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第06节 对数与对数函数【考纲解读】考 点考纲内容5年统计分析预测对数运算1. 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.2理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.3.了解对数函数的变化特征.2014浙江文8；理7；2015浙江文9；理10，12；2016浙江文,5；理12；2018浙江10，22.1.对数运算；2.对数函数的图象和性质及其应用；3.除单独考查外，在大题中考查对数运算、对数函数的图象和性质的应用是热点.4.备考重点：（1）对数运算（2）对数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；（3）图象过定点；（4）底数分类讨论问题.对数函数的图象和性质【知识清单】1. 对数的概念如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.对点练习设2a5bm，且2，则m等于()A. B.10 C.20 D.100【答案】A【解析】由已知，得，则.解得.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：alogaNN；logaabb(a0，且a1)(2)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logamMnlogaM(m，nR，且m0).(3)对数的重要公式换底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1)；logab，推广logablogbclogcdlogad.3.对数函数及其性质(1)概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，).(2)对数函数的图象与性质a10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数【重点难点突破】考点1 对数的化简、求值【1-1】【2018年新课标I卷文】已知函数，若，则_【答案】-7【解析】分析：首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案.【1-2】【2018届安徽省宿州市第三次检测】已知，则（ ）A. -2 B. 2 C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意首先求得m,n的关系，然后结合对数的运算法则整理计算即可求得最终结果.本题选择C选项.【1-3】若则_,用表示为_.【答案】 12 ，.【解析】loga2=m,loga3=n,am=2,an=3，a2m+n=(am)2an=223=12，.【领悟技法】1.对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此，经常会用到换底公式及其推论；在对含有字母的对数式化简时，必须保证恒等变形2. (a0且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意灵活运用3.利用对数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化4.有限制条件的对数化简、求值问题，往往要化简已知和所求，利用“代入法”.【触类旁通】【变式一】【2017北京】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：lg30.48）（A）1033 （B）1053（C）1073 （D）1093【答案】D【变式二】【2018届浙江省宁波市高三上期末】已知，则_【答案】2【解析】 ， ， ，故答案为.【变式三】【2017届浙江省丽水市高三下学期测试】计算： _； 三个数最大的是_【答案】 【解析】；,因此最大的数是.考点2 对数函数的图象、性质及其应用【2-1】【2018届湖南省张家界市高三第三次模】在同一直角坐标系中，函数， （，且）的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意，当，函数为单调递减函数，若时，函数与的零点，且函数在上为单调递减函数；若时，函数与的零点，且函数在上为单调递增函数.综上得，正确答案为A.【2-2】【2018届河南省南阳市第一中学第十四次考】函数，则使得成立的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先判断出偶函数在上单调递减，然后根据对称性将函数不等式化为绝对值不等式求解详解：由题意知函数的定义域为，当时，在上单调递减，是偶函数，在上单调递增，两边平方后化简得且，解得或，故使不等式成立的取值范围是故选B【2-3】【2018年天津卷理】已知，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合对数函数的性质可知：，据此可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确【2-4】已知函数若关于的方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是 ( )A B C D【答案】D【解析】在时，是增函数，值域为，在时，是减函数，值域是，因此方程有两个不等实根，则有.【2-5】【2017课标1】已知函数，则A在（0，2）单调递增B在（0，2）单调递减Cy=的图像关于直线x=1对称 Dy=的图像关于点（1，0）对称【答案】C【领悟技法】1. 的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线的右侧，时，底大图低（靠近轴）；时，底大图高（靠近轴）（2）左右比较（比较图象与的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.2. 涉及对数函数的定义域问题，要考虑底数大于零且不为1，真数大于零3.涉及对数函数单调性问题，要注意底数的不同取值情况4. 比较两个对数值的大小，若同底数，考虑应用函数的单调性；若底数不同，首先化同底数.5.对数函数的定义域、值域问题，要考虑底数大于零且不为1，真数大于零6.数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想的应用，是本节的一突出特点【触类旁通】【变式一】【2018届四川省南充市三诊】在同一坐标系中，函数与的图象都正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用指数函数的单调性和对数函数与指数函数的对称性可得解.详解：因为，.所以函数单调递减，排除B，D.与的图象关于轴对称.排除A.故选A.【变式二】【2017天津，理6】已知奇函数在R上是增函数，.若，则a，b，c的大小关系为（A）（B）（C）（D）【答案】 【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，从而是上的偶函数，且在上是增函数，又，则，所以即，所以，故选C【变式三】【2017河南（中原名校）模拟】若函数的两个零点是，则（ ）A. B. C. D. 以上都不对【答案】C【解析】【变式四】【2017课标II】函数 的单调递增区间是A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数有意义，则： ，解得： 或 ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为 .故选D.【变式五】【2018届福建省泉州市第二次（5月）质量检查】已知偶函数在上单调递增，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据偶函数的定义，以及f（x）在（0，+）上单调递增，这样根据函数单调性定义以及幂函数、指数函数和对数函数的单调性即可判断每个选项的正误，从而选出正确选项详解：f（x）为偶函数，且在（0，+）上单调递增；Af（3e）=f（3e），且2e3e；f（2e）f（3e）；f（2e）f（3e），该选项错误；Bf（e3）=f（e3），且e2e3；f（e2）f（e3）；f（e2）f（e3），该选项错误；C.，；f（x）是偶函数，且在（0，+）上单调递增；f（x）在（，0）上单调递减；，该选项错误；D.，；，该选项正确故答案为：D【易错试题常警惕】易错典例：函数的单调递增区间为()A(3，) B(，1)C(，1)(3，) D(0，)易错分析：解答本题，易于因为忽视函数的定义域，而导致错误而函数在(0，)上是减函数，的单调递减区间为(3，)，单调递增区间为(，1)温馨提醒：(1)复合函数的单调性，遵循“同增异减”；(2)注意遵循“定义域优先”的原则.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:数形结合百般好，隔裂分家万事休。数与形反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过以形助数或以数解形即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】【2017浙江温州中学3月模拟】已知函数，则函数的零点个数的判断正确的是（ ）A. 当时，有4个零点；当时，有1个零点B. 无论为何值，均有2个零点C. 当时，有3个零点；当时，有2个零点D. 无论为何值，均有4个零点【答案】A【解析】画出函数的图像如图，结合图像可知：由题设可得若，则问题转化为存在多少个的值使得函数值，且使得。则当时，因与函数的图像的交点的纵坐标为1，即函数无零点；当时，存在唯一与函数的图像的交点的横坐标满足使得，故函数只有一个零点；当时，分别存在两个值使得与函数的图像的交点的横坐标满足题设，故函数有四个零点.应选答案A.。
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