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21复数的加法与减法学习目标1.熟练掌握复数代数形式的加减乘除运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念知识点复数代数形式的加减法思考类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(abi)(cdi)(ac)(bd)i.梳理(1)运算法则设z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么(abi)(cdi)(ac)(bd)i，(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(2)加法运算律对任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)1在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部()2复数的加、减法满足交换律和结合律()类型一复数的加法、减法运算例1(1)若z12i，z23ai(aR)，复数z1z2所对应的点在实轴上，则a_.(2)已知复数z满足|z|iz13i，则z_.考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案(1)1(2)1i解析(1)z1z2(2i)(3ai)5(a1)i，由题意得a10，则a1.(2)设zxyi(x，yR)，则|z|，|z|izixyix(y)i13i，解得z1i.反思与感悟(1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设zxyi(x，yR)跟踪训练1(1)若复数z满足zi33i，则z_.(2)(abi)(2a3bi)3i_(a，bR)(3)已知复数z满足|z|z1i，则z_.考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案(1)62i(2)a(4b3)i(3)i解析(1)zi33i，z62i.(2)(abi)(2a3bi)3i(a2a)(b3b3)ia(4b3)i.(3)设zxyi(x，yR)，|z|，|z|z(x)yi1i，解得zi.类型二复数加、减法的应用例2(1)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，32i，24i.求：表示的复数；表示的复数；表示的复数解因为A，C对应的复数分别为32i，24i，由复数的几何意义知，与表示的复数分别为32i，24i.因为，所以表示的复数为32i.因为，所以表示的复数为(32i)(24i)52i.，所以表示的复数为(32i)(24i)16i.(2)已知z1，z2C，|z1|z2|1，|z1z2|，求|z1z2|.解根据复数加减法的几何意义，由|z1|z2|知，以，为邻边的平行四边形OACB是菱形如图，对应的复数为z1，对应的复数为z2，|，对应的复数为z1z2，|.在AOC中，|1，|，AOC30.同理得BOC30，OAB为等边三角形，则|1，对应的复数为z1z2，|z1z2|1.引申探究若将本例(2)中的条件“|z1z2|”改为“|z1z2|1”，求|z1z2|.解如例2(2)解析中的图，向量表示的复数为z1z2，|1，则AOB为等边三角形，AOC30.取AB与OC的交点为D，则|，|，而表示的复数为z1z2，|z1z2|.反思与感悟(1)技巧：形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理；数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形：OACB为平行四边形；若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为正方形跟踪训练2(1)已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是2i,32i，则|_.(2)若z12i，z23ai，复数z2z1所对应的点在第四象限上，则实数a的取值范围是_答案(1)(2)(，1)解析(1)，表示的复数为(2i)(32i)13i，|.(2)z2z11(a1)i，由题意知a10，即a1.1已知复数z1i和复数z2cos60isin60，则z1z2等于()A1B1C.iD.i答案A解析z2i，z1z21.2设z134i，z223i，则z1z2在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案D解析z1z257i，z1z2在复平面内对应的点位于第四象限3在复平面内，O是原点，表示的复数分别为2i，32i,15i，则表示的复数为()A28iB66iC44iD42i答案C解析()44i.4已知复数z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(aR)，且z1z2为纯虚数，则a_.答案1解析z1z2(a2a2)(a4a22)i(aR)为纯虚数，解得a1.5设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是32i和24i，则点C对应的复数是_答案52i解析设AC与BD的交点为E，则E点坐标为，设点C坐标为(x，y)，则x5，y2，故点C对应的复数为52i.1复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则一、选择题1实数x，y满足z1yxi，z2yix，且z1z22，则xy的值是()A1B2C2D1答案A解析z1z2(yx)(xy)i2，即xy1，则xy1.2已知复数z1(a22)3ai，z2a(a22)i，若z1z2是纯虚数，则实数a的值为()A1B2C2D2或1答案C解析z1z2(a2a2)(a23a2)i，由题意知解得a2.3设复数z满足关系式z|z|2i，则z等于()AiB.iCiD.i答案D解析设zabi(a，bR)，则z|z|(a)bi2i，则解得zi.4设f(z)|z|，z134i，z22i，则f(z1z2)等于()A.B5C.D5答案D解析z1z255i，f(z1z2)|z1z2|5.5在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为13i，i，2i，若，则点D表示的复数是()A13iB3iC35iD53i答案C解析点A，B，C对应的复数分别为13i，i,2i，对应的复数为22i.设D(x，y)，(x1，y3)(2,2)，解得点D表示的复数为35i.6已知复数z对应的向量如图所示，则复数z1所对应的向量正确的是()答案A解析由图知z2i，则z11i，由复数的几何意义可知，A正确7复数z11icos，z2sini，则|z1z2|的最大值为()A32B.1C32D.1答案D解析|z1z2|(1sin)(cos1)i|.max1，|z1z2|max1.二、填空题8计算(55i)(2i)(34i)_.答案10i解析(55i)(2i)(34i)(523)(514)i10i.9已知x，yR，i为虚数单位，(x2)i3y1i，则xy(xy)i_.答案13i解析依据复数相等的条件，得到即所以xy(xy)i13i.10若复数z满足z|z|34i，则z_.答案4i解析设zabi(a，bR)z|z|34i，abi34i，解得z4i.11已知z1(3xy)(y4x)i(x，yR)，z2(4y2x)(5x3y)i(x，yR)设zz1z2，且z132i，则z1_，z2_.答案59i87i解析zz1z2(3xy4y2x)(y4x5x3y)i(5x3y)(x4y)i132i，解得z159i，z287i.三、解答题12计算：(1)(12i)(34i)(56i)；(2)5i(34i)(13i)解(1)(12i)(34i)(56i)(135)(246)i18i.(2)5i(34i)(13i)5i(4i)44i.13设mR，复数z1(m15)i，z22m(m3)i，若z1z2是虚数，求m的取值范围解z1(m15)i，z22m(m3)i，z1z2(m15)m(m3)i(m22m15)i.z1z2为虚数，m22m150且m2，解得m5，m3且m2(mR)四、探究与拓展14已知复数(x2)yi(x，yR)的模为，则的最大值为_答案解析|x2yi|，(x2)2y23，故(x，y)在以C(2,0)为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点(x，y)与原点连线的斜率如图，由平面几何知识易知，的最大值为.15已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2i，向量对应的复数为12i，向量对应的复数为3i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积解(1)因为向量对应的复数为12i，向量对应的复数为3i，所以向量对应的复数为(3i)(12i)23i.又，所以点C对应的复数为(2i)(23i)42i.因为，所以向量对应的复数为3i，即(3，1)设D(x，y)，则(x2，y1)(3，1)，所以解得所以点D对应的复数为5.(2)因为|cosB，所以cosB.所以sinB.所以S|sinB7，所以平行四边形ABCD的面积为7.
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