2019届高三数学上学期期中试卷 理(含解析) (I)
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.下列命题中的假命题是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
因为，所以B错，选B.
2.设，则使函数的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是
A. 1，3 B. ，1 C. ，3 D. ，1，3
【答案】A
【解析】
【分析】
分别验证，1，，3知当或时，函数的定义域是R且为奇函数．
【详解】当时，的定义域是，且为奇函数；
当时，函数的定义域是R且为奇函数；
当a=12时，函数y=x12的定义域是x|x≥0且为非奇非偶函数．
当a=3时，函数y=x3的定义域是R且为奇函数．
故选A
【点睛】本题考查幂函数的性质和应用，解题时要熟练掌握幂函数的概念和性质．
3.y=f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是
A. 0
0,f(b)=(b−c)(b−a)<0，
f(c)=(c−a)(c−b)>0，由函数零点的判定定理可知，在区间(a,b),(b,c)内分别存在一个零点；由f(x)是二次函数，最多有两个零点，因为函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内，故选A.
考点：函数的零点存在定理.
7.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r=0.6lgI，若6.5级地震释放的相对能量为I1，7.4级地震释放的相对能量为I2，记n=I2I1，n约等于
A. 16 B. 20 C. 32 D. 90
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得I=105r3分别代值计算，比较即可
【详解】∵r=0.6lgI，
∴I=105r3当r=6.5时，I1=10656，
当r=7.4时，I2=10373，
∴n=I2I1=1037310656=1032=1010≈32故选C
【点睛】本题主要考查了指数与对数的相互转化及指数与对数值的计算，属于基础试题．
8.若sinα+cosαsinα-5cosα=3，则cos2α=(
A. -2425 B. -6365 C. 2425 D. 725
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用二倍角的余弦公式，求得cos2α的值．
【详解】若sinα+cosαsinα-5cosα=tanα+1tanα-5=3，则tanα=8，
∴cos2α=cos2α-sin2αcos2α+sin2α=1-tan2α1+tan2α=-6365，
故选B
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
9.数书九章中对己知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幕减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即S=14[c2a2-(c2+a2-b22)2]，现有周长为42+25的△ABC满足sinA：sinB：sinC=(2-1)：(5)：(2+1)，试用以上给出的公式求得△ABC的面积为
A. 3 B. 23 C. 5 D. 25
【答案】A
【解析】
【分析】
根据sinA：sinB：sinC=(2-1)：(5)：(2+1)，可得：a：b：c=(2-1)：(5)：(2+1)，周长为42+25，可得a=22-2，b=25，c=22+2，带入S，可得答案.
【详解】由题意，sinA：sinB：sinC=(2-1)：(5)：(2+1)，
根据正弦定理：可得a：b：c=(2-1)：(5)：(2+1)，
∵周长为42+25，即a+b+c=42+25，
可得a=22-2，b=25，c=22+2，
由S=14[c2a2-(c2+a2-b22)2]=3，
故选A
【点睛】本题考查三角形的正弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
10.函数f(x)=x2+2xex的大致图象是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导函数研究其单调性，结合特殊点即可选出答案．
【详解】函数f(x)=x2+2xex=x(x+2)ex；
当x=-2和x=0时，函数y=0，可知图象与x轴有两个交点，排除A；
f(x)=ex(2x+2)-ex(x2+2x)e2x，
令f(x)=0，可得x=2；
∴(-∞,-2)函数f(x)递减，(-2,2)函数f(x)递增，(2,+∞)递减，
故选：B．
【点睛】本题考查函数的图象的判断，函数的单调性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．
11.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)的图象若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1、x2，有|x1-x2|min=π3，则φ=(
A. 5π12 B. π3 C. π4 D. π6
【答案】D
【解析】
【分析】
利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．
【详解】因为将函数f(x)=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)的图象若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1-x2|min=π3，
不妨x1=π4，x2=7π12，即g(x)在x2=7π12，取得最小值，sin(27π12-2φ)=-1，此时φ=-π6，不合题意，
x1=3π4，x2=5π12，即g(x)在x2=5π12，取得最大值，sin(25π12-2φ)=1，
此时φ=π6，满足题意．
故选D
【点睛】本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖有一定难度，选择题，可以用代验证的方法快速解答．
12.已知函数f(x)=x3-9x2+25x+a,x≥1sinx,x<1，若函数f(x)的图象与直线y=x有四个不同的公共点，则实数a的取值范围为
A. (-16,+∞) B. (-∞,-20) C. (-20,-16) D. {-20.-16}
【答案】C
【解析】
【分析】
因为y=sinx(x<1)与y=x有1个交点，故只需函数f(x)=x3-9x2+25x+a(x≥1)的图象与直线y=x有3个不同的公共点即可，只需g(x)=x3-9x2+24x+a(x≥1)与x轴有3个交点，可得g(x)的极大值大于0，极小值小于0，解不等式可得所求范围．
【详解】
由y=x-sinx的导数为y=1-cosx≥0，
可得函数y=x-sinx在x<1递增，且x=0时，y=0，
则y=sinx (x<1)与y=x只有1个交点(0,0)，
故只需函数f(x)=x3-9x2+25x+a(x≥1)的图象
与直线y=x有3个不同的公共点即可，
令g(x)=x3-9x2+24x+a(x≥1)，
g(x)=3x2-18x+24=3(x2-6x+8)=3(x-2)(x-4)，
当x∈(1,2)，(4,+∞)时g(x)单调递增，
当x∈(2,4)时g(x)单调递减，
可得g(2)取得极大值，g(4)取得极小值，
依题意只需g(x)=x3-9x2+24x+a(x≥1)与x轴有3个交点即可，
由g(4)=16+a<0，g(2)=20+a>0，
可得-200得增区间，解不等式f(x)<0得减区间；f(x)=0的点就是极值点，由刚才的单调性可知是极大值点还是极小值点．
试题解析：（1）因为f(x)=a(x−5)2+6lnx，
故f(x)=2a(x−5)+6x．
令x=1，得f(1)=16a，f(1)=6−8a，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−16a=(6−8a)(x−1)，
由点(0,6)在切线上，可得6−16a=8a−6，解得a=12．
（2）由（1）知，f(x)=12(x−5)2+6lnx（x>0），
f(x)=x−5+6x =(x−2)(x−3)x．
令f(x)=0，解得x1=2，x2=3．
当03时，f(x)>0，故f(x)的递增区间是(0,2)，(3,+∞)；
当20.
因为直线l1与曲线C于A,B两点，所以x1+x2=2+4k2，y1+y2=k(x1+x2−2)=4k．所以点P的坐标为(1+2k2,2k).
由题知，直线l2的斜率为−1k，同理可得点Q的坐标为(1+2k2,−2k).
当k≠1时，有1+2k2≠1+2k2，此时直线PQ的斜率.
所以，直线PQ的方程为y+2k=k1−k2(x−1−2k2)，
整理得y=k1−k2(x−3).于是，直线PQ恒过定点E(3,0)；
当k=1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E(3,0)．
综上所述，直线PQ恒过定点E(3,0)． …………10分
（Ⅲ）∵ |EF|=2，∴ ΔFPQ面积S=12|FE|(2|k|+2|k|)=2(1|k|+|k|)≥4.
当且仅当k=1时，“=”成立，所以ΔFPQ面积的最小值为4．……13分
21.已知函数f(x)=e2x-4aex+(4a-2)x，其中a≥1．
1讨论f(x)的单调性；
2若存在x使得f(x)+f(-x)=0，求实数a的取值范围；
3若当x≥0时恒有f(x)≥f(-x)，求实数a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）a∈[1,+∞).（Ⅲ）a∈[1,2].
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求得函数的导数f(x)，得到f(x)=0的根，分类讨论，即可求解函数的单调区间；
（Ⅱ）令t=ex+e−x，转化为t2−2−4at=0在[2,+∞)上有解，即4a=t−2t在[2,+∞)上有解，又由t−2t关于单调递增，求得实数的取值范围；
（Ⅲ）由题意，得到g(x)，取得g(x)，得得g(x)=2(t−2)(t+2−2a)，由（Ⅱ）知，分类讨论即可求解实数的取值范围．
试题解析：
（Ⅰ）f(x)=2e2x-4aex +(4a-2)=2(ex-1) (ex+1-2a).
令f(x)=0得x=0或x=ln(2a-1).
当a=1时，f(x)=2(ex-1)2≥0，f(x)在R上单调递增；
当a>1时，令f(x)>0得x<0或x>ln(2a-1)，从而f(x)在(-∞,0)，(ln(2a-1),+∞)上单调递增，在(0,ln(2a-1))上单调递减.
（Ⅱ）f(x)+f(-x)=e2x +e-2x-4a(ex+e-x)=0，令t=ex+e-x，
则t=ex+e-x ≥2ex⋅e-x=2，当且仅当x=0取得等号.
注意到e2x+e-2x=(ex+e-x)2-2 =t2-2，
原问题转化为t2-2-4at=0在[2,+∞)上有解，即4a=t-2t在[2,+∞)上有解，又t-2t关于单调递增，从而4a≥2-22=1，
又a≥1，综合得a∈[1,+∞).
（Ⅲ）令g(x)=f(x)-f(-x) =e2x-e-2x-4a(ex-e-x) +(8a-4)x，
g(x)=2(e2x+e-2x) -4a(ex+e-x)+(8a-4) =2(t2-2)-4at+8a-4，
得g(x)=2(t-2)(t+2-2a)，由（Ⅱ）知t≥2.
当2+2-2a≥0，即a≤2时，g(x)≥0，又g(0)=0，从而当x≥0时恒有f(x)≥f(-x)，
当a>2时，存在t=2a-2使得g(x)=0，即ex+e-x=2a-2，即e2x-(2a-2)ex+1=0，
解得ex=a-1a2-2a，x=ln(a-1+a2-2a)，（x=ln(a-1-a2-2a)<0舍去）.
从而当x∈[0,ln(a-1+a2-2a)]时g(x)≤0，此时g(x)≤g(0)=0，矛盾.
综上a∈[1,2].
点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及有解与恒成立问题问题的求解，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用．
22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为y=sinαx=tcosα(t>0,α为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρsin(θ+π4)=3．
(1)当t=1时，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值；
(2)若曲线C上的所有点都在直线l的下方，求实数t的取值范围．
【答案】（1）2+322（2）(0,22)
【解析】
试题分析：（1）将直线的极坐标方程化为普通方程x+y-3=0，进而由圆的参数方程得曲线C上的点到直线的距离，d=|cosα+sinα-3|2= |2sin(α+π4)-3|2，利用三角函数求最值即可；
（2）曲线C上的所有点均在直线的下方，即为对∀α∈R，有tcosα+sinα-3<0恒成立，即t2+1cos(α-φ)<3（其中tanφ=1t）恒成立，进而得t2+1<3.
试题解析：
（1）直线的直角坐标方程为x+y-3=0.
曲线C上的点到直线的距离，
d=|cosα+sinα-3|2= |2sin(α+π4)-3|2，
当时，，
即曲线上的点到直线的距离的最大值为.
（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，
∴对，有恒成立，
即（其中）恒成立，
∴.
又，∴解得，
∴实数的取值范围为.