2018-2019学年高二数学上学期期中试题 理(含解析).doc

2018-2019学年高二数学上学期期中试题 理(含解析)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，下列说法正确的是 （ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据不等式性质得D成立，举例说明A,B,C错误.【详解】因为21,-1-2,2(-1)=1(-2),所以A错；因为21 ,202=102,所以B错；因为-2-1 ,所以C错；由不等式性质得若，则，所以D对，选D.【点睛】本题考查不等式性质，考查分析判断能力.2.已知集合，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求集合A,B，再根据交集定义求结果.【详解】因为，所以= ，选B.【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3.在中，则（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可求得sinB=，结合范围，即可解得B的值【详解】由正弦定理可得：sinB=，,解得：B=或故选：C【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基本知识的考查4.在各项都为正数的数列中，首项，且点 在直线上，则数列的前项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】代入点，化简可得数列an为首项为2，公比为3的等比数列，由等比数列的求和公式，化简计算即可得到所求和【详解】在正数数列an中，a1=2，且点在直线x9y=0上，可得an2=9an12，即为an=3an1，可得数列an为首项为2，公比为3的等比数列，则an的前n项和Sn等于=3n1故选：B【点睛】本题考查数列与解析几何的综合运用，是一道好题解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列的前n项和公式和通项公式的灵活运用5.我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部尺，重斤，尾部尺，重斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤”A. 6斤 B. 7斤 C. 斤 D. 斤【答案】D【解析】【分析】将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可.【详解】原问题等价于等差数列中，已知，求的值.由等差数列的性质可知：，则，即中间三尺共重斤.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查等差数列的实际应用，等差数列的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.等差数列中，且，为其前项和，则（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【解析】【分析】由题意可得：由等差数列的性质可得 即可得到答案.【详解】由题意可得：因为a100，a110，且a11|a10|，所以由等差数列的性质可得：故选B【点睛】本题主要考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，掌握等差数列的前n项和公式7.不等式 对于一切恒成立，那么的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】当时不等式即为，对一切恒成立，当时，利用二次函数的性质列出满足的条件，结合两种情况，即可得到答案【详解】当时不等式即为，对一切恒成立，当时，则须，解得，所以，综上所述，实数的取值范围是，故选B【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，其中解答中熟练应用一元二次函数的图象与性质，注意对二次项系数的分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题8.已知数列的前项和，则数列的前项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据和项与通项关系求， 根据等比数列定义判断为等比数列，最后根据等比数列求和公式得结果.【详解】当时;当时;所以，因此数列为等比数列，前项和为，选C.【点睛】给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.9.设的内角所对的边分别为,若，则的形状为（ ）A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形 D. 正三角形【答案】B【解析】【分析】先利用三角恒等变换化简2sin A cos Bsin C得A=B.【详解】由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因为AB，因此.【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.15.函数的最小值是_.【答案】5【解析】【分析】利用导数确定函数单调性，再见单调性确定函数最小值.【详解】因为当时，所以当时最小值为5.【点睛】本题考查利用函数单调性求最值，考查利用导数求函数单调性，考查基本求解能力.16.已知数列为正项的递增等比数列， ，记数列的前项和为，则使不等式成立的最大正整数的值为_.【答案】6【解析】【分析】先根据条件求出首项与公比，再根据等比数列求和公式求，化简不等式解得，最后确定满足条件的最大正整数的值.【详解】由数列为正项的递增等比数列，得公比0由 得,所以因此满足条件的最大正整数的值为6.【点睛】本题考查等比数列通项公式、求和公式以及解指数不等式，考查基本求解能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）已知，且，求的最小值；（2）已知 ,，求证：.【答案】（1）9 ； （2）8 .【解析】【分析】（1）利用1的代换化简，再根据基本不等式求最值，（2）利用1的代换化简 ，再根据基本不等式证不等式.【详解】（1）由基本不等式可得，当且仅当，等号成立，因此的最小值为9，（2）因为，所以 ，因此当且仅当等号成立，当且仅当等号成立，当且仅当等号成立，所以，当且仅当等号成立，因为，所以，所以.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.18.如图，在中，是边上一点，且.（1）求的长；（2）若，求的长及的面积.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）在中由正弦定理可求得AD的长；（2）在中，由余弦定理可得，利用可得所求面积。试题解析：（1）在中，由正弦定理得，即（2），在中 ，由余弦定理得.综上，的面积为。19.设函数（1）若不等式的解集为，求实数、的值；（2）解不等式【答案】（1）（2）时解集为，时解集为，时解集为，时解集为，时解集为【解析】试题分析：（1）根据一元二次不等式的解集，利用根与系数的关系，即可求出实数a、m的值；（2）不等式化为（ax-1）（x-1）0，讨论a=0和a0、a0时，求出不等式f（x）0的解集即可试题解析：，不等式等价于，依题意知不等式的解集为，且1和2为方程的两根，解得，实数、的值分别为、，不等式可化为，（）当时，不等式等价于，解得，故原不等式的解集为， 7分（）当时，不等式等价于，当时，不等式的解集为，即原不等式的解集为，当时，不等式的解集为，即原不等式的解集为，当时，不等式的解集为，即原不等式的解集为，（）当时，不等式等价于，不等式的解集为，即原不等式的解集为，综上所述，当时不等式的的解集为，当时不等式的的解集为，当时不等式的的解集为，当时不等式的的解集为，当时不等式的的解集为。考点：一元二次不等式的解法；二次函数的性质20.设的内角的对边分别为,且.（1）求角的大小;（2）若,求的周长.【答案】（1） ； （2） .【解析】【分析】（1）由正弦定理将条件化为角的关系，化简得，即得结果，（2）由正弦定理得 ，再根据余弦定理解得，最后求周长.【详解】（1）由正弦定理得在中，即； （2） ，由正弦定理得 又，解得（负根舍去）， 的周长【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.21.某企业今年初用72万元购买一套新设备用于生产，该设备第一年需各种费用12万元，从第二年起，每年所需费用均比上一年增加4万元，该设备每年的总收入为50万元，设生产x年的盈利总额为y万元.写出y与x的关系式；经过几年生产，盈利总额达到最大值？最大值为多少？经过几年生产，年平均盈利达到最大值？最大值为多少？【答案】（1）；（2）经过10年生产，盈利总额达到最大值，最大值为128万元.经过6年生产，年平均盈利达到最大值，最大值为16万元.【解析】【分析】（1）根据等差数列求和公式得x年所需总费用，再利用收入减去成本得盈利总额，即得结果，（2）根据二次函数性质求最值，根据基本不等式求最值.【详解】（1）x年所需总费用为，所以盈利总额；（2）因为对称轴为，所以当时盈利总额达到最大值，为128万元；因为，当且仅当时取等号,所以经过6年生产，年平均盈利达到最大值，最大值为16万元.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.22.已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且，数列、满足，.（1）求 及；（2）数列 的前n项和为 ，证明 .【答案】（1）， （2）见解析【解析】【分析】（1）先根据条件求得公比，再代入等比数列通项公式与求和公式求得 及；（2）根据条件得，利用裂项相消法求得，即证得不等式【详解】（1）因为，所以（负舍），因此；（2），(),因此=()+()()+.+()+()=()(.【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.