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规范答题示例10导数与不等式的恒成立问题典例10(12分)设函数f(x)emxx2mx.(1)证明：f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增；(2)若对于任意x1，x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范围审题路线图(1)(2) 规 范 解 答分 步 得 分构 建 答 题 模 板(1)证明f(x)m(emx1)2x.1分若m0，则当x(，0)时，emx10，f(x)0.若m0，f(x)0；当x(0，)时，emx10.4分所以f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增.6分(2)解由(1)知，对任意的m，f(x)在1,0上单调递减，在0,1上单调递增，故f(x)在x0处取得最小值所以对于任意x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是8分即设函数g(t)ette1，则g(t)et1.9分当t0时，g(t)0时，g(t)0.故g(t)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增又g(1)0，g(1)e12e1时，由g(t)的单调性，得g(m)0，即emme1；当m0，即emme1.11分综上，m的取值范围是1,1.12分第一步求导数：一般先确定函数的定义域，再求f(x)第二步定区间：根据f(x)的符号确定函数的单调性第三步寻条件：一般将恒成立问题转化为函数的最值问题第四步写步骤：通过函数单调性探求函数最值，对于最值可能在两点取到的恒成立问题，可转化为不等式组恒成立.第五步再反思：查看是否注意定义域、区间的写法、最值点的探求是否合理等.评分细则(1)求出导数给1分；(2)讨论时漏掉m0扣1分；两种情况只讨论正确一种给2分；(3)确定f(x)符号时只有结论无中间过程扣1分；(4)写出f(x)在x0处取得最小值给1分；(5)无最后结论扣1分；(6)其他方法构造函数同样给分跟踪演练10(2018全国)已知函数f(x)xaln x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：2，令f(x)0，得x或x.当x时，f(x)0.所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增(2)证明由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x1x21，不妨设0x11.由于1a2a2a，所以a2等价于x22ln x20.设函数g(x)x2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)上单调递减，又g(1)0，从而当x(1，)时，g(x)0.所以x22ln x20，即a2.
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