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第3课时简单复合函数的导数学习目标1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(axb)的导数)知识点复合函数的概念及求导法则已知函数yln(2x5)，ysin(x2)思考这两个函数有什么共同特征？答案函数yln(2x5)，ysin(x2)都是由两个基本函数复合而成的梳理复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x).复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.1函数yex的导数为yex.()2函数f(x)sin(x)的导数为f(x)cos x()3函数ycos(3x1)由函数ycos u，u3x1复合而成()类型一求复合函数的导数例1求下列函数的导数(1)y；(2)ylog2(2x1)；(3)yecos x1；(4)ysin2.考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数解(1)y，设y，u12x2，则y()(12x2)(4x)(4x)2x.(2)设ylog2u，u2x1，则yxyuux.(3)设yeu，ucos x1，则yxyuuxeu(sin x)ecos x1sin x.(4)y对于tcos，设u4x，则tcos u，tuux4sin u4sin.y2sin.反思与感悟(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：分解的函数通常为基本初等函数；求导时分清是对哪个变量求导；计算结果尽量简洁跟踪训练1求下列函数的导数(1)y(x24)2；(2)yln(6x4)；(3)y103x2；(4)y；(5)ysin；(6)ycos2x.考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数解(1)y2(x24)(x24)2(x24)2x4x316x.(2)y(6x4).(3)y(103x2ln 10)(3x2)3103x2ln 10.(4)y(2x1) .(5)ycos3cos.(6)y2cos x(cos x)2cos xsin xsin 2x.例2求下列函数的导数(1)y；(2)yx；(3)yxcossin.考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数解(1)(ln 3x)(3x)，y.(2)y(x)xx().(3)yxcossinx(sin 2x)cos 2xxsin 4x，ysin 4xcos 4x4sin 4x2xcos 4x.反思与感悟(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外及内逐层求导跟踪训练2求下列函数的导数(1)ysin3xsin x3；(2)yxln(12x)考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数解(1)y(sin3xsin x3)(sin3x)(sin x3)3sin2xcos xcos x33x23sin2xcos x3x2cos x3.(2)yxln(12x)xln(12x)ln(12x).类型二复合函数导数的应用例3设f(x)ln(x1)axb(a，bR，a，b为常数)，曲线yf(x)与直线yx在(0,0)点相切，求a，b的值考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用解由曲线yf(x)过(0,0)点，可得ln 11b0，故b1.由f(x)ln(x1)axb，得f(x)a，则f(0)1aa，即为曲线yf(x)在点(0,0)处的切线的斜率由题意，得a，故a0.反思与感悟复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键跟踪训练3曲线yesin x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用解由yesin x，得y(esin x)cos xesin x，即1，则切线方程为y1x0，即xy10.若直线l与切线平行，可设直线l的方程为xyc0.两平行线间的距离d，得c3或c1.故直线l的方程为xy30或xy10.1函数y(exex)的导数是()A.(exex) B.(exex)Cexex Dexex考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数答案A解析y(exex)2函数yx2cos的导数为()Ay2xcosx2sinBy2xcos2x2sinCyx2cos2xsinDy2xcos2x2sin考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数答案B解析y(x2)cosx22xcosx22xcos2x2sin.3已知函数f(x)ln(3x1)，则f(1)_.考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数答案解析f(x)(3x1)，f(1).4函数y2cos2x在x处的切线斜率为_考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案1解析由函数y2cos2x1cos 2x，得y(1cos 2x)2sin 2x，所以函数在x处的切线斜率为2sin1.5曲线y在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案e2解析y，切线的斜率ke2，则切线方程为ye2(x4)，令x0，得ye2，令y0，得x2，切线与坐标轴围成的面积为2|e2|e2.求简单复合函数f(axb)的导数实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数yf(u)，uaxb的形式，然后再对yf(u)与uaxb分别求导，并把所得结果相乘灵活应用整体思想把函数化为yf(u)，uaxb的形式是关键.一、选择题1下列函数不是复合函数的是()Ayx31 BycosCy Dy(2x3)4考点简单复合函数的导数题点复合函数的判断答案A解析A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数ux，ycos u的复合函数，C中的函数可看作函数uln x，y的复合函数，D中的函数可看作函数u2x3，yu4的复合函数，故选A.2函数y(x1)2(x1)在x1处的导数等于()A1 B2C3 D4考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数答案D解析y(x1)2(x1)(x1)2(x1)2(x1)(x1)(x1)23x22x1，所以y|x14.3设函数f(x)(12x3)10，则f(1)等于()A0 B60C1 D60考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数答案B解析f(x)10(12x3)9(6x2)所以f(1)10(12)9(6)60.4函数yxln(2x5)的导数为()Aln(2x5) Bln(2x5)C2xln(2x5) D.考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数答案B解析yxln(2x5)xln(2x5)xln(2x5)ln(2x5)x(2x5)ln(2x5).5设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a等于()A0 B1C2 D3考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案D解析ya，由题意得2，即a12，所以a3.6曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为()A. B.C. D1考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案A解析2e202，曲线在点(0,2)处的切线方程为y2x2.由得xy，A，则围成的三角形的面积为1.7已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()A. B.C. D.考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案D解析y.ex2，ex24，y1,0)，即tan 1,0)，.二、填空题8函数ysin 2xcos 3x的导数是_考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数答案2cos 2xcos 3x3sin 2xsin 3x解析ysin 2xcos 3x，y(sin 2x)cos 3xsin 2x(cos 3x)2cos 2xcos 3x3sin 2xsin 3x.9曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率为_考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案2解析yex1xex1(x1)ex1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为(11)e112.10若yf(x)(2xa)2，且f(2)20，则a_.考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数答案1解析令u2xa，则yxyuux(u2)(2xa)4(2xa)，则f(2)4(22a)20，a1.11若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案(ln 2,2)解析设P(x0，)，2，得x0ln 2，P(ln 2,2)12已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为_考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案2解析设切点坐标是(x0，x01)，依题意有由此得x01，a2.三、解答题13曲线ye2xcos 3x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用解由y(e2xcos 3x)(e2x)cos 3xe2x(cos 3x)2e2xcos 3xe2x(3sin 3x)e2x(2cos 3x3sin 3x)，得2.则切线方程为y12(x0)，即2xy10.若直线l与切线平行，可设直线l的方程为2xyc0，两平行线间的距离d，得c6或c4.故直线l的方程为2xy60或2xy40.四、探究与拓展14已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案2xy0解析设x0，则x0，f(x)ex1x.因为f(x)为偶函数，所以f(x)ex1x，f(x)ex11，f(1)2，即所求的切线方程为y22(x1)，即2xy0.15求曲线yln(2x1)上的点到直线l：2xy30的最短距离考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用解作出直线l：2xy30和曲线yln(2x1)的图象(图略)可知它们无公共点，所以平移直线l，当l与曲线相切时，切点到直线l的距离就是曲线上的点到直线l的最短距离，y(2x1).设切点为P(x0，y0)，所以2，所以x01，所以y0ln(211)0，P(1,0)所以曲线yln(2x1)上的点到直线l：2xy30的最短距离为P(1,0)到直线l：2xy30的距离，最短距离d.
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