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向量的数量积一、考点突破知识点课标要求题型说明向量的数量积1. 了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念；2. 理解平面向量数量积的含义、几何意义及坐标表示；3. 掌握坐标运算公式；4. 解决长度和角度，平行与垂直的问题填空向量的数量积是向量的运算中最重要的一种运算，尤其是垂直、平行、求模求夹角等是考试的热点二、重难点提示重点：平面向量数量积的含义及其几何意义；用向量的坐标求数量积、向量的模及两个向量的夹角，会判断两向量间的垂直关系；难点：运用数量积解决长度、夹角平行、垂直的几何问题；运用向量法与坐标法解决有关问题。一、平面向量的数量积及性质（1）两个向量的夹角：对于两个非零向量a和b，记作a，b，则AOB叫作向量a与b的夹角，其范围是0180，当0时，a与b同向；当180时，a与b反向；当90时，称向量a与b垂直，记作ab。（2）向量的数量积：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，我们把数量|a|b|cos 叫作向量a和b的数量积（或内积）记作ab，即ab|a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为0。【要点诠释】两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆。（3）向量的数量积的性质及作用设a和b是非零向量，a与b的夹角为。 ab等价于ab0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系。 当a与b同向时，ab|a|b|，当a与b反向时，ab|a|b|，即当a与b共线时，|ab|a|b|，此性质可用来证明向量共线。 aaa2|a|2或|a|，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化。 cos ，此性质可求a与b的夹角或直线的夹角，也可利用夹角取值情况建立方程或不等式用于求参数的值或范围。（4）向量的数量积的运算律已知向量a，b，c和实数。 abba； （a）ba（b）（ab）ab； （ab）cacbc。【要点诠释】平面向量的数量积不满足结合律。二、平面向量的数量积的坐标表示及长度、夹角、垂直的坐标表示（1）则。（2）长度、夹角、垂直的坐标表示向量的模：设a（x，y），则a2x2y2，即|a|。向量的夹角公式：设两个非零向量a（x1，y1），b（x2，y2），它们的夹角为，则cos 。特别地，若ab，则x1x2y1y20，反之亦成立。【要点诠释】向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来。本节主要应用有：求两点间的距离（求向量的模）；求两向量的夹角；证明两向量垂直。【规律总结】利用数量积求两向量夹角的步骤利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积。利用|a|计算出这两个向量的模。由公式cos 直接求出cos 的值。在0内，由cos 的值求角。例题1 （求向量的模）（1）已知平面向量a（2,4），b（1,2），若ca（ab）b，求|c|。（2）已知向量a，b满足|a|2，|b|3，|ab|4，求|ab|。思路分析：（1）由已知条件求出c的坐标，再根据公式|c|求解。（2）由|ab|4可求ab的值，再利用公式|a|求解。答案：（1）a（2,4），b（1,2），ab2（1）426，ca（ab）b（2,4）6（1,2）（2,4）（6,12）（26,412）（8，8），|c|8。（2）由已知，|ab|4，|ab|242，a22abb216，|a|2，|b|3，a2|a|24，b2|b|29，42ab916，即2ab3，又|ab|2a22abb243910，|ab|。技巧点拨：求向量的模的常见思路及方法：（1）求模问题一般要转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用，勿忘记开方；（2）一些常见的等式应熟记，如（ab）2a22abb2，（ab）（ab）a2b2等。例题2 （向量的夹角和垂直问题）已知a，b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角。思路分析：解答本题可由已知条件中的两组垂直关系得到两个等式，从而得到a，b之间的关系，再由cos 可求得夹角。答案：由已知得（a3b）（7a5b）0，即7a216ab15b20（a4b）（7a2b）0，即7a230ab8b20，两式相减得2abb2，abb2，代入中任一式得a2b2，设a，b的夹角为，则cos ，0180，60。【重要提示】1. 求向量a，b夹角的流程图：2. 由于|a|，|b|及ab都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及ab的相应等式中，可用方程的思想求解（或表示）未知量。3. 利用向量的坐标运算求出两向量的数量积和模的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值。利用函数思想处理最值问题，是一种常用方法，需切实掌握。对向量的夹角理解不正确致误【满分训练】已知ABC中，5，8，C60，求。【错解】如图，因为5，8，C60，所以cos 6058cos 6020。【错因分析】错解中未正确理解向量夹角的含义，题干中两向量与的起始点不相同，所以它们的夹角并非C。如图所示，其夹角应该是C的补角，即，120。【防范措施】结合图形求两个向量的数量积时，注意依据图形特点，分析两个向量的夹角是相应线段所成的角还是该角的补角。【正解】因为5，8，180C120，所以cos，58cos 12020。
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