2019届高三数学下学期模拟热身试题 理(含解析).doc

2019届高三数学下学期模拟热身试题 理(含解析)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】.又.则复数在复平面内对应的点在第一象限，故选A.2. 设，集合，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据题意有：.所以，当，所以，此时，满足题意，.当，. 此时，不满足题意.故选B.3. 在区间上随机地取一个数，则事件“”不发生的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】.4. 已知圆的方程为，过直线：（）上的任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为，则直线在轴上的截距为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图,由,得圆心坐标为(3,4)，要使切线长最小,即圆心到直线l: (a0)的距离最小，圆的半径为4,切线长为，圆心到直线l: (a0)的距离等于.再由，解得：a=22.此时直线l, 则直线在轴上的截距为.故选D.5. 函数（）的部分图象如图所示，点，是图象的最高点，点是图象的最低点，且是正三角形，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意结合三角函数的对称性可知ABC为等腰直角三角形，且ACB为直角，取AB的中点为D,由三角函数的最大值和最小值为和,可得CD=()=.故AB的长度为2，又AB为函数的一个周期的长度，故可得,解之可得=.故选D.6. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（ ）A. 145 B. 148 C. 278 D. 285【答案】C【解析】,进入循环，否，;,，否，;,，否，;,，否，;,，否，;,，否，;,，否，;,，否，;,，否，;,，否，;,，否，;,，是，结束循环，输出.故选C.7. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】点是曲线上任意一点,所以当曲线在点P的切线与直线平行时，点P到直线的距离的最小，直线的斜率为1，由，解得或（舍）.所以曲线与直线的切点为.点到直线的距离最小值是.故选C.8. 一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，若这个几何体的外接球的表面积等于，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由已知中知几何体的正视图，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为2，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图。外接球的表面积等于，解得.则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，|PD|=4,所以.在直角AOD中，.又，解得.该几何体的体积为.故选D.9. 若是定义在上的函数，且满足：是偶函数；是偶函数；当时，当时，则方程在区间内的所有实数根之和为（ ）A. 0 B. 10 C. 12 D. 24【答案】D【解析】因为是偶函数，所以.即函数关于轴对称；又是偶函数，所以.所以有，即函数是周期为4的周期函数.可做出函数的简图，如图所示，在区间内共有4个交点，.可得.和为8+16=24，故选D.10. 已知双曲线：（，），过点作直线交双曲线的两条渐近线于、两点，若为的中点，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 2 C. D. 【答案】B【解析】如图所示，因为，所以，.为的中点，所以满足，,有，解得：，.故选B.11. 如图，三棱柱中，侧棱底面，是的中点，是上的点，交于点，且，则下面结论中不正确的为（ ）A. 与异面且垂直 B. C. 为直角三角形 D. 的长为【答案】D【解析】以C1为原点,C1A1为x轴,C1B1为y轴,C1C为z轴，建立空间直角坐标系，由题意A1(1,0,0),B1(0,1,0),D(, ,0),C1(0,0,0),A(1,0,1),设F(0,1,t)，0t1，,解得t=1.线段的长为.，故D不正确.故选D.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.12. 已知定义在上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时，（），当时，的最小值为3，则的值等于（ ）A. B. C. 2 D. 1【答案】A【解析】因为函数是偶函数，所以，即.当时,.，有,函数在函数单减，在(单调递增.，解得，故选A.点睛：本题的难点是对于函数是偶函数的正确转化，应该得到.如果说是是偶函数，则应得到.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知菱形的边长为4，点，分别在边，上，（，且），若，则的值为_【答案】8【解析】在菱形中，.将和代入得，解得.14. 某学校有5个班级的同学一起到某工厂参加社会实践活动，该工厂有5个车间供学生选择，每个班级任选一个车间进行实践学习，则恰有2个班级选择甲车间，1个班级选择乙车间的方案有_种【答案】270【解析】根据题意可知，第一步：2个班级选择甲车间;第二步：1个班级选择乙车间第三步：另外2个班级选了除甲乙以外的三个工厂，.所以一共：.15. 已知数列中，且点（）在直线上，则数列的通项公式为_【答案】 【解析】点（）在直线上，有.,得.所以是公比为的等比数列，首项为.，故有.16. 甲、乙两位打字员在两台电脑上各自输入，两种类型的文件的部分文字才能使这两种类型的文件成为成品.已知文件需要甲输入0.5小时，乙输入0.2小时；文件需要甲输入0.3小时，乙输入0.6小时.在一个工作日内，甲至多只能输入6小时，乙至多只能输入8小时，文件每份利润为60元，文件每份利润为80元，则甲、乙两位打字员在一个工作日内获得的最大利润是_元【答案】1200【解析】设文件的份数为.根据题意可得，甲、乙两位打字员在一个工作日内获得的利润为.联立，解得.在区域内的整点有(1,1),(1,2)(1,13);(2,1),(2,2)（2，12）;(3,1),(3,2)（3,12）;(4,1),(4,2)(4,12);(5,1),(5,2)(5,11);(11,1),将每一行最大的整数点代入，得(4,12),（8，9）代入式.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知中，内角，的对边分别为，且，是关于的方程的两个实根，.（）求角的大小；（）求面积的取值范围.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）利用韦达定理，两角和的正切公式，求得，可得，进而得；（）根据角及余弦定理可得，根据面积公式及均值不等式即可得范围.试题解析：（）由题意得，所以 ，故中，所以.（）由，及，可得 ，整理得，即又，所以 ，得，当且仅当时取等号，所以的面积 ，所以面积的取值范围为.18. 已知等边三角形的边长为4，四边形为正方形，平面平面，分别是线段，上的点.（）如图，若为线段的中点，证明：平面；（）如图，若，分别为线段，的中点，求二面角的余弦值.【答案】（）见解析；（）.【解析】试题分析：（）根据中位线定理及平行四边形性质可得试题解析：（）证明：取的中点，连接，则易知为的中位线，平面，平面，平面，易知四边形为平行四边形，平面，平面，平面.，平面，平面平面，又平面，平面.（）连接，则，平面平面，平面平面，平面，平面，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，取，得，故，设平面的法向量为，则，取，得，故， .易知二面角为钝二面角，故二面角的余弦值为.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19. 某学校设有甲、乙两个实验班，为了了解班级成绩，采用分层抽样的方法从甲、乙两班学生中分别抽取8名和6名测试他们的数学与英语成绩（单位：分），用表示，下面是乙班6名学生的测试分数：，当学生的数学、英语成绩满足，且时，该学生定为优秀生.（）已知甲班共有80名学生，用上述样本数估计乙班优秀生的数量；（）从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取3名，求至少有两名为优秀生的概率；（）从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取2名，其中优秀生数记为，求的分布列及其数学期望.【答案】（）乙班优秀生的数量大约为40；（）；（）见解析.【解析】试题分析：（）根据分层抽样的原理，利用比例求解即可；（）至少有两名为优秀生包含两种情况：有2名优秀生，1名非优秀生和3名都是优秀生；（）从乙班抽出的6名学生中任取1名是优秀生的概率是.由题意可知的取值可以为0,1,2，且满足二项分布.试题解析：（）设乙班学生数为，则由分成抽样可知，解得，即乙班学生数为60，由测试数据可知、四名学生为优秀生，故乙班优秀生的数量大约为40.（）至少有两名为优秀生包含两种情况：有2名优秀生，1名非优秀生和3名都是优秀生，所以所求概率.（）从乙班抽出的6名学生中任取1名是优秀生的概率是.由题意可知的取值可以为0,1,2，且满足二项分布，所以，所以的分布列为故数学期望为.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.20. 已知椭圆：（）过点，、分别为其左、右焦点，为坐标原点，点为椭圆上一点，轴，且的面积为.（）求椭圆的离心率和方程；（）设、是椭圆上两动点，若直线的斜率为，求面积的最大值.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）由的面积为，得，结合求即可；（）设直线的方程为，与联立，到直线的距离为，结合韦达定理得，用均值不等式求最值即可.试题解析：（）因为椭圆：（）过点，所以，由轴，且的面积为，得，所以，即离心率.因为，所以，由解得（舍负），故椭圆的方程为.（）设直线的方程为，与联立，消去，整理得，由 ，得，故 ，易知点到直线的距离为，则的面积 ，当且仅当，即时取“”，经检验，满足要求，故面积的最大值为.21. 已知函数，曲线在（是自然对数的底数）处的切线与圆在点处的切线平行.（）证明：；（）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（）见解析；（）.【解析】试题分析：（）易知圆在点处的切线方程为，知在处的导数为2，得，求导得最值最小值为，即可证得；（）不等式 在上恒成立，即 在上恒成立. 设 ，求最值即可.试题解析：（）证明：，易知圆在点处的切线方程为，由题意知，即，解得，令，得，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增.因此，在处取得极小值，也为最小值，最小值为，又，故.（）不等式 在上恒成立，即 在上恒成立.设 ，则 ，当时，在上恒成立，在上是减函数，又，故当时，总有，符合题意；当时，令，解得或，易知在上是减函数，在上是增函数，又，故当时，总有，不符合题意；当时，在上恒成立，在上是减函数，又，故当时，总有，符合题意.综上所述，实数的取值范围是.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程是（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，曲线的极坐标方程是.（）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（）求直线被曲线的截得的弦长.【答案】（）直线的普通方程是；曲线的直角坐标方程为；（）.【解析】试题分析：（）消去参数，得直线的普通方程，利用，即可得曲线的直角坐标方程；（）直线与抛物线联立得，利用韦达定理求解即可.试题解析：（）由（为参数），得直线的普通方程是，由，得，即，所以，故曲线的直角坐标方程为.（）易知抛物线的焦点是，且直线过抛物线的焦点，设直线与曲线交于点、，由得，所以，所以 ，即直线被曲线截得的弦长为.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数，.（）求不等式的解集；（）如果恒成立，求的取值范围.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（）分段讨论去绝对值求解即可；（）恒成立，只需,利用三角不等式求的最小值即可.试题解析：解：（），即 ，当时，原不等式等价于 ，即，解得，；当时，原不等式等价于 ，即，解得，；当时，原不等式等价于 ，即，解得，得.综上可知不等式的解集是.（）因为 ，且恒成立，所以，即，所以，所以的取值范围是.