2019高中数学 第1章 导数及其应用 1.2 导数的运算学案 新人教B版选修2-2.doc

1.2导数的运算1掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数2熟练运用导数的运算法则3正确地对复合函数进行求导，合理地选择中间变量，认清是哪个变量对哪个变量求导数1基本初等函数的导数公式表yf(x)yf(x)ycy0yxn(nN)y_，n为正整数yx(x0，0且Q)yx1，为有理数yax(a0，a1)y_ylogax(a0，a1，x0)y_ysin xy_ycos xy_(1)求导公式在以后的求导数中可直接运用，不必利用导数的定义去求(2)幂函数的求导规律：求导幂减1，原幂作系数【做一做11】给出下列结论：若y，则y；若y，则y；若y，则y2x3；若yf(x)3x，则f(1)3；若ycos x，则ysin x；若ysin x，则ycos x其中正确的个数是()A3 B4 C5 D6【做一做12】下列结论中正确的是()A(logax) B(logax)C(5x)5x D(5x)5xln 52导数的四则运算法则(1)函数和(或差)的求导法则：设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)g(x)_，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的_(2)函数积的求导法则：设f(x)，g(x)是可导的，则f(x)g(x)_，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数由上述法则立即可以得出Cf(x)Cf(x)，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以_(3)函数的商的求导法则：设f(x)，g(x)是可导的，g(x)0，则_.(1)比较：f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，注意差异，加以区分(2)，且.(3)两函数的和、差、积、商的求导法则，称为可导函数四则运算的求导法则(4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导例如，设f(x)sin x，g(x)cos x，则f(x)，g(x)在x0处均不可导，但它们的和f(x)g(x)sin xcos x在x0处可导【做一做2】下列求导运算正确的是()A1B(log2x)C(3x)3xlog3eD(x2cos x)2xsin x3复合函数的求导法则对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yfg(x)如函数y(2x3)2是由yu2和u2x3复合而成的复合函数yfg(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积对于复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数如(sin 2x)2cos 2x，而(sin 2x)cos 2x.(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数如求ysin的导数，设ysin u，u2x，则yxyuuxcos u22cos.(4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写【做一做3】函数yln(2x3)的导数为_1如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系？剖析：导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，因此求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数2导数公式表中y表示什么？剖析：y是f(x)的另一种写法，两者都表示函数yf(x)的导数3如何理解yC(C是常数)，y0；yx，y1?剖析：因为yC的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为本身，所以切线的斜率都是0；因为yx的图象是斜率为1的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率为1.题型一 利用公式求函数的导数【例题1】求下列函数的导数：(1)yx；(2)y；(3)y；(4)ylog2x2log2x；(5)y2sin(12cos2)分析：熟练掌握常用函数的求导公式运用有关的性质或公式将问题转化为基本初等函数后再求导数反思：通过恒等变形把函数先化为基本初等函数，再应用公式求导题型二 利用四则运算法则求导【例题2】求下列函数的导数：(1)yx43x25x6；(2)yxtan x；(3)y(x1)(x2)(x3)；(4)y.分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，然后进行求导反思：对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误题型三 求复合函数的导数【例题3】求下列函数的导数：(1)y(2x1)n(xN)；(2)y5；(3)ysin3(4x3)；(4)yxcos x2.分析：选择中间变量是复合函数求导的关键必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，其中还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数反思：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量易犯错误的地方是混淆变量，或忘记中间变量对自变量求导复合函数的求导法则，通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环题型四 易错辨析易错点：常见函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等，记忆不牢或不能够灵活运用，所以在求导时容易出错牢记公式、灵活应用法则是避免求导出错的关键【例题4】求函数y(exex)的导数错解：y(exex)(ex)(ex)(exex)1下列各组函数中导数相同的是()Af(x)1与f(x)xBf(x)sin x与f(x)cos xCf(x)1cos x与f(x)sin xDf(x)x1与f(x)x12已知函数f(x)ax33x22，若f(1)4，则a的值为()A B C D3函数y的导数是()A Bsin xC D4设y(a是常数)，则y等于()A BC D5已知抛物线yax2bx5(a0)，在点(2,1)处的切线方程为y3x7，则a_，b_.答案：基础知识梳理1nxn1axln acos xsin x【做一做11】B由求导公式可知，正确【做一做12】D2(1)f(x)g(x)导数和(或差)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)函数的导数(3)【做一做2】B由求导公式知，B选项正确.x(x1)1x21.(3x)3xln 3，(x2cos x)(x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x.【做一做3】y函数yln(2x3)可看作函数yln u和u2x3的复合函数，于是yxyuux(ln u)(2x3)2.典型例题领悟【例题1】解：(1)y(x)x1.(2)y(x4)4x414x5.(3)y()x1x.(4)ylog2x2log2xlog2x，y(log2x).(5)y2sin2sin2sincossin x，ycos x.【例题2】解：(1)y(x43x25x6)(x4)3(x2)5x64x36x5.(2)y(xtan x).(3)方法1：y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)(x1)(x2)3x212x11.方法2：yx36x211x6，y3x212x11.(4)方法1：y.方法2：y1，y.【例题3】解：(1)y(2x1)nn(2x1)n1(2x1)2n(2x1)n1.(2)y54.(3)ysin3(4x3)3sin2(4x3)sin(4x3)3sin2(4x3)cos(4x3)(4x3)12sin2(4x3)cos(4x3)(4)y(xcos x2)xcos x2(cos x2)xcos x22x2sin x2.【例题4】错因分析：yex的求导错误，yex由yeu与ux复合而成，因此其导数应按复合函数的求导法则进行正解：令yeu，ux，则yxyuux，所以(ex)(eu)(x)ex(1)ex，所以y(ex)(ex)(exex)随堂练习巩固1D2Bf(x)3ax26x，f(1)3a64，a.3Cy.4D由x是自变量，a是常数，可知()0，所以y()()(1x)(1x)(1x).539y2axb，y4ab，方程y1(4ab)(x2)与方程y3x7相同，即即4ab3，又点(2,1)在yax2bx5上，4a2b51.即4a2b6.由得