图象法与方程的解的问题WORD版

图象法与方程的实数解问题浙江省东阳市顺风高级中学 刘光红 方程的实数解（函数的零点）问题在历年来的高考中都占有重要的地位，并且相对来说有一定的难度，而解决这类问题常用的方法通常是图像法，下面通过几例来说明图象法在方程的实数解的问题中的应用。一方程的实数解的个数问题例 1若函数 ，则方程 的实数解的个数1|,(,2)()()2xff()1=0xf为 。解析：所求方程 变形为()1=0xf，所以方程的实数解的个数即为1()=fx函数 与函数 的交点个数，()yf()gx很显然,分段函数 在 时，f,2)图像如图 1 所示，当 时，图像(x每向右移两个单位，函数值变为原来的 ，容易知道 ，而121(5)()45fg，所以后面没有交点，右边共有 5 个交点，左边有一个交点，一共(7)()87fg有 6 个交点，所以共有 6 个实根。 例 2若定义在 的函数 满足 ，当 时，0,+)()fx(2)()ffx0,2，则函数 的图像关于原点对称的点共有 对。()sinfx0,8()2)4gx解析：由函数 在 上()fx0,+)满足 ，即函数每向(2)fx右移两个单位，函数值变为原来的倍，而当 时，解析式为0,（，可以作出 在 区间上是函数图像，如图 2 所示，当()sin2fx()gx(0,8时， 图像为一条直线段，所以延长该线段与右侧的交点的个数就是存在8,()x图 1图 2的对称点的个数，很显然共有 7 个对称点。二方程的实数解的和与积范围问题例 3已知 ，则 的最小值为 1234,x0|(3)sin1xx1234+x。解析：根据题意可知，所求的即为方程的四个最小的正解之和，因为方程变形为 ，(3)sin1x1sin3x可以做出函数 和 的图yy像，为了容易计算，可以换元，令，所以 ，又 ，又因为 ，作出函数3xt3xt03xt， sin=i(t+3)sinxt和函数 的图像，由图像可知，大于 的最小解 之和siny1yt 124,，12340tt1234+x1234tt例 4.已知函数 ，则方程 在区间 上所(,0()xeffx()0fx,5)有实数解的和为 。解析：先作出函数 的()1(,0xfe图像，由迭代式 可知，当fx时，图像每向右移一个单位，图像向上(0,)x平移一个单位，如图 3 所示，方程 的()0fx解，即为函数 与函数 的交点的横坐()yfxy标，所以在区间 上，方程 的实数解为 5 个整数，它们的和为0,5()fx1+2+3+4=10. 例 5.已知函数 ，若方程 ， （ ）有四2|log|(0,4()13)fxx()0fxttR个实数解，则这四个实数解的积的范围为 。解析：函数 的图像如图 5 所示，要使()fx方程 有四个实数解，则实数 的范围()0fxtt为 ，而易知函数 与函,22()|log|,(04fx图 4图 5图 3数 的两个交点的横坐标满足 ，若另两个实数解为 ，由韦达定理知，方yt12x34,x程 的两个实数解满足 ，又 ，所以 。2134xt34t(02)1234(,)x例 6已知函数 ，若存在实数 ，满足2|log|,(0,)()sin14xf1234,x，且 ，则 的取值范围为 1234xx1234()()fxffxf3412()x。解析：根据函数的图像可知，当 时，12()ff， ，即212loglx21log0x，又 ，而函数34()ff在 区间上的对称轴方程为()fx,0， ，且 ，63412x3x，48，而3343412()()1xxx34x，且满足 ,所以 ，2234333()(6 324x34(20,)x即 的取值范围为412)x 9,1)三、根据方程的实数解个数求有关参数范围问题例 7已知函数 ，方程 在 上24,1() ()()5,kxxf kR ()0fx(1,5)有三个不同的实数解 ， （1）求实数 的取值范围。 （2）求 的取值范123, 2213+围。解析：当 时， 是一条过x(=4fxk）点（1,4）的射线，要求在 上与 轴有交点，1,)而当 时， 在区间1x2()(5fxkx上有与 轴两个交点，如图 7 所示，有不等(,5)式组，图 6图 7解得：2()4(5)01(5)0,(1)kff45k若令 ，则由韦达定理知 ， ，（ ）4kx23x23=5xk45k所以 2213+2133=(+)x4()()()k24()()3令 ，所以 。(,)5tk21768,5x例 8.已知以 为周期的函数 ，其中 ，若4T21(1,()|3mxf0m方程 恰有 5 个实数解，则 的取值范围为 。3()fx解析：当 时，函数可以化为方程 ，它的图像为半个椭(1,21(0)yxm圆，再作出当 时函数的图像，由于函数的周期为 ，则函数 的图像如,3x 4T()fx图 8 所示，方程 恰有 5 个实数()f解，即直线 的图像与第二个半椭3y圆 有两个交点，2(4)1(0)xm而与第三个半椭圆无公共点。将 代入方程 ，得2(8)1(0)yx3xy2(4)1(0)yxm，为了方便运算，可令 ，由 ，知2229735mxm29tt，从而可以得到 ，同理将 代入方程 ，再根据15t13xy2(8)1(0)yx，得到 。07所以 时，方程 有 5 个实数解。15(,)3m3()fx把握函数的图像特征至关重要，利用图像法解决方程的实数解的问题，特别是解决分段函数所对应方程的实数解问题是非常有效快捷的。因为它不但直观，容易接受，还可以从图像中直接读出函数一些性质，比如对称性、单调性、奇偶性和周期性等等，进而使问题变得清晰，容易上手。数形结合思想在解决问题时常常具有化繁为简、化难为易之作用，所以，在学习过程中，要加强看图、识图、绘图的能力，此乃大势所图 8趋。