投资组合理论 马克维茨均值方差模型 CAPM课件PPT

现代投资组合理论,第 8 章,主讲：丁辉关,哈里马科维茨生于美国伊利诺伊州。在芝加哥大学1950年获得经济学硕士、1952年博士学位。 马科维茨是享誉美国和国际金融经济学界的大师，曾任美国金融学会主席、管理科学协会理事、计量学会委员和美国文理科学院院士。 1989年美国运筹学会、管理科学协会联合授予马科维茨、冯?诺伊曼运筹学理论奖，以表彰他们在证券组合选择理论、稀疏矩阵技术、SIMSCRIPT程序语言等方面所作的理论突破和技术创新工作。,哈里马科维茨 （Harry M. Markowitz） (1927年8月24日-),1952年在学术论文资产选择：有效的多样化中，首次应用资产组合报酬的均值和方差这两个数学概念，从数学上明确地定义了投资者偏好。第一次将边际分析原理运用于资产组合的分析研究。这一研究成果主要用来帮助家庭和公司如何合理运用、组合其资金，以在风险一定时取得最大收益。 马科维茨的学术活动基本上是专注于金融微观分析领域。1959年其代表作资产组合：有效的多样化的出版是其学术生涯的顶峰，以后他继续进行他的研究工作，但基本上是对他五十年代证券组合选择理论的完善，及一些技术、方法方面的工作，没有重大的理论突破。,Ch.8 现代投资组合理论 Modern Portfolio Theory (MPT)8.1 资产组合理论8.2 资本资产定价模型（CAPM）8.3 套利定价理论（APT）8.4 有效市场假说（EMH）,蒙代尔 (Robert A. Mundell),米尔顿弗里德曼 (Friedman，Milton),萨缪尔森 Samuelson,现代投资理论的产生以1952年3月Harry.M. Markowitz发表的投资组合选择为标志 1964、1965、1966年林特纳（John Lintner）、布莱克（Fischer Black）和摩森（Jan Mossin）三人分别独立提出资本资产定价模型。1962年，Willian Sharpe对资产组合模型进行简化，提出了资本资产定价模型（Capital asset pricing model，CAPM） 1976年，Stephen Ross提出了替代CAPM的套利定价模型（Arbitrage pricing theory，APT）。 上述的几个理论均假设市场是有效的。人们对市场能够地按照定价理论的问题也发生了兴趣，1965年，Eugene Fama在其博士论文中提出了有效市场假说（Efficient market hypothesis，EMH）,8.1 资产组合理论,8.1.1资产组合理论的基本假设 8.1.2资产组合的风险与收益 8.1.3资产组合的可行集和有效集 8.1.4最优风险资产组合的决定,8.1.1资产组合理论的基本假设 1.现代证券组合理论（Modern Portfolio Theory）是关于在收益不确定条件下投资行为的理论， 它由美国经济学家哈里马科维兹在1952年率先提出。 该理论为那些想增加个人财富，但又不甘冒风险的投资者指明了一个获得最佳投资决策的方向。 风险与收益相伴而生。即投资者追求高收益则可能面临高风险。投资者大多采用组合投资以便降低风险。但是，分散化投资在降低风险的同时，也可能降低收益。 马科维兹的证券组合理论就是针对风险和收益这一矛盾而提出的。,马柯维茨的资产组合理论马柯维兹(Harry Markowitz)1952年在 Journal of Finance发表了论文资产组合的选择，标志着现代投资理论发展的开端。马克维茨1927年8月出生于芝加哥一个店主家庭，大学在芝大读经济系。在研究生期间，他作为库普曼的助研，参加了计量经济学会的证券市场研究工作。他的导师是芝大商学院院长财务学杂志主编凯彻姆教授。凯要马克维茨去读威廉姆斯的投资价值理论一书。马想为什么投资者并不简单地选内在价值最大的股票，他终于明白，投资者不仅要考虑收益，还担心风险，分散投资是为了分散风险。同时考虑投资的收益和风险，马是第一人。当时主流意见是集中投资。,马克维茨运用线性规划来处理收益与风险的权衡问题，给出了选择最佳资产组合的方法，完成了论文，1959年出版了专著，不仅分析了分散投资的重要性，还给出了如何进行正确的分散方法。马的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者进行资产组合投资的理论和方法，第一次采用定量的方法证明了分散投资的优点。他用数学中的均值方差，使人们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能提供最大收益的资产组合。获1990年诺贝尔经济学奖。,2.现代证券组合理论的基本假设：为了弄清资产是如何定价的，需要建立一个模型即一种理论，模型应将注意力集中在最主要的要素上，因此需要通过对环境作一些假设，来达到一定程度的抽象。 投资者都是以期望收益率和方差（标准差）来评价资产组合（Portfolio）的效用大小划或风险大小。 投资者是永不满足的和风险厌恶的，即是理性的。因此，当面临其他条件相同的两种选择时，将选择具有较高期望收益率或较小标准差的投资组合。 单一资产都是无限可分的，可按一定比例购买一定数量的资产。 投资者可按相同的无风险利率借入或贷出资金。 税收和交易费用成本均忽略不计。,所有投资者都有相同的投资期限，即投资者的投资为单一投资期，多期投资是单期投资的不断重复。 对于所有投资者，无风险利率相同； 对于所有投资者，信息是免费的且是立即可得到的； 投资者具有相同的预期（同质期望），所有投资者对期望回报率、标准差和证券之间的协方差有相同的理解，即他们对证券的评价和经济形势的看法都一致。 通过这些假设，模型将情况简化为一种极端的情形：证券市场是完全市场，每一个人都有相同的信息，并对证券的前景有一致的看法，这意味着投资者以同一方式来分析和处理信息，每一个人采取同样的投资态度，通过市场上投资者的集体行为，可以获得每一证券的风险和收益之间均衡关系的特征。,8.1.2资产组合的风险与收益 1. 资产组合（portfolio）：是使用不同的证券和其他资产所构成的集合。任何投资者都希望获得最大的回报，但较大的回报伴随着较大的风险。资产组合的目的是：通过多样化来分散或减少风险，在适当的风险水平下获得最大的预期回报，或是获得一定的预期回报使风险最小。,2. 资产组合的预期收益：是组合中各种证券的预期收益(ri)的加权平均数。其中每一证券的权重(wi)等于该证券在整个组合中所占的投资比例。假设组合的收益为rp，组合中包含n种证券，每种证券的收益为ri，它在组合中的权重是wi，则组合的投资收益为：,3. 资产组合的风险： 作为风险测度的方差是回报相对于它的预期回报的离散程度， 资产组合的方差不仅与其组成证券的方差有关，还与组成证券之间的相关程度有关。 证券之间相互影响产生的收益的不确定性可用协方差COV和相关系数来表示。,（1）协方差(covariance)：是测量两个随机变量之间的相互关系或互动性的统计量。 资产组合的协方差是测度两种资产收益互补程度的指标。它测度的是两个风险资产收益相互影响的方向与程度。 协方差为正意味着两种资产的收益同方向变动，为负则意味着反方向变动。相对小的或0值的协方差表明：两种证券之间的回报率之间只有很小的互动关系或没有任何互动关系。 协方差的计算公式为：,（2）相关系数： 为了更清楚地说明两种证券之间的相关程度，通常把协方差正规化，使用证券i和证券j的相关系数ij。 相关系数与斜方差的关系为：两变量协方差除以两标准差之积等于它们的相关系数。 相关系数范围在1和+1之间，1表明完全负相关，+1表明完全正相关，多数情况是介于这两个极端值之间。 相关系数的计算公式为：,（3）资产组合的风险：,资产组合方差的计算公式,证明：,将平方项展开得到,总结 对于包含n个资产的组合p，其总收益的期望值和方差分别为：,4.分散原理 （1）当组合中只有两种证券（N=2）时,组合的风险变小,不同相关系数下的组合的标准差,由此可见，当相关系数从-1变化到1时，证券组合的风险逐渐增大。除非相关系数等于1，二元证券投资组合的风险始终小于单独投资这两种证券的风险的加权平均数，即通过证券组合，可以降低投资风险。,例题 假定投资者选择了A和B两个公司的股票作为组合对象，有关数据如下：,（2）组合中证券种类N大于2时,总结： 组合的收益是各种证券收益的加权平均值，因此，它使组合的收益可能低于组合中收益最大的证券，而高于收益最小的证券。 只要组合中的资产两两不完全正相关，则组合的风险就可以得到降低。 只有当组合中的各个资产是相互独立的且其收益和风险相同，则随着组合的风险降低的同时，组合的收益等于各个资产的收益。,8.1.3资产组合的可行集和有效集,可行集与有效集 可行集：资产组合的机会集合（portfolio opportunity set），即资产可构造出的所有组合的期望收益和方差。 有效组合（efficient portfolio ）：根据既定风险下收益最高或者既定收益下风险最小的原则建立起来的证券组合。每一个组合代表一个点。 有效集（efficient set） ：又称为有效边界（efficient frontier）,它是有效组合的集合（点的连线） ，即在坐标系中有效组合的预期收益和风险的组合形成的轨迹。,2. 两种风险资产构成的组合的风险与收益（可行集） （1）若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系数，则由上一章的结论可知两种资产构成的组合之期望收益和方差为：,由此就构成了资产在给定条件下的可行集！,注意到：两种资产的相关系数为1121。 因此，分别在121和121时，可以得到资产组合的可行集的顶部边界和底部边界。其他所有的可能情况，在这两个边界之中。组合的风险收益二维表示如下：,（2）两种完全正相关资产构成的组合的可行集：两种资产完全正相关，即12 1，则有,命题8.1：完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。 证明：由资产组合的计算公式可得,结论：两种资产组合完全正相关（ 12 1 ），当权重w1从1减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的可行集（假定不允许买空卖空）。,12 1,（2）两种完全负相关资产构成的组合的可行集：两种资产完全负相关，即12 =1，则有,命题8.2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。 证明：,两种证券完全负相关，其构成的可行集是两条直线，图示如下：,（3）两种不完全相关的风险资产的组合的可行集,总结：在各种相关系数下、两种风险资产构成组合的可行集,3。三种风险资产的组合二维表示（可行集） 一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间两两完全正（负）相关是不可能的，因此，一般假设两种资产之间是不完全相关（一般形态）。,4。n种风险资产的组合二维表示（可行集）类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得到一个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。,n种风险资产的组合二维表示,总结：可行集的两个性质,在n种资产中，如果至少存在三项资产彼此不完全相关，则可行集合将是一个二维的实体区域。 可行区域是向左侧凸出的。因为任意两项资产构成的投资组合都位于两项资产连线的左侧。,不可能的可行集,收益rp,5。风险资产组合的有效集,在可行集中，有一部分投资组合从风险水平和收益水平这两个角度来评价，会明显优于另外一些投资组合，其特点是在同种风险水平的情况下，提供最大预期收益率；在同种收益水平的情况下，提供最小风险。我们把满足这两个条件（均方准则）的资产组合，称之为有效资产组合； 由所有有效资产组合构成的集合，称之为有效集或有效边界。 投资者的最优资产组合将从有效集中产生，而对所有不在有效集内的其它投资组合则无须考虑。,6。二元证券组合（A，B）下的有效边界,A（1，0）,0.18,组合预期收益,D （1/3,2/3）,C,F,G,B（0，1）,组合标准差,E,0.02,0.215,0.045,0.06,X,0.08,0.25,7。多元证券组合下的有效边界（N2）,整个可行集中，G点为最左边的点（具有最小标准差）。从G点沿可行集右上方的边界直到整个可行集的最高点S（具有最大期望收益率），这一边界线GPS即是有效集。如：自G点向右上方的GPS上的点所对应的投资组合如，与可行集内其它点所对应的投资组合（如点）比较起来，在相同风险水平下，可以提供最大的预期收益率；而与点比较起来，在相同的收益水平下，点承担的风险又是最小的。,总 结,A、两种资产的可行集 完全正相关是一条直线 完全负相关是两条直线 完全不相关是一条抛物线 其他情况是界于上述情况的曲线 B、两种资产的有效集 左上方的线 C、多个资产的有效边界可行集：月牙型的区域 D、多个资产的有效边界(有效集) ：左上方的线,8。马克维茨的数学模型*,均值-方差（Mean-variance）模型是由哈里马克维茨等人于1952年建立的，其目的是寻找有效边界。通过期望收益和方差来评价组合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。因此，根据上一章的占优原则这可以转化为一个优化问题，即 （1）给定收益的条件下，风险最小化 （2）给定风险的条件下，收益最大化,对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入拉格朗日乘子和来解决这一优化问题。构造拉格朗日函数如下,上式左右两边对wi求导数，令其一阶条件为0，得到方程组,和方程,这样共有n2方程，未知数为wi（i1，2,n）、和，共有n2个未知量，其解是存在的。 注意到上述的方程是线性方程组，可以通过线性代数加以解决。 例：假设三项不相关的资产，其均值分别为1，2，3，方差都为1，若要求三项资产构成的组合期望收益为2，求解最优的权重。,课外练习：假设三项不相关的资产。其均值分别为1，2，3，方差都为1，若要求三项资产构成的组合期望收益为1，求解最优的权重。,由此得到组合的方差为,8.1.4最优风险资产组合的决定,1。由于假设投资者是风险厌恶的，因此，最优投资组合必定位于有效集边界上，其他非有效的组合可以首先被排除。 2。虽然投资者都是风险厌恶的，但程度有所不同，因此，最终从有效边界上挑选那一个资产组合，则取决于投资者的风险规避程度。 3。度量投资者风险偏好的无差异曲线与有效边界共同决定了最优的投资组合。,4.无差异曲线：描述理性投资者对风险偏好程度的曲线。 同一条无差异曲线, 给投资者提供的效用（即满足程度）是无差异的， 无差异曲线向右上方倾斜,高风险被其具有的高收益所弥补。 对于每一个投资者,无差异曲线位置越高，该曲线上对应证券组合给投资者提供的满意程度越高。,不同理性投资者具有不同风险厌恶程度,5、最优投资组合的确定：投资者效用无差异曲线和有效边界的切点A就是多元证券组合的最佳组合点。,最优资产组合位于无差异曲线I2与有效集相切的切点A处。 由G点可见，对于更害怕风险的投资者，他在有效边界上的点具有较低的风险和收益。,6、资产组合理论的优点 首次对风险和收益进行精确的描述，解决对风险的衡量问题，使投资学从一个艺术迈向科学。 分散投资的合理性为基金管理提供理论依据。单个资产的风险并不重要，重要的是组合的风险。 从单个证券的分析，转向组合的分析,7、资产组合理论的缺点 当证券的数量较多时，计算量非常大，使模型应用受到限制。 解的不稳定性。 重新配置的高成本。 因此，马克维茨及其学生夏普就可是寻求更为简便的方法，这就是CAPM。,8.2 资本资产定价模型（CAPM）,8.2.1 CAPM的假设条件 8.2.2分离定理 8.2.3资本市场线（CML） 8.2.4证券市场线（SML） 8.2.5 CAPM的扩展形式,8.2.1 CAPM的假设条件 1.资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）:是由美国Stanford大学教授夏普等人在马克维茨的证券投资组合理论基础上提出的一种证券投资理论。 它是现代金融学的奠基石，该模型对于资产风险与其收益率之间的关系给出了精确的预测。 CAPM解决了所有人按照组合理论投资下，资产的收益与风险的问题。CAPM 理论包括两个部分：资本市场线（CML）和证券市场线（SML）。 它提供了一种对潜在投资项目估计其收益率的方法。模型使得我们能对不在市场交易的资产同样做出合理的估价。 Markowitz, Sharpe, Lintner 与 Mossin等做出了非常重要的贡献。,夏普的CAPM模型夏普(William Sharpe)是美国斯坦福大学教授。夏普1934年6月出生于坎布里奇，1951年，夏普进入加大伯克莱分校学医，后主修经济学。1956年进入兰德公司，同时读洛杉矶分校的博士学位。在选择论文题目时，他向同在兰德公司的马克维茨求教，在马克维茨的指导下，他开始研究简化马克维茨模型的课题。1961年他写出博士论文，提出单因素模型。这极大地简少了计算数量。在1500只股票中选择资产组合只需要计算4501个参数，而以前需要计算100万个以上的数据。,1964年提出的CAPM模型。它不是用方差作资产的风险度量，而是以证券收益率与全市场证券组合的收益率的协方差作为资产风险的度量(系数)。这不仅简化了马模型中关于风险值的计算工作，而且可以对过去难以估价的证券资产的风险价格进行定价。他把资产风险进一步分为“系统”和“非系统”风险两部分。提出：投资的分散化只能消除非系统风险，而不能消除系统风险。诺贝尔经济学评奖委员会认为CAPM已构成金融市场的现代价格理论的核心，它也被广泛用于经验分析，使丰富的金融统计数据可得到系统而有效的利用。它是证券投资的实际研究和决策的一个重要基础。,2. Markowitz的证券组合理论指出了如何通过选择风险资产建立资产组合，从而降低风险，它是一种规范性（normative）的研究，即告诉投资者应该如何进行投资选择。 当投资者都采用Markowitz的组合理论选择最优的资产组合，那么，资产的均衡价格将如何在收益和风险的权衡中形成？ CAPM阐述了当投资者都采用Markowitz的理论进行投资管理的条件下市场均衡状态的形成，把资产的预期收益和预期风险之间的理论关系用一个简单的线性方程表达出来了。,3. CAPM的假设条件: CAPM以证券投资组合理论为基础，其假设条件对CAPM仍然适用，但CAPM的有关假设更为严格。基本假设如下： 投资者根据一段时间内（单期）组合的预期收益率和方差来评价投资组合（理性） 所有投资者均是理性的，追求投资资产组合的方差最小化. 投资者用不满足：当面临其他相同的两种组合时，他们将选择具有较高预期收益率的组合； 资本市场不可分割，所有投资者都可以免费和不断获得有关信息（市场有效） 资产无限可分，投资者可以购买任意数量的资产 投资者可以用无风险利率借入或者贷出货币 不存在税收和交易费用,存在着大量投资者，每个投资者的财富相对于所有投资者的财富总和来说是微不足道的。所有投资者都只是价格的接受者（price takers），单个投资者的交易行为对证券价格不发生影响（即完全竞争市场）. 只考虑单期（Single-period）投资，即所有投资者都在同一证券持有期计划自己的投资行为资产组合. 投资对象仅限于公开市场上交易的金融资产，还假定投资者可以在固定的无风险利率基础上借入或贷出任何额度的资产. 一致性预期（homogeneous expectations） ：由于投资者均掌握了马克维茨模型，即所有投资者对证券和经济局势的看法都一致，他们对证券的预期收益率和标准差和协方差的看法一致。,1. 前面讨论了由风险资产构成的组合，但未讨论资产中加入无风险资产的情形。投资者可以将一个风险投资与无风险证券（如国库券）构成组合。 无风险资产的具有正的期望收益，且其方差为0。 在允许卖空的条件下，投资者可以通过卖空无风险资产而将所得资金投资于风险资产。 将无风险资产加入已经构成的风险资产组合（风险基金）中，形成了一个无风险资产+风险基金的新组合， 这些增加的投资机会大大改变了原有的有效边界，从而使投资者的最优组合发生改变。可以证明：新组合的有效边界将是一条直线。,8.2.2分离定理,命题8.3：一种无风险资产与风险组合构成的新组合的有效边界为一条直线。,一种风险资产与无风险资产构成的组合，其标准差是风险资产的权重与标准差的乘积。,2. 资本配置线（Capital Allocation Line，CAL）,将前面式（1）.（2）联立，可推出资本配置线的函数表达式,A点表示全部投资无风险资产；M点表示全部投资于风险资产组合m；AM段表示分别投资于无风险资产和风险组合m；MB段表示卖空无风险资产增加风险资产的投资比例。,CAL描述了引入无风险借贷后，将一定的资本在某一特定的风险资产组合m与无风险资产之间分配，从而得到所有可能的新的组合的预期收益与风险之间的关系。,允许无风险借贷下的有效边界,3. 允许无风险借贷条件下的有效边界及最佳投资组合的决定,在允许无风险借贷的条件下，风险资产组合边界及其右侧的任何一点与A点的连线均对应着一条资本配置线，它们构成了新的可行域。,B,o,A（0， ）,B,O,风险资产组合有效边界,B,AMB的斜率是所有资本配置线中的最大者，构成了新的有效边界。,4. 分离定理（Separation theorem）：投资者对风险的规避程度与该投资者风险资产组合的最优构成是无关的。 根据假定，投资者对风险资产的预期收益率、标准差和协方差有着相同的看法，这意味着线性有效集对所有的投资者来说都是相同的。 所有的投资者，无论他们的风险规避程度如何不同，都会将切点组合（风险组合M）与无风险资产A混合起来作为自己的最优风险组合。因此，无需先确知投资者偏好，就可以确定风险资产最优组合。 因此，每个投资者的投资组合中都包括一个无风险资产A和相同的风资产组合M，剩下的唯一决策就是怎样筹集投资于m的资金，这取决于投资者回避风险的程度，,5.不同投资者最佳组合的决定。 根据分离定理，投资者的最佳风险资产组合m，可以在并不知晓投资者对风险和收益的偏好时就可确定。,投资者最优资产组合取决于投资者回避风险的程度， 厌恶风险程度高的投资者将分配一定比例的资金于无风险资产， 厌恶风险程度低的投资者可以多投资风险基金M，少投资无风险证券F，甚至将卖空无风险资产更多的投资于风险资产组合M。,6.分离定理对组合选择的启示 若市场是有效的，由分离定理，资产组合选择问题可以分为两个独立的工作，即资本配置决策（Capital allocation decision）和资产选择决策（Asset allocation decision）。 资本配置决策：考虑资金在无风险资产和风险组合之间的分配。 资产选择决策：在众多的风险证券中选择适当的风险资产构成资产组合。 由分离定理，基金公司可以不必考虑投资者偏好的情况下，确定最优的风险组合。,8.2.3资本市场线（CML）,1. 市场组合（market portfolio）：即最佳风险资产组合M。 根据分离定律，每一个投资者的投资组合中，最佳风险资产组合M与该投资者对风险和收益的回避程度无关，即组合中都包括了对最佳风险资产组合M的投资。 当市场达到均衡时，每一个风险资产在最佳风险资产组合M中都会有一个非0的比例。否则，经过市场供求关系的内在调整，会达到均衡。此时： 投资者对每一种风险资产都愿意持有一定数量； 每种风险资产供求平衡，价格为均衡价格； 无风险利率水平正好使借入资金总量与贷出资金总量相等 市场组合包含了所有的证券，而且每种证券的投资比例必须等于各种证券总市值与全部证券总市值的比例。,2.资本市场线的导出： 根据分离定理，市场中的每个投资者将选择具有相同的结构的风险基金（风险资产组合）。投资者之间的差异仅仅体现在风险基金和无风险资产的投资比例上。 若市场处在均衡状态，即供给需求，且每一位投资者都购买相同的风险基金，则该风险基金应该是何种基金呢？（CAPM的核心内容） 风险基金市场组合（Market portfolio） 一种无风险资产与风险组合构成的新组合的线性有效集实际上是从无风险资产所对应的点A出发，经过市场组合对应点M的一条射线，它反映了市场组合M和无风险资产A的所有可能组合的收益和风险的关系。该线性有效集被称为资本市场线（CML）。,3.资本市场线（Capital Market Line，CML）：描述的是当资本市场处于均衡状态下，由多个资产构成的有效组合的预期收益率与标准差之间的线性关系。 表明在均衡状态下，任何一个最优组合都是由市场组合M与无风险资产F构成。是资本配置线（CAL）的一个特例。 CML的实质就是在允许无风险借贷下的新的有效边界，它反映了当资本市场达到均衡时，投资者将资金在市场组合M和无风险资产之间进行分配，从而得到所有有效组合的预期收益和风险的关系。,CML是无风险资产与风险资产构成的组合的有效边界。 CML的截距被视为时间的报酬； CML的斜率就是单位风险溢价； 位于CML上的组合提供了最高单位的风险回报率，在金融世界里，任何资产组合都不可能超越CML 。由于单个资产一般来说，并不是最优的资产组合，因此，单个资产也位于该直线的下方。,CML举例： 假设市场组合由A、B、C构成，有关数据为： （1）各自所占比重分别为0.1、0.5和0.4； （2）预期收益率分别为0.12、0.08和0.16； （3）方差分别为0.035、0.067和0.05； （4）协方差分别为COV(ra,rb)=0.043、COV(ra,rc)=0.028、 COV(rb,rc)=0.059. （5）市场无风险利率rf =0.03 求均衡状态下的CML方程。 计算：E(rm)=0.116； m2 =0.05524； m =0.235；rf =0.03；SML的斜率为 (0.116-0.003)/0.235=0.37则CML为：E (rp) = 0.03 +0.37 p,8.2.4 证券市场线（SML）,1.CML将一项有效资产组合的期望收益率与其标准差联系起来，但它并未表明一项单独资产的期望收益率是如何与其自身的风险相联系。 CAPM模型的最终目的是要对证券进行定价，因此，就由CML推导出SML。 资本市场线（CML）反映了市场达到均衡时有效组合的预期收益与风险之间的关系。 证券市场线（SML）要回答的是：当市场达到均衡时，任意资产（或组合）i（无论有效与否）的预期收益和风险之间的关系。,命题8.4：若市场投资组合是有效的，则任一资产i的期望收益满足,=,证明：考虑持有权重w资产i，和权重(1- w)的市场组合m构成的一个新的资产组合，由组合计算公式有：,证券i与m的组合构成的有效边界为im； im不可能穿越资本市场线； 当w=0时，曲线im的斜率等于资本市场线的斜率。,市场组合,=,2. 证券市场线（Security market line，SML）,3.CAPM模型：表明当市场达到均衡时，任意一项资产（或组合）i的预期收益和风险之间的关系。表达式为：,CAPM模型所表示的直线即为证券市场线（SML）。 SML虽然是由CML导出，但其意义不同 CML给出的是市场组合与无风险证券构成的组合的有效集，任何资产（组合）的期望收益不可能高于CML。 SML给出的是单个证券或者组合的期望收益，它是一个有效市场给出的定价，但实际证券的收益可能偏离SML。,SML通过A（0，rf）和M（1，r m）。 方程以 为截距，以 为斜率。因为斜率是正的，所以 越高的证券，其期望回报率也越高。 称证券市场线的斜率 为风险价格，而称 为证券的风险。由 的定义可见，衡量证券风险的关键是该证券与市场组合的协方差而不是证券本身的方差。,实例：假定某证券的无风险利率是3%，市场资产组合预期收益率是8%，值为1.1，则该证券的预期收益率为？,可见，值可替代方差作为测定风险的指标。,4. 系数：是美国经济学家威廉夏普提出的风险衡量指标。用它反映资产组合风险与市场整体风险的相关关系，即定义了系统风险对资产的影响。 值体现的是具体的某个证券对市场组合风险的贡献度。1意味着投资于该证券要承担高于市场组合的波动敏感度，为高风险的进取型证券；1意味着其相对于市场组合波动水平不敏感，为低风险的防御型证券，是保守型投资。市场组合的值为1。 值是个别资产相对于市场资产组合的风险测度，反映了证券的系统性风险，在一般情况下，将某个具有一定权威性的股指（市场组合）作为测量股票值的基准。,注 意,SML代表投资个别证券的必要报酬率，是证券市场供求运作的结果。 SML给出的是期望形式下的风险与收益的关系，若预期收益高于证券市场线给出的的收益，则应该看多该证券，反之则看空。 SML只是表明期望高的证券会获得较高的收益，并不是说高的证券总能在任何时候都能获得较高的收益，如果这样，高证券就不是高风险了。若当前证券的实际收益已经高于证券市场线的收益，则应该看空该证券，反之则看多。 当然，从长期来看，高证券将取得较高的平均收益率期望回报的意义。,例：在2005年，短期国库券（被认为是无风险的）的收益率为5%。假定一贝塔值为1的资产组合市场要求的期望收益率为12%，根据CAPM模型： （1）市场资产组合的预期收益率是多少？ （2）贝塔值为0的股票组合的预期收益率是多少？ （3）假定投资者正在考虑买入一股票，价格为40元。该股票预计下一年派发红利3元，并且投资者预期可以41元卖出。股票的贝塔为-0.5，该股票的价格是高估还是低估了？,解：（1）因为市场组合的贝塔定义为1，它的预期收益率为12%； （2）贝塔为零意味着无系统风险。因此，股票组合的预期收益率是无风险利率5%； （3）根据SML方程，贝塔为-0.5的股票的公平预期收益率为：E（r）=5%+（-0.5）（12%-5%）=1.5% 利用第二年的预期价格和红利，求得该股票的预期收益率为：E（r）=（41-40）+3/40=10% 因为预期收益率大于公平收益率，股票定价过低。,5.投资组合的贝塔值公式：可加性。 命题8.4：组合的贝塔值是组合中各个资产贝塔值的加权平均。,命题8.5：系统风险无法通过分散化来消除。,系统风险,非系统风险,组合风险随股票品种的增加而降低，但不降低到零，因为还有系统风险。,组合数目,风险,系统风险,非系统风险,30,小 结,SML的表示资产的波动性与市场波动的关系，市场组合的1， 若1，则表明其波动大于市场，或者说由于市场波动导致证券比市场更大的波动，反之则反是。 衡量的风险是系统风险，系统风险无法通过分散化消除。 由于证券的期望收益是关于的线性函数，这表明市场仅仅对系统风险进行补偿，而对非系统风险不补偿。,6. CML和SML的区别： 两者都可用于描述有效组合的收益率与风险的关系。 CML是所有有效投资组合（由风险资产与无风险资产构成的）的集合，描述了有效投资组合的预期收益与风险程度之间的关系，而SML反映的是单项资产或任意资产组合的期望收益与风险程度之间的依赖关系，无论有效与否。CML本质上是SML的一个特例。 资本市场均衡时，所有证券和组合都可以在SML上找到对应的点，有效资产组合可同时位于CML和SML上，而非有效组合（无效资产组合和单个证券）的对应点只能位于SML上，但是在CML的下方。原因在于，单个证券的总风险中有一部分是没有回报的非系统风险，而有效组合的总风险中不包含非系统风险，因此有效组合能获得较高的期望收益率。,CML反映的是有效资产组合的预期收益与其全部风险（标准差）之间的关系，标准差测度的是投资者总的资产组合的风险。而SML反映的是单项资产或任意资产组合的期望收益与其所含的系统风险（而非全部风险）之间的依赖关系， SML同时给出单个证券和有效组合的期望收益率与贝塔值之间的线性关系。测度单个资产风险的工具不再是该资产的方差或标准差，而是该资产对于资产组合方差的影响程度或贡献度（贝塔值）。,CML和SML的区别,7.证券市场线与系统风险： 设某种资产i的收益为,设,则由（1）和（2）得到,8.证券风险概念的进一步拓展 （1）系统风险（Systemic risk）：它是指由于公司外部、不为公司所预计和控制的因素造成的风险。 通常表现为国家、地区性战争或骚乱（如9.11事件，美国股市暴跌），全球性或区域性的石油恐慌，国民经济严重衰退或不景气，国家出台不利于公司的宏观经济调控的法律法规，中央银行调整利率等。 系统性风险事件一旦发生，将波及所有的证券，但是由于不同，不同的证券对此反应是不同，可见又反应某种证券的风险对整个市场风险的敏感度。,系统风险及其因素的特征： 系统性风险由共同一致的因素产生。 系统性风险对证券市场所有证券都有影响，包括某些具有垄断性的行业同样不可避免，所不同的只是受影响的程度不同。 系统性风险不能通过投资分散化达到化解的目的。 系统风险与预期收益成正比关系，市场只对系统风险进行补偿。,证券的系统风险本质上是该证券与市场上所有证券的协方差加权和。,一般地，由于一种证券不可能与市场上所有证券之间都相互独立，故系统风险不为0。 问题：用方差与测量证券风险性质相同吗？为什么？,（2）非系统性风险：产生于某一证券或某一行业的独特事件，如破产、违约等，与整个证券市场不发生系统性联系的风险。即总风险中除了系统风险外的偶发性风险，或称残余风险和特有风险（Special risk）。 非系统风险可以通过组合投资予以分散，因此，投资者可以采取措施来规避它，所以，在定价的过程中，市场不会给这种风险任何酬金。 对单个证券而言，由于其没有分散风险，因此，其实际的风险就是系统风险加上特有风险，所以其收益就是：,特有风险补偿,无风险收益,系统风险补偿,8.2.5 CAPM的扩展形式,1.没有无风险资产 尽管短期国债名义上是无风险资产，但是，它们的实际收益是不确定的。 CML退化：投资者不得不在风险资产的有效率边界上选择资产组合。 2.具有无风险借出但无借入情况下的资产组合选择CML均方有效前沿,具有无风险借出但无借入情况下的资产组合选择,E(r),F,A,P,Q,CML,St. Dev,更多风险忍耐的投资者,更少风险忍耐的投资者,3.无风险借贷利率不相等条件下的CML：三段曲线个人如果要借款投资于风险资产组合，必须付出比国库券利率高的利率。例如，经纪人索要的保证金贷款利率就高于国库券利率。,4. CAPM的应用：项目选择已知一项资产的买价为p，而以后的售价为q，q为随机的，则,随机条件下的贴现率 （风险调整下的利率）,例：某项目未来期望收益为1000万美元，由于项目与市场相关性较小，=0.6，若当时短期国债的平均收益为10，市场组合的期望收益为17，则该项目最大可接受的投资成本是多少？,复习思考题,1. X股票预期收益率为12%， =1；Z股票预期收益率为13%， =1.5；市场预期收益率为11%，rf =5%。问： （1）根据CAPM，购买哪只股票更好？ （2）每只股票的a是多少？画出SML，并在图上标明每只股票的风险-收益点及其a值。 2.rf =8%，市场组合的预期收益率为16%，某投资项目的 =1.3。 （1）求该项目的要求收益率。 （2）如果该项目的IRR=19%，是否应投资于该项目？,3.风险高的证券其预期收益就必然高吗？为什么？ 4. rf =6%，市场组合的预期收益率为14%，预期收益率为18%的某证券的是多少？ 5.两个投资者业绩比较。一个的平均收益为19%，另一个为16%，两者的值分别为1.5和1。问： （1）哪个投资者更善于预测个股走势（不考虑对总体市场的预测）？ （2）如果rf =6%，这一期间的市场收益率为14%，哪个投资者在选股方面更出色？ （3）如果rf =3%，这一期间的市场收益率为15%呢？,