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第三节随机事件的概率突破点一随机事件的频率与概率1事件的分类2频率和概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的频率(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)“下周六会下雨”是随机事件()(2)事件发生的频率与概率是相同的()(3)随机事件和随机试验是一回事()(4)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值()答案：(1)(2)(3)(4)二、填空题1在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上”的频率为_答案：0.512某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶假设此人射击1次，则其中靶的概率约为_；中10环的概率约为_答案：0.90.23给出下列三个说法，其中正确的有_个有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率解析：错，不一定是10件次品；错，是频率而非概率；错，频率不等于概率，这是两个不同的概念答案：0典例(2018北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解(1)由题意知，样本中电影的总部数是140503002008005102 000，获得好评的第四类电影的部数是2000.2550，故所求概率为0.025.(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是1400.4500.23000.152000.258000.25100.15610455016051372，故所求概率估计为10.814.(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率1计算简单随机事件频率或概率的解题思路(1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数(2)由频率公式得所求，由频率估计概率2求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数 针对训练1从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5170.5 cm 之间的概率约为()A.B.C. D.解析：选A从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位学生中，身高在155.5170.5 cm之间的学生有8人，频率为，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在155.5170.5 cm之间的概率约为.2(2017全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y64504450900；若最高气温位于区间20,25)，则Y63002(450300)4450300；若最高气温低于20，则Y62002(450200)4450100.所以Y的所有可能值为900,300，100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.突破点二互斥事件与对立事件1概率的基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率：P(A)1.不可能事件的概率：P(A)0.2互斥事件和对立事件事件定义概率公式互斥事件在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件P(AB)P(A)P(B)；P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)对立事件在一个随机试验中，两个试验不会同时发生，并且一定有一个发生的事件A和称为对立事件P()1P(A)一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0P(A)1.()(2)两个事件的和事件是指两个事件同时发生()(3)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件()(4)“方程x22x80有两个实根”是不可能事件()答案：(1)(2)(3)(4)二、填空题1一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是_答案：两次都不中靶2设事件A，B，已知P(A)，P(B)，P(AB)，则A，B之间的关系一定为_事件答案：互斥考法一事件关系的判断例1(1)从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，则下列各对事件是互斥而不是对立事件的是()A恰有1个是奇数和全是奇数B恰有1个是偶数和至少有1个是偶数C至少有1个是奇数和全是奇数D至少有1个是偶数和全是偶数(2)已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件是次品”，则下列结论正确的是()AF与G互斥BE与G互斥但不对立CE，F，G任意两个事件均互斥DE与G对立解析(1)从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，共有三种情况：A两个奇数，B一个奇数一个偶数，C两个偶数，且两两互斥，A：是互斥事件；B：不互斥；C：不互斥；D：不互斥故选A.(2)由题意得事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件；事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件；当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件，故A、C错事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E与事件G对立，所以B错误，D正确答案(1)A(2)D方法技巧判断互斥、对立事件的2种方法定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件集合法由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集考法二互斥事件、对立事件的概率例2某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x3025y10结算时间/ (分钟/人)11.522.53(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)解(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1.9分钟(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得P(A1)，P(A2)，P(A3).因为AA1A2A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.方法技巧求复杂互斥事件概率的2种方法直接法将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和间接法先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)1P()求解当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法1.如果事件A与B是互斥事件，则()AAB是必然事件B.与一定是互斥事件C.与一定不是互斥事件D.是必然事件解析：选D事件A与B互斥即AB为不可能事件，所以是必然事件，故选项D正确；在抛掷骰子试验中，A表示向上的数字为1，B表示向上的数字为2，AB不是必然事件，选项A错误；与不一定是互斥事件，选项B错误；A表示向上的数字为奇数，B表示向上的数字为偶数，与是互斥事件，选项C错误故选D.2.(2018全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A0.3B0.4C0.6 D0.7解析：选B由题意可知不用现金支付的概率为10.450.150.4.故选B.3.某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关据统计，当X70时，Y460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率(2)假定今年6月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率(2)由已知可得Y425，故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)P(Y490或Y530)P(X130或X210)P(X70)P(X110)P(X220).
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