高考数学140分必读之把关题解析30讲8WORD版

.高考数学 140 分必读之把关题解析 30 讲（8）9、对于在区间m，n上有意义的两个函数 f (x)与 g (x)，如果对任意 xm ，n均有| f (x) g (x) |1，则称 f (x)与 g (x)在 m，n 上是接近的，否则称 f (x)与 g (x)在 m，n上是非接近的，现有两个函数 f 1(x) = loga(x 3a)与 f 2 (x) = loga (a 0，a1)，给定区间a + 2，a 1+ 3（1）若 f 1(x)与 f 2 (x)在给定区间 a + 2，a + 3上都有意义，求 a 的取值范围；（2）讨论 f 1(x)与 f 2 (x)在给定区间 a + 2，a + 3上是否是接近的？解：（1）要使 f 1 (x)与 f 2 (x)有意义，则有aax303且要使 f 1 (x)与 f 2 (x)在给定区间 a + 2，a + 3上有意义，等价于真数的最小值大于 0即 1032a且（2）f 1 (x)与 f 2 (x)在给定区间 a + 2，a + 3上是接近的| f 1 (x) f 2 (x)|11aalog3log|loga(x 3a)(x a)|1a(x 2a) 2 a2对于任意 xa + 2，a + 3恒成立设 h(x) = (x 2a)2 a2，xa + 2，a + 3且其对称轴 x = 2a 2 在区间 a + 2，a + 3的左边)3( 1)( 1maxinh0 192654 9 4a1257 1257 aa或9 0 .当 时12579 0af 1 (x)与 f 2 (x)在给定区间a + 2，a + 3上是接近的当 a 1 时，f 1 (x)与 f 2 (x)在给定区间 a + 2，a + 3上是非接近的10、 ， ， ， ， ， 分别表示实数 ， ，min1s2nsma1s2ns1s2中的最小者和最大者（1）作出函数 32 1（ R）的图像；)(xf x（2）在求函数 32 1（ R）的最小值时，有如下结论： ， 4请说明此结论成立的理由；minff)(f（3）仿照（2）中的结论，讨论当 ， ， 为实数时，a2na函数 R， )(x|1xa|2x|nx(1x2 R 的最值n解：（1）图略；（2）当 （，3）时， 是减函数，)(f当 3，1）时， 是减函数，xx当 1，）时， 是增函数， ， 4min)(f)3(f1(f（3）当 0 时， ， ， ；a2namax)(1xf)2f)(nxf当 0 时， ， ， ；1 in当 0 时， ， ，)(ffnf ， ax)(1)11、已知函数 y=f(x)满足 f(a-tan)=cot-1， （其中，a、R 均为常数）（1）求函数 y=f(x)的解析式；（2）利用函数 y=f(x)构造一个数列x n，方法如下：对于给定的定义域中的 x1，令 x2= f(x1)，x 3= f(x2)，x n= f(xn-1)，在上述构造过程中，如果 xi(i=1,2,3,)在定义域中，构造数列的过程继续下去；如果xi 不在定义域中，则构造数列的过程停止. 如果可以用上述方法构造出一个常数列x n，求 a 的取值范围； 如果取定义域中的任一值作为 x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列x n，求 a 实数的值.解：（1）令 则 tn,co1.xyta,co1.y，并整理，得 y= ，x.y=f (x) = ， （xa）. 4 分x1（2）根据题意，只需当 xa 时，方程 f(x) =x 有解，亦即方程 x2+(1-a)x+1-a=0 有不等于的解.将 x=a 代入方程左边，得左边为 1，故方程不可能有解 x=a.由 =(1-a) 2-4(1-a)0，得 a-3 或 a1，即实数 a 的取值范围是 . 9 分(,)根据题意， =a 在 R 中无解，x1亦即当 xa 时，方程(1+a)x= a2+a-1 无实数解.由于 x=a 不是方程(1+a)x=a 2+a-1 的解，所以对于任意 xR，方程(1+a)x=a 2+a-1 无实数解， a= -1 即为所求 a 的值. 14 分12、 （）已知函数： 求函数 的最小1()2()(),0,)nnfxnN ()fx值;（）证明: ；()(0,)2nnababN（）定理:若 均为正数,则有 成13,k 123123()nnn nk kaaa 立(其中 请你构造一个函数 ，证明：2,)kN为 常 数 ()gx当 均为正数时， 1231,kaa 1231231()nnn nk kaaa 解：（）令 得 2 分()2()0nnfxx()nnxxx当 时， 故 在 上递减0aaff0,a当 故 在 上递增所以，当 时， 的最小值为 .4,()xf()fx,x()fx()0fa分（）由 ，有 即0b()0fa1()2()(nnnfbab故 5 分,2nnaN（）证明:要证： 1231231()nn nk k 只要证： 1231231()nnnk kkaaa .设 7 分()gx123123)()()nnn nkaxax 则 12 (nkx令 得 .8 分()0gx12k当 时，12ka 1 12()()n nkgxxax 112 2() )0nk knxa 故 上递减，类似地可证 递增12)0,kagx在 12(,)kagx在所以 的最小值为 10 分()kgx当 时 ， 12)ka而 112 12 122 12()( )( )nnn nk k kk ka aga = 1212)( nn nkk kk a = =1( )nnkknaa 1212()()nnnkkaa 由定理知: 故1212)(0n nkkk a 10g110,)()kkaga 故 1231231( )()nnn nk kaa 即: .14 分1231231nk k 13、已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn.() 若 Sm， Sm2 ，S m1 成等差数列，证明 am，a m2 ， am1 成等差数列；() 写出()的逆命题，判断它的真伪，并给出证明.证：() S m1 S ma m1 ，S m2 S ma m1 a m2 由已知 2Sm2 S mS m1 ， 2(Sma m1 a m2 )S m(S ma m1 )，a m2 am1 ，即数列a n的公比 q .12 12a m1 am，a m2 am，2a m2 a ma m1 ，a m，a m2 ，a m1 成等差数列.12 14() () 的逆命题是：若 am，a m2 ，a m1 成等差数列，则 Sm，S m2 ，S m1 成等差数列.设数列a n的公比为 q，a m1 a mq，a m2 a mq2由题设，2a m2 a ma m1 ，即 2amq2a ma mq，即 2q2 q10，q1 或 q .12当 q1 时，A0，S m， Sm2 ， Sm1 不成等差数列 .逆命题为假.14、已知二次函数 同时满足：不等式 的解集有且只Rxaxf2 0xf有一个元素；在定义域内存在 ，使得不等式 成立。21021设数列 的前 项和 ，nanfS（1）求数列 的通项公式；（2）试构造一个数列 ， （写出 的一个通项公式）满足：对任意的正整数 都有nbn n，且 ，并说明理由；nab2limn（3）设各项均不为零的数列 中，所有满足 的正整数 的个数称为这个数nc01ici列 的变号数。令 （ 为正整数） ，求数列 的变号数。ncnna1n解：（1） 的解集有且只有一个元素，0xf ，442a或当 时，函数 在 上递增，故不存在 ，使得不等式2xf,0210x成立。21xff当 时，函数 在 上递减，故存在 ，使得不4a42xf2, 21x等式 成立。21xf综上，得 ， ， ，2xf 42nSn （2）要使 ，可构造数列 ，对任意的正整数 都有 ，2limnbaknbnnab当 时， 恒成立，即 恒成立，即5k5，35k又 ， ， ，等等。0n*N23nb.（3）解法一：由题设 ，2,541,3ncn 时， ，n0325831 nn 时，数列 递增，3nc ，由 ，04a05241n可知 ，即 时，有且只有 个变号数；531又 ，即 ，,21cc 0,32cc此处变号数有 个。综上得 数列 共有 个变号数，即变号数为 。n3解法二：由题设 ，2,541,ncn时，令2n；42973075901 nnnc 或或又 ， 时也有 。,32c1021c综上得 数列 共有 个变号数，即变号数为 。n 3