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第1讲 立体几何中的向量方法、抛物线考情考向分析1.利用空间向量的坐标判定线面关系，求异面直线、直线与平面、平面与平面所成的角，其中求角是考查热点，均属B级要求.2.考查顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A级要求热点一利用空间向量求空间角例1(2018淮安等四市模拟)在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，AA12，E，F，G分别是AA1，AC和A1C1的中点以，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值；(2)求二面角FBC1C的余弦值解(1)因为AB1，AA12，则F(0,0,0)，A，C，B，E，所以(1,0,0)，记异面直线AC与BE所成的角为，则cos |cos，|，所以异面直线AC与BE所成角的余弦值为.(2)设平面BFC1的法向量为m(x1，y1，z1) , 因为，则取x14得，m(4,0,1)设平面BCC1的一个法向量为n(x2，y2，z2)，同理得，n(，1,0)，所以cosm，n，根据图形可知二面角FBC1C为锐二面角，所以二面角FBC1C的余弦值为.思维升华利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”跟踪演练1(2018镇江期末)如图， ACBC, O为AB中点，且DC平面ABC, DCBE.已知ACBCDCBE2.(1)求直线AD与CE所成角；(2)求二面角OCEB的余弦值解(1)因为ACCB且DC平面ABC，所以以C为原点， 为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.ACBCBE2，C， B， A， O，E， D，且，.cos， .AD与CE的夹角为60.(2)平面BCE的法向量m，设平面OCE的法向量n.由， ，得则解得取x01，则n.二面角OCEB为锐二面角，记为，cos |cosm，n|.热点二抛物线例2(2018南通模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点T(1，t)(t0)焦点的距离为2.(1)求p，t的值；(2)设A，B是抛物线上异于点T的两个不同点，过A作y轴的垂线，与直线TB交于点C，过B作y轴的垂线，与直线TA交于点D，过T作y轴的垂线，与直线AB，CD分别交于点E，F.求证：直线CD的斜率为定值；T是线段EF的中点(1)解由抛物线定义知，12，所以p2，将点T(1，t)(t0，由y，所以kAQ，kBQ2，所以y1，y22t33t, 所以AB2t3t(t0)令f(t)2t3t，t0，则f(t)6t2，由f(t)0得t，由f(t)0，得0t0)，又由题意， OM3x2a3，所以xPa，代入y22ax，得 y2a2，解得yPa，将点P代入x2my，得 2ma，解得 ma，所以抛物线C2为x2ay.4.如图，抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(2,1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)求抛物线的方程；(2)若APB的平分线垂直于y轴，证明直线AB的斜率为定值(1)解由已知条件，可设抛物线的方程为x22py(p0)，因为点P(2,1)在抛物线上，所以222p1，p2.故所求抛物线的方程是x24y.(2)证明由题意知，kAPkBP0，所以0，即0，所以0，所以x1x24.kAB1.即直线AB的斜率为定值1.5.已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点若直线AO，BO分别交直线l：yx2于M，N两点，求MN的最小值解(1)由题意可设抛物线C的方程为x22py(p0)，则1，p2，所以抛物线C的方程为x24y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率必存在，设方程为ykx1.由消去y，整理得x24kx40，0恒成立所以x1x24k，x1x24.从而|x1x2|4.由联立，解得点M的横坐标xM.同理，点N的横坐标xN.所以MN|xMxN|8，令4k3t，t0，则k.当t0时，MN2 2.当t0时，MN2 .综上所述，当t，即k时，MN的最小值是.B组能力提高6(2017江苏)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角BA1DA的正弦值解在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如图，以，为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.因为ABAD2，AA1，BAD120，则A(0,0,0)，B(，1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0,0，)，C1(，1，)(1)(，1，)，(，1，)，则cos，因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)平面A1DA的一个法向量为(，0,0)设m(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，又(，1，)，(，3,0)，则即不妨取x3，则y，z2，所以m(3，2)为平面BA1D的一个法向量，从而cos，m.设二面角BA1DA的大小为，则|cos |.因为0，所以sin .因此二面角BA1DA的正弦值为.7(2018宿迁模拟)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB1，AA1t，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.(1)若t1，求异面直线AC1与A1B所成角的大小；(2)若t5，求直线AC1与平面A1BD所成角的正弦值；(3)若二面角A1BDC的大小为120，求实数t的值解(1)当t1时，A(0,0,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(1,1,1)， 则(1,1,1)，(1,0，1), 故cos，0，所以异面直线AC1与A1B所成角为90.(2)当t5时，A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,5)，C1(1,1,5)，则(1,0，5)，(0,1，5)，设平面A1BD的法向量n(a，b，c)，则由得不妨取c1，则ab5, 此时n(5,5,1)，设AC1与平面A1BD所成角为，因为(1,1,5)，则sin ，所以AC1与平面A1BD所成角的正弦值为.(3)由A1(0,0，t)得，(1,0，t)，(0,1，t)，设平面A1BD的法向量m(x，y，z)，则由得不妨取z1，则xyt，此时m(t，t,1)，又平面CBD的法向量(0,0，t)，故，解得t， 所以当二面角A1BDC的大小为120时，t的值为.8在平面直角坐标系xOy中，直线l：x1，点T(3,0)动点P满足PSl，垂足为S，且0.设动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点(1,0)，线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N.求证：向量与共线(1)解设P(x，y)为曲线C上任意一点因为PSl，垂足为S，又直线l：x1，所以S(1，y)因为T(3,0)，所以(x，y)，(4，y)因为0，所以4xy20，即y24x.所以曲线C的方程为y24x.(2)证明因为直线PQ过点(1,0)，故设直线PQ的方程为xmy1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)联立消去x，得y24my40.所以y1y24m，y1y24.因为点M为线段PQ的中点，所以点M的坐标为，即点M(2m21,2m)又因为S(1，y1)，N(1,0)，所以(2m22,2my1)，(x21，y2)(my22，y2)因为(2m22)y2(2my1)(my22)(2m22)y22m2y2my1y24m2y12(y1y2)my1y24m8m4m4m0，所以向量与共线
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