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第1讲直线与圆考情考向分析考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现热点一直线的方程及应用1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2求直线方程要注意几种直线方程的局限性点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线3两个距离公式(1)两平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d(A2B20)(2)点(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离公式d(A2B20)例1(1)(2018齐鲁名校教科研协作体模拟)已知直线l1：xsin y10，直线l2：x3ycos 10，若l1l2，则sin 2等于()A. B C D.答案D解析因为l1l2，所以sin 3cos 0，所以tan 3，所以sin 22sin cos .(2)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kxy20与直线l2：xky20相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线xy40的距离的最大值为_答案3解析由题意得，当k0时，直线l1：kxy20的斜率为k，且经过点A(0,2)，直线l2：xky20的斜率为，且经过点B(2,0)，且直线l1l2，所以点P落在以AB为直径的圆C上，其中圆心坐标为C(1,1)，半径为r，由圆心到直线xy40的距离为d2，所以点P到直线xy40的最大距离为dr23.当k0时，l1l2，此时点P(2,2)点P到直线xy40的距离d2.综上，点P到直线xy40的距离的最大值为3.思维升华(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究跟踪演练1(1)(2018上海市虹口区模拟)直线ax(a1)y10与直线4xay20互相平行，则实数a_.答案2解析当a0时，解得a2.当a0时，两直线显然不平行故a2.(2)(2018齐齐哈尔模拟)圆x2y22x4y30的圆心到直线xay10的距离为2，则a等于()A1 B0 C1 D2答案B解析因为(x1)222，所以2，所以a0.热点二圆的方程及应用1圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2y2r2.2圆的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以为圆心，为半径的圆例2(1)圆心为(2,0)的圆C与圆x2y24x6y40相外切，则C的方程为()Ax2y24x20Bx2y24x20Cx2y24x0Dx2y24x0答案D解析圆x2y24x6y40，即(x2)2(y3)29，圆心为(2,3)，半径为3.设圆C的半径为r.由两圆外切知，圆心距为53r，所以r2.故圆C的方程为(x2)2y24，展开得x2y24x0.(2)已知圆M与直线3x4y0及3x4y100都相切，圆心在直线yx4上，则圆M的方程为()A.2(y1)21B.221C.221D.2(y1)21答案C解析到两直线3x4y0及3x4y100的距离都相等的直线方程为3x4y50，联立方程组解得两平行线之间的距离为2，所以半径为1，从而圆M的方程为221.故选C.思维升华解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数跟踪演练2(1)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_答案(2，4)5解析由已知方程表示圆，则a2a2，解得a2或a1.当a2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去当a1时，原方程为x2y24x8y50，化为标准方程为(x2)2(y4)225，表示以(2，4)为圆心，5为半径的圆(2)(2018天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_答案x2y22x0解析方法一设圆的方程为x2y2DxEyF0.圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，解得圆的方程为x2y22x0.方法二画出示意图如图所示，则OAB为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，所求圆的方程为(x1)2y21，即x2y22x0.热点三直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则dr直线与圆相离(2)判别式法：设圆C：(xa)2(yb)2r2，直线l：AxByC0(A2B20)，方程组消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为，则直线与圆相离0.2圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离设圆C1：(xa1)2(yb1)2r，圆C2：(xa2)2(yb2)2r，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)dr1r2两圆外离(2)dr1r2两圆外切(3)|r1r2|dr1r2两圆相交(4)d|r1r2|(r1r2)两圆内切(5)0d11，故两圆外离(2)(2018揭阳模拟)已知直线4x3ya0与C：x2y24x0相交于A，B两点，且ACB120，则实数a的值为()A3 B10C11或21 D3或13答案D解析圆的方程整理为标准方程即(x2)2y24，作CDAB于点D，由圆的性质可知ABC为等腰三角形，其中|CA|CB|，则|CD|CA|sin 3021，即圆心(2,0)到直线4x3ya0的距离为d1，据此可得1，即|a8|5，解得a3或a13.思维升华(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题跟踪演练3(1)(2018广州名校联考)已知直线yax与圆C：x2y22ax2y20交于两点A，B，且CAB为等边三角形，则圆C的面积为_答案6解析圆C化为(xa)2(y1)2a21，且圆心C(a,1)，半径R(a21)直线yax和圆C相交，且ABC为等边三角形，圆心C到直线axy0的距离为Rsin 60，即d.解得a27.圆C的面积为R2(71)6.(2)如果圆(xa)2(ya)28上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是()A(3，1)(1,3) B(3,3)C1,1 D3，11,3答案D解析圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r2，圆上的点到原点的距离为d.因为圆(xa)2(ya)28上总存在点到原点的距离为，则圆(xa)2(ya)28与圆x2y22有公共点，r，所以rr|a|rr，即1|a|3，解得1a3或3a1，所以实数a的取值范围是3，11,3.真题体验1(2016山东改编)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是_答案相交解析圆M：x2(ya)2a2，圆心坐标为M(0，a)，半径r1a，圆心M到直线xy0的距离d，由几何知识得2()2a2，解得a2.M(0,2)，r12.又圆N的圆心坐标为N(1,1)，半径r21，|MN|.又r1r23，r1r21，r1r2|MN|0，所以t1，所以mn32.故mn有最小值32，无最大值故选B.3若圆x2y24与圆x2y2ax2ay90(a0)相交，公共弦的长为2，则a_.押题依据本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路答案解析联立两圆方程可得公共弦所在直线方程为ax2ay50，故圆心(0,0)到直线ax2ay50的距离为(a0)故22，解得a2，因为a0，所以a.A组专题通关1若2，则直线1必不经过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析令x0，得ysin 0，直线过(0，sin )，(cos ，0)两点，因而直线不过第二象限2(2018呼和浩特调研)设直线l1：x2y10与直线l2：mxy30的交点为A，P，Q分别为l1，l2上任意两点，点M为P，Q的中点，若|AM|PQ|，则m的值为()A2 B2 C3 D3答案A解析根据题意画出图形，如图所示直线l1：x2y10 与直线l2：mxy30 的交点为A，M 为PQ 的中点，若|AM|PQ|，则PAQA，即l1l2，1m(2)10，解得m2.3我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就现作出圆x2y22的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为()Ax(1)y0 B(1)xy0Cx(1)y0 D(1)xy0答案C解析如图所示可知A(，0)，B(1,1)，C(0，)，D(1,1)，所以直线AB，BC，CD的方程分别为y(x)，y(1)x，y(1)x整理为一般式即xy0，xy0，xy0，故选C.4(2018吴忠模拟)与直线xy40和圆x2y22x2y0都相切的半径最小的圆的方程是()A(x1)222 B(x1)224C(x1)222 D(x1)224答案C解析圆x2y22x2y0的圆心为(1,1)，半径为，过圆心(1,1)与直线xy40垂直的直线方程为xy0，所求的圆心在此直线上，又圆心(1,1)到直线xy40的距离为3，则所求圆的半径为，设所求圆心为(a，b)，且圆心在直线xy40的左上方，则，且ab0，解得a1，b1(a3，b3不符合半径最小，舍去)，故所求圆的方程为(x1)222.5(2018孝义模拟)已知点P是直线l：xyb0上的动点，由点P向圆O：x2y21引切线，切点分别为M，N，且MPN90，若满足以上条件的点P有且只有一个，则b等于()A2 B2 C. D答案B解析由题意得PMOPNOMON90，|MO|ON|1，四边形PMON是正方形，|PO|，满足以上条件的点P有且只有一个，OP垂直于直线xyb0，b2.6在平面直角坐标系xOy中，圆O的方程为x2y24，直线l的方程为yk(x2)，若在圆O上至少存在三点到直线l的距离为1，则实数k的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析根据直线与圆的位置关系可知，若圆O：x2y24上至少存在三点到直线l：yk(x2)的距离为1，则圆心(0,0)到直线kxy2k0的距离d应满足d1，即1，解得k2，即k，故选B.7(2018安阳模拟)已知圆C1：x2y2kx2y0与圆C2：x2y2ky40的公共弦所在直线恒过定点P(a，b)，且点P在直线mxny20上，则mn的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析由x2y2kx2y0与x2y2ky40，相减得公共弦所在直线方程kxy40，即k(xy)0，所以由得x2，y2，即P，因此2m2n20，所以mn1，mn2(当且仅当mn时取最大值)8(2018齐鲁名校教科研协作体模拟)直线xysin 30(R)的倾斜角的取值范围是_答案解析若sin 0，则直线的倾斜角为；若sin 0，则直线的斜率k，设直线的倾斜角为，则tan ，故 ，综上可得直线的倾斜角的取值范围是.9(2018安徽省“皖南八校”联考)若过点(2,0)有两条直线与圆x2y22x2ym10相切，则实数m的取值范围是_答案(1,1)解析由题意过点(2,0)有两条直线与圆x2y22x2ym10相切，则点(2,0)在圆外，即2222m10，解得m1；由方程x2y22x2ym10表示圆，则(2)2224(m1)0，解得m0，解得a6，故选D.15(2018合肥质检)为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距5 km，且与C村相距 km的地方已知B村在A村的正东方向，相距3 km，C村在B村的正北方向，相距3 km，则垃圾处理站M与B村相距_ km.答案2或7解析以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(3,0)，C(3,3)由题意得垃圾处理站M在以A(0,0)为圆心，5为半径的圆A上，同时又在以C(3,3)为圆心，为半径的圆C上，两圆的方程分别为x2y225和(x3)2(y3)231.由解得或垃圾处理站M的坐标为(5,0)或，|MB|2或|MB| 7，即垃圾处理站M与B村相距2 km或7 km.16点P(x，y)是直线2xy40上的动点，PA，PB是圆C：x2(y1)21的两条切线，A，B是切点，则PAB面积的最小值为_答案解析由圆的方程C：x2(y1)21，可得圆心C(0,1)，半径r1，则圆心到直线2xy40的距离为d，设|PC|m，则m，则SPAB|PA|2sin 2APC|PA|2sinAPCcosAPC|PA|2，令S，m，所以S0，所以函数S在上单调递增，所以SminS.即(SPAB)min.
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