要不充分条件充要条件 既不充分也不必要条件抛物线 的准线方程( ) A B C D .已知向量 ， ，若 与 共线，则 的值为（ ）5在等差数列 中，已知 ，则 = （ ）A10 B18 C20 D28已知数列an的通项公式为 an(n2)(78)n，则当 an 取得最大值时，n 等于( )A5 B6 C5 或 6 D7若函数 在其定义域内的一个子区间 内不是单调函数，则实数 的取值范围是( )A B C D 已知 是等比数列， ， ，则 （ ）A B C D 一动圆与圆 外切，同时与圆 内切，则动圆圆心的轨迹为（ ）A、椭圆 B、双曲线的一支 C、抛物线 D、圆过抛物线 的焦点 作斜率为 的直线 与离心率为 的双曲线 的两条渐近线的交点分别为 .若 分别表示 的横坐标，且 ，则 （ ）A B C. D 11如图，平面 ABCD平面 ABEF，四边形 ABCD 是正方形，四边形 ABEF 是矩形，且 AF12AD a，G 是 EF 的中点，则 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值为 ( )A.66 B.33 C. 23 D. 63定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， 恒成立，则函数 的零点的个数为（ ）1 2 3 4第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，答案须填在题中横线上已知 ，则 的最小值是_ _ 已知等比数列 中 ，则其前 3 项的和 的取值范围是 已知在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，底面是边长为 2 的正方形，高为 4，则点 A1 到截面 AB1D1 的距离是_右图是函数 的导函数 的图象，给出下列命题： 是函数 的极值点； 是函数 的极小值点； 在 处切线的斜率小于零； 在区间 上单调递增. 则正确命题的序号是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分 10 分）已知函数 () 若 在 上是增函数，求实数 的取值范围；() 若 是 的极值点，求 在 上的最小值和最大值18 （本小题满分 12 分）数列 的前 项和 ， ，且 (1) 证明数列 为等差数列；（2）数列 的通项公式；（3）若 ，求证： 19.某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 千件，需另投入成本为 ，当年产量不足 80 千件时， （万元）.当年产量不小于 80 千件时， （万元）.每件商品售价为 0.05 万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（）写出年利润 （万元）关于年产量 （千件）的函数解析式；（）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ （本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，AB AC， ABAC 2，A1A4，点 D 是 BC 的中点(1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值；(2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 夹角的正弦值 （本小题满分 12 分）设动点 的坐标为 （ ） ，向量 ， ，且 =8（1）求动点 的轨迹 的方程；（2）过点 作直线 与曲线 交于 、 两点，若 （ 为坐标原点） ，是否存在直线 ，使得四边形 为矩形，若存在，求出直线 的方程，若不存在，请说明理由22 （本题满分 12 分）已知函数 （）设 是函数 的极值点，求 的值并讨论 的单调性；（）当 时，证明： 高二数学试题参考答案一、选择题： ABBDC CBCAD DC二、填空题： 3(4) 三、解答题： 17 【解析】() ，要 在 1， 上是增函数，则有 在 1， 内恒成立，即 在 1， 内恒成立，又 （当且仅当 x=1 时，取等号） ，所以 ，故 ，即得 5 分（）由题意知 的一个根为 ，可得 ，所以 的根为 或 (舍去)，当 的变化时， ， 的变化情况如下表： 7 分0 极大值 ， 10 分18解：(1) 当 时 所以 方程两边同乘 得 ，为等差数列，且公差为 2（2）由(1)， ，故 当 时， ； 当 时， ，又当 时， 不符合上式，所以 （3）由(2)， 故 ，所以 19 解：（）因为每件商品售价为 0.05 万元，则 千件商品销售额为 0.051000 万元，依题意得：当 时， .2 分当 时， = .4 分所以 6 分（）当 时， 此时，当 时， 取得最大值 万元. 8 分当 时， 此时，当 时，即 时 取得最大值 1000 万元.11 分所以，当产量为 100 千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为 1000 万元.12 分20.解：(1) 以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0) ，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，(A1B)(2,0 ，4)，(C1D)(1，1，4) cos (A1B)，(C1D)|(C1D) 18(18)10(10) ，异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 10(10).(2)设平面 ADC1 的法向量为 n1(x，y，z)，(AD)(1,1,0)，(AC1)(0,2,4)， n1(AD) 0，n1(AC1)0，即 xy0且 2y4z 0，取 z 1，得 x2，y2， n1(2，2,1) 是平面ADC1 的一个法向量取平面 AA1B 的一个法向量为 n2(0,1,0) ，设平面 ADC1 与平面 ABA1 夹角的大小为 .由 cos|n1|n2|(|n1n2|)1(2)3(2)，得 sin3(5).因此，平面 ADC1 与平面 ABA1 夹角的正弦值为 3(5).21 【解析】 （1）因为 =8，所以 表示动点 到两个定点 ， 的距离之和等于 8，且 2 分所以动点 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长 的椭圆3 分设椭圆方程为 ， 则 ， ， ，故 则动点 的轨迹 的方程是 5 分（2）因为直线 过点 ， 若直线 的斜率不存在，则 的方程为 ，与椭圆的两个交点 、 为椭圆的顶点由 ，则 与 重合，与 为四边形矛盾7分 若直线 的斜率存在，设方程为 ， ， .由 得 . 恒成立 由根与系数关系得： ， . 8 分因为 ，所以四边形 为平行四边形 若存在直线 使四边形 为矩形，则 ，即 所以 所以 即 化简得： 与斜率存在矛盾 故不存在直线 ，使得四边形 为矩形 12 分22解证：（） ，由 是 的极值点得 ，即 ，所以 分于是 ， ，由 知 在 上单调递增，且 ，所以 是 的唯一零点 分因此，当 时， ；当 时， ，所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增分（）解法一：当 ， 时， ，故只需证明当 时， 当 时，函数 在 上单调递增，又 ，故 在 上有唯一实根 ，且 9 分当 时， ；当 时， ，从而当 时， 取得最小值且 由 得 , 11 分故 = = 综上，当 时， 12 分解法二：当 ， 时， ，又 ,所以 分取函数 ， ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，得函数 在 时取唯一的极小值即最小值为 10 分所以 ，而上式三个不等号不能同时成立，故 12 分