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课时分层作业 十四利用导数研究函数的单调性一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=x2-2ln x的单调减区间是()A.(0,1) B.(1,+)C.(-,1) D.(-1,1)【解析】选A.因为f(x)=2x-=(x0).所以当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增.2.函数f(x)=1+x-sin x在(0,2)上是()A.单调递增 B.单调递减C.在(0,)上增,在(,2)上减D.在(0,)上减,在(,2)上增【解析】选A.f(x)=1-cos x0恒成立,所以f(x)在R上递增,在(0,2)上单调递增.3.已知函数f(x)=2x3-6ax+1,a0,则函数f(x)的单调递减区间为()A.(-,+) B.(,+)C.(-,-)(,+) D.(-,)【解析】选D.f(x)=6x2-6a=6(x2-a),当a0;当a0时,由f(x)0解得-x0时,f(x)的单调递减区间为(-,).4.已知函数f(x)=x2+2cos x,若f(x)是f(x)的导函数,则函数f(x)的图象大致是()【解析】选A.设g(x)=f(x)=2x-2sin x,g(x)=2-2cos x0,所以函数f(x)在R上单调递增.【变式备选】(2018聊城模拟)已知函数y=xf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数).则下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是()【解析】选C.由条件可知当0x1时,xf(x)0,所以f(x)1时,xf(x)0,所以f(x)0,函数递增,所以当x=1时,函数取得极小值.当x-1时,xf(x)0,函数递增,当-1x0,所以f(x)0,函数递减,所以当x=-1时,函数取得极大值.符合条件的只有C项.5.若函数f(x)=kex+x在(0,+)上单调递减,则k的范围为 ()A.k-1 B.k-1C.k1D.k1【解析】选B.f(x)=kex+1.由题意得kex+10在(0,+)上恒成立,即k-,x(0,+).当x(0,+),-(-1,0),所以k-1.【变式备选】已知函数f(x)=-ln x在1,+)上是减函数,则实数a的取值范围为()A.a1B.a0,因为f(x)在1,+)上是减函数,所以f(x)0在1,+)上恒成立.即2a=x+2在1,+)上恒成立,又x+22+2=4(当且仅当x=1时取等号),所以a2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数f(x)=ln x-x2+x的单调增区间为_.【解析】因为f(x)=ln x-x2+x,所以f(x)=-x+1=,x0,由f(x)0得x0且x1,则f(x)的单调减区间为_.【解析】f(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a),由a1知,当x0,故f(x)在区间(-,2)上单调递增;当2x2a时,f(x)2a时,f(x)0,故f(x)在区间(2a,+)上单调递增.综上,当a1时,f(x)在区间(-,2)和(2a,+)上单调递增,在区间(2,2a)上单调递减.答案:(2,2a)【一题多变】若将本题改为已知函数f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a(aR),求f(x)的单调区间,如何解?【解析】xR,f(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2a)(x-2),令f(x)=0,得x1=2a,x2=2,当2a2,即a1时,由f(x)0得x2a或x2;由f(x)0得2x2a.当2a=2,即a=1时,f(x)0恒成立;当2a2,即a0得x2或x2a;由f(x)0得2ax1时,增区间为(2a,+),(-,2);减区间为(2,2a).当a=1时,增区间为(-,+),无减区间.当a0),则h(x)=-0,即h(x)在(0,+)上是减函数.由h(1)=0知,当0x0,从而f(x)0;当x1时,h(x)0,从而f(x)0,所以x+10.当m0时,F(x)0,此时F(x)在(0,+)上为增函数.当m0得0x-,由F(x)-,所以F(x)在上单调递增,在上单调递减.综上,当m0时,F(x)在(0,+)上为增函数;当mf(c)f(d)B.f(b)f(a)f(e)C.f(c)f(b)f(a) D.f(c)f(e)f(d)【解析】选C.依题意得,当x(-,c)时,f(x)0;当x(c,e)时,f(x)0.因此,函数f(x)在(-,c)上单调递增,在(c,e)上单调递减,在(e,+)上单调递增,又因为abf(b)f(a).【变式备选】已知函数f(x)满足f(x)=f(-x),且当x时,f(x)=ex+sin x,则()A.f(1)f(2)f(3)B.f(2)f(3)f(1)C.f(3)f(2)f(1)D.f(3)f(1)f(1)f(-3),所以f(2)f(1)f(3).2.(5分)已知a0,函数f(x)=(x2-2ax)ex,若f(x)在-1,1上单调递减,则a的取值范围是 ()A.B.C.D.【解析】选C.f(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=x2+(2-2a)x-2aex,由题意知当x-1,1时,f(x)0恒成立,即x2+(2-2a)x-2a0恒成立.令g(x)=x2+(2-2a)x-2a,则有即解得a.3.(5分)已知函数f(x)=-2x2+ln x(a0).若函数f(x)在1,2上为单调函数,则a的取值范围是_.【解析】f(x)=-4x+,若函数f(x)在1,2上为单调函数,则f(x)=-4x+0或f(x)=-4x+0在1,2上恒成立,即4x-或4x-在1,2上恒成立.令h(x)=4x-,则h(x)在1,2上单调递增,所以h(2)或h(1),即或3,又a0,所以0a或a1.答案:1,+)4.(12分)(2018兰州模拟)已知函数f(x)=ln x-ax+-1(aR).当0a时,讨论f(x)的单调性.【解析】 因为f(x)=ln x-ax+-1,所以f(x)=-a+=-,x(0,+),令f(x)=0,可得两根分别为1,-1,因为0a10,当x(0,1)时,f(x)0,函数f(x)单调递增;当x时,f(x)0,函数f(x)单调递减.5.(13分)已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax+b. (1)若f(x)与g(x)在x=1处相切,求g(x)的表达式.(2)若(x)=-f(x)在1,+)上是减函数,求实数m的取值范围.【解析】(1)由已知得f(x)=,所以f(1)=1=a,a=2.又因为g(1)=0=a+b,所以b=-1,所以g(x)=x-1.(2)因为(x)=-f(x)=-ln x在1,+)上是减函数.所以(x)=0在1,+)上恒成立.即x2-(2m-2)x+10在1,+)上恒成立,则2m-2x+,x1,+),因为x+2,+),所以2m-22,m2.故实数m的取值范围是(-,2.
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