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2019-2020学年高一数学下学期教学段考试题(含解析)一选择题(本题有12小题,每小题5分,共60分。)1. 三边满足,则为( )A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】由题意可得:a2+b2+c2abbcac=0,2a2+2b2+2c22ab2bc2ac=0,a22ab+b2+b22bc+c2+a22ac+c2=0,即(ab)2+(bc)2+(ca)2=0,ab=0,bc=0,ca=0,a=b=c,ABC为等边三角形。本题选择A选项.点睛:解决判断三角形的形状问题,一般将条件化为只含角的三角函数的关系式,然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式;或将条件化为只含有边的关系式,然后利用常见的化简变形得出三边的关系另外,在变形过程中要注意A,B,C的范围对三角函数值的影响2. ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinB+sinA(sinCcosC)=0,a=2,c= ,则C=()A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析:根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解:sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,sinB+sinA(sinCcosC)=0,sinAcosC+cosAsinC+sinAsinCsinAcosC=0,cosAsinC+sinAsinC=0,sinC0,cosA=sinA,tanA=1,A,A= ,由正弦定理可得,a=2,c=,sinC= ,ac,C=,故选:B点睛:本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式,属于难题.在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.3. 中,若,则的面积为( )A. B. C. 1 D. 【答案】B【解析】由三角形面积公式可得:,故选B.4. 数列的一个通项公式为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析:根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列,我们可以用(1)n+1来控制各项的符号,再由各项的分母为一等比数列,分子2n+1,由此可得数列的通项公式详解:由已知中数列可得数列各项的分母为一等比数列2n,分子2n+1,又数列所有的奇数项为正,偶数项为负故可用(1)n+1来控制各项的符号,故数列的一个通项公式为an=(1)n+1故选:D点睛:本题考查等差数列的通项公式,是基础的计算题,对于等比等差数列的 小题,常用到的方法,其一是化为基本量即首项和公比或者公差,其二是观察各项间的脚码关系,即利用数列的基本性质,或者通过发现规律直接找到通项.5. 已知锐角的外接圆半径为,且,则 ( )A. B. C. 2 D. 5【答案】B【解析】因为 ,因为A为锐角,所以 ,所以 本题选择B选项.6. 已知等差数列的前项和为,且, ,则( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】等差数列an的前n项和为Sn,且a2=2,S4=9,解得,.本题选择B选项.7. 在等差数列an中,3(a2a6)2(a5a10a15)24,则此数列前13项之和为( )A. 26 B. 13 C. 52 D. 156【答案】A【解析】在等差数中,解得,此数列前13项之和为:,故选A.8. 已知数列是公比为2的等比数列,且满足,则的值为 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析:由题知:因为考点:等比数列9. 等比数列的前项和为,若, ,则( )A. 9 B. 16 C. 18 D. 21【答案】C【解析】由题意可得:,解得:,则:.本题选择C选项.10. 若,则一定有( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析:因,故,故应选C.考点:不等式的性质及运用.11. 区域构成的几何图形的面积是( )A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D【解析】试题分析:画出约束条件对应的可行域,代入三角形面积公式,可得答案详解:约束条件对应的可行域,如下图所示: 这是一个腰长为1的等腰直角三角形,故面积S=11=,故选:D点睛:利用线性规划求最值的步骤:(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形常见的类型有截距型(型)、斜率型(型)和距离型(型)(3)确定最优解:根据目标函数的类型,并结合可行域确定最优解(4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.12. 一货轮航行至处,测得灯塔在货轮的北偏西,与灯塔相距80海里,随后货轮沿北偏东的方向航行了50海里到达处,则此时货轮与灯塔之间的距离为( )海里A. 70 B. C. D. 【答案】A【解析】由题意结合余弦定理可得货轮与灯塔之间的距离为:.本题选择A选项.二、填空题(本题有4小题,每小题5分,共20分。)13. 在 中,角 A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 ,则 _.【答案】【解析】试题分析:由三角形的三边a,b及c,利用余弦定理表示出cosB,把已知的等式变形后代入即可求出cosB的值,根据B的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数详解:由已知可得b2=a2+c2+ac,得到a2+c2b2=-ac,所以根据余弦定理得:cosB=,B(0,),则B=故答案为:点睛:本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式,属于难题.在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.14. 在 中,角 A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 ,若 ,则 的值为_ 【答案】故答案为:。15. 在数列中,则的值为_.【答案】397【解析】试题分析:由等差数列的定义,判断出是等差数列,利用等差数列的通项公式求出通项,求出a100详解:an+1an=4数列an是以a1=1为首项,以4为公差的等差数列an=1+(n1)4=4n3a100=4003=397故答案为397点睛:注意在利用等差数列的通项公式前,先判断出数列是等差数列,对于等比等差数列的 小题,常用到的方法,其一是化为基本量即首项和公比或者公差,其二是观察各项间的脚码关系,即利用数列的基本性质.16. 在等比数列中, 若是方程的两根,则=_.【答案】【解析】是方程的两根,所以,在等比数列中,=故答案为点睛:本题是一元二次方程中韦达定理及等比数列中通项的性质的考查,在等比数列中,若 则.三、解答题(本题有6小题,共70分。)17. 解关于的不等式: .【答案】见解析【解析】试题分析:讨论a=0、a0和a0时,分别求出对应不等式的解集即可详解:不等式ax2+(2a)x20化为(ax+2)(x1)0,当a=0时,不等式化为x10,解得x1;当a0时,不等式化为(x+)(x1)0,且1,解不等式得x或x1;当a0时,不等式化为(x+)(x1)0,若a2,则1,解不等式得x1;若a=2,则=1,不等式化为(x1)20,解得x;若2a0,则1,解不等式得1x;综上,a=0时不等式的解集为x|x1;a0时不等式的解集为x|x或x1;a2时,不等式的解集为x|x1;a=2时,不等式的解集为;2a0时,不等式的解集为x|1x点睛:本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题,是中档题,对于含参的二次不等式问题,先判断二次项系数是否含参,接着讨论参数等于0,不等于0,再看式子能否因式分解,若能够因式分解则进行分解,再比较两根大小,结合图像得到不等式的解集.18. 如图,在 中,角 A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 .(1)求角 A 的大小;(2)若点 D 在边 AC 上,且 BD 是 ABC 的平分线,AB=2,BC=4 ,求 AD 的长.【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(1)利用正弦定理将边化角,根据三角恒等变换即可得出,从而得出的大小;(2)利用余弦定理求出,根据是的平分线,可得,故而可求得结果.试题解析:(1)在中,,由正弦定理得,.(2)在中,由余弦定理得,即,解得,或(负值,舍去)是的平分线,,.19. 已知等差数列满足,求等差数列的通项公式;求数列的前项和,及使得取最大值时的值.【答案】(1)(2),最大值25【解析】试题分析:(1)由题意,可得公差d,带入可得通项公式(2)利用等差数列的求和公式,得前n项和,n=5时,Sn最大。试题解析:(1)设等差数列的公差为,解得,通项公式(2)由(1)得前n项和,当n=5时,取得最大值25.考点:数列的通项与求和。20. 已知公差不为0的等差数列的前项和为, ,且成等比数列。(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和。【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(1)由已知条件,利用等差数列的前n项和公式和通项公式及等比数列的性质列出方程组,求出等差数列的首项和公差,由此能求出数列an的通项公式;(2)由题意推导出bn22n+1+1,由此利用分组求和法能求出数列bn的前n项和详解:()设等差数列的公差为.因为,所以. 因为成等比数列,所以. 由,可得: . 所以. ()由题意,设数列的前项和为,,,所以数列为以为首项,以为公比的等比数列 所以点睛:这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法;数列通项的求法中有常见的已知和的关系,求表达式,一般是写出做差得通项,但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等.21. 某厂生产和两种产品,按计划每天生产各不得少于10吨,已知生产产品吨需要用煤9吨,电4度,劳动力3个(按工作日计算).生产产品1吨需要用煤4吨,电5度,劳动力10个,如果产品每吨价值7万元, 产品每吨价值12万元,而且每天用煤不超过300吨,用电不超过200度,劳动力最多只有300个,每天应安排生产两种产品各多少才是合理的?【答案】当每天生产产品20,产品,创造的价值最大.【解析】试题分析:设每天生产产品吨和产品吨,根据用煤量、用电量、劳动力的限制列出关于, 的约束条件,画出可行域,平移目标函数,即可找到最优解,代入目标函数即可得结果.试题解析:设每天生产产品吨和产品吨,则创造的价值为(万元),由已知列出的约束条件为,问题就成为在此二元一次不等式组限制的范围(区域)内寻找,使目标函数取最大值的问题,画出可行域如图.,当直线经过直线与的交点时,最大,解方程组得,点坐标为,当时,取最大值.答:每天生产产品20吨和产品吨是合理的.22. 如图,江的两岸可近似地看出两条平行的直线,江岸的一侧有, 两个蔬菜基地,江岸的另一侧点处有一个超市.已知、中任意两点间的距离为千米,超市欲在之间建一个运输中转站, , 两处的蔬菜运抵处后,再统一经过货轮运抵处,由于, 两处蔬菜的差异,这两处的运输费用也不同.如果从处出发的运输费为每千米元.从处出发的运输费为每千米元,货轮的运输费为每千米元.(1)设,试将运输总费用(单位:元)表示为的函数,并写出自变量的取值范围;(2)问中转站建在何处时,运输总费用最小?并求出最小值.【答案】(1), .(2)【解析】试题分析:(1)由题意结合正弦定理可得,.(2)结合(1)的函数解析式求导有,利用导函数研究函数的性质可得中转站建在处千米处时,运输总费用最小的为元.试题解析:(1)在中,由正弦定理知,则,则,.所以.即,.(2),令,当时,;当时,所以当时,取最小值,此时,.答:中转站建在处千米处时,运输总费用最小的为元.点睛:解函数应用题的一般程序:第一步:审题弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;第二步:建模将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型;第三步:求模求解数学模型,得到数学结论;第四步:还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义;第五步:反思回顾对于数学模型得到的数学结果,必须验证这个数学解对实际问题的合理性
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