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第1课时用空间向量解决立体几何中的平行问题学习目标1.了解空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义，并会求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题知识点一直线的方向向量与平面的法向量(1)用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线的方向向量)形式在直线l上取a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得t作用定位置点A和向量a可以确定直线的位置定点可以具体表示出l上的任意一点(2)用向量表示平面的位置通过平面上的一个定点O和两个向量a和b来确定：条件平面内两条相交直线的方向向量a，b和交点O形式对于平面上任意一点P，存在有序实数对(x，y)使得xayb通过平面上的一个定点A和法向量来确定：平面的法向量直线l，直线l的方向向量，叫做平面的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的(3)直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的非零向量a，叫做直线l的一个方向向量平面的法向量直线l，取直线l的方向向量n，叫做平面的法向量知识点二平面的法向量及其求法在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤：(1)设平面的法向量为n(x，y，z)；(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)；(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组(4)解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量知识点三用空间向量处理平行关系设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则线线平行lmabakb(kR)线面平行laa0面面平行vkv(kR).(1)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反()(2)两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直()(3)若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行()(4)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行()(5)若直线l1，l2的方向向量分别为a(1,2，2)，b(2,3,2)，则l1l2.()类型一求平面的法向量例1已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，试求出平面ABC的一个法向量考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量解设平面ABC的法向量为n(x，y，z)A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，(2,1,3)，(1，1,0)则有即解得令z1，则xy3.故平面ABC的一个法向量为n(3,3,1)反思与感悟利用方程的思想求解平面的法向量，注意一个平面的法向量不是唯一的，它有无数个，它们是共线的跟踪训练1如图所示，在四棱锥SABCD中，底面是直角梯形，ADBC，ABC90，SA底面ABCD，且SAABBC1，AD，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量解以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，则，.向量是平面SAB的一个法向量设n(x，y，z)为平面SDC的一个法向量，则即取x2，得y1，z1，故平面SDC的一个法向量为(2，1,1)类型二利用空间向量证明平行问题例2已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量证明(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1)设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1，n1，即得令z12，则y11，所以n1(0，1,2)因为n1220，所以n1.又因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)因为(2,0,0)，设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量由n2，n2，得得令z22，得y21，所以n2(0，1,2)，因为n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.反思与感悟利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题跟踪训练2如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面所成的角为45，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，PABCAD1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量解存在点E使CE平面PAB.以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设E(0，y，z)，则(0，y，z1)，(0,2，1)，y(1)2(z1)0，(0,2,0)是平面PAB的法向量，又(1，y1，z)，CE平面PAB，(1，y1，z)(0,2,0)0.y1，代入得z，E是PD的中点，存在E点，当点E为PD中点时，CE平面PAB.1已知l1的方向向量为v1(1,2,3)，l2的方向向量为v2(，4,6)，若l1l2，则等于()A1B2C3D4考点直线的方向向量与平面的法向量题点求直线的方向向量答案B解析由l1l2，得v1v2，得，故2.2已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，且a(1,0,2)，b(6,21,2)，若l1l2，则与的值可以分别是()A2，B，C3,2D2,2考点直线的方向向量与平面的法向量题点求直线的方向向量答案A解析由题意知解得或3若A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A(1,2,3) B(1,3,2) C(2,1,3) D(3,2,1)考点直线的方向向量与平面的法向量题点求直线的方向向量答案A解析因为(2,4,6)，所以与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量4若直线l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为，则m为()A4B6C8D8考点直线的方向向量与平面的法向量题点求直线的方向向量答案C解析l，平面的法向量为，(2，m,1)0，2m20，m8.5在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为_考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量答案(1,1,1)(答案不唯一)解析不妨设正方体的棱长为1，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，设平面ACD1的一个法向量a(x，y，z)，则a0, a0.因为(1,1,0)，(1,0,1)，所以所以所以不妨取x1，则a(1,1,1)(注：答案不唯一，只要与所给答案共线都对)1应用向量法证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示即用平面向量基本定理证明线面平行2证明面面平行的方法设平面的法向量为n1(a1，b1，c1)，平面的法向量为n2(a2，b2，c2)，则n1n2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR)一、选择题1若直线l的方向向量为a，平面的法向量为，则能使l的是()Aa(1,0,0)，(2,0,0)Ba(1,3,5)，(1,0,1)Ca(0,2,1)，(1,0,1)Da(1，1,3)，(0,3,1)考点直线的方向向量与平面的法向量题点求直线的方向向量答案D解析由l，故a，即a0，故选D.2已知直线l1的方向向量a(2，3,5)，直线l2的方向向量b(4，x，y)，若两直线l1l2，则x，y的值分别是()A6和10B6和10C6和10D6和10考点直线的方向向量与平面的法向量题点求直线的方向向量答案A解析由两直线l1l2，得两向量a，b平行，即，所以x，y的值分别是6和10.3直线l的方向向量s(1,1,1)，平面的一个法向量为n(2，x2x，x)，若直线l，则x的值为()A2BC.D考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量答案D解析依题意得，121(x2x)1(x)0，解得x.4已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A.B.C.D.考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量答案D解析(1,1,0)，(1,0,1)设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z)令x1，则y1，z1，n(1,1,1)，单位法向量为或.5设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，若ab0，则()AlBlClDl或l考点直线的方向向量与平面的法向量题点求直线的方向向量答案D解析当ab0时，l或l.6已知平面的法向量是(2,3，1)，平面的法向量是(4，2)，若，则的值是()AB6C6D.考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量答案B解析，的法向量与的法向量也互相平行，6.7已知平面内两向量a(1,1,1)，b(0,2，1)且cmanb(4，4,1)若c为平面的法向量，则m，n的值分别为()A1,2B1，2C1,2D1，2考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量答案A解析cmanb(4，4,1)(m，m，m)(0,2n，n)(4，4,1)(m4，m2n4，mn1)，由c为平面的法向量，得即解得二、填空题8若A，B，C是平面内三点，设平面的法向量为a(x，y，z)，则xyz_.考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量答案23(4)解析由已知得，a是平面的一个法向量，a0，a0，即解得xyzyy23(4)9已知l，且l的方向向量为m(2，8,1)，平面的法向量为n(1，y,2)，则y_.考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量答案解析l，l的方向向量m(2，8,1)与平面的法向量n(1，y,2)垂直，218y20，y.10设平面的法向量为m(1,2，2)，平面的法向量为n(2，4，k)，若，则k_.考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量答案4解析由得，解得k4.三、解答题11已知平面经过点A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，试求平面的一个法向量考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量解A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，(1，2，4)，(2，4，3)设平面的法向量是n(x，y，z)，依题意有即解得令y1，则x2，平面的一个法向量是n(2,1,0)12.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点ABAP1，AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量解因为PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，0)，E，B(1,0,0)，C(1，0)，于是，(1，0)设n(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即所以令y1，则xz.所以平面ACE的一个法向量为n(，1，)13已知空间四边形ABCD，P，Q分别是ABC和BCD的重心，求证：PQ平面ACD.考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量证明如图，连接AP并延长交BC于点E，连接ED，易知Q在线段ED上，P，Q分别是ABC和BCD的重心，()，即PQAD，又AD平面ACD，PQ平面ACD，PQ平面ACD.四、探究与拓展14已知直线l过点P(1,0，1)且平行于向量a(2,1,1)，平面过直线l与点M(1,2,3)，则平面的法向量不可能是()A(1，4,2) B.C.D(0，1,1)考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量答案D解析因为(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面的一个法向量，则必须满足把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.15.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，AA14，AD5.求证：平面A1BD平面B1D1C.考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量证明如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A1(5,0,4)，B(5,3,0)，D1(0,0,4)，B1(5,3,4)，C(0,3,0)，(5,0，4)，(0,3，4)，(0,3，4)，(5,0，4)设平面A1BD的一个法向量为m(x，y，z)，则即取z1，得x，y，则m.设平面B1D1C的一个法向量为n(a，b，c)，则得n.mn，即mn，平面A1BD平面B1D1C.
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