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2.1.2数列的递推公式(选学)学习目标1.理解数列的几种表示方法，能选择适当的方法表示数列.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.3.了解用叠加法、叠乘法由递推公式求通项公式.知识点一递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)(n2)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.(2)递推公式也是表示数列的一种重要方法，它和通项公式一样，都是关于项数n的恒等式.(3)递推公式可以通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.知识点二递推公式与通项公式的比较通项公式和递推公式都是给出数列的方法.已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项.思考(1)已知求a4；(2)已知an2n，求a4.答案(1)a2a124，a3a226，a4a328；(2)a4248.1.数列an中，若an12an，nN，则a22a1.()2.利用an12an，nN可以确定数列an.()3.ann与yx的图象是相同的.()4.有些数列难以用通项公式和递推公式表示，但可以用列表法轻松表示.()题型一由数列前若干项归纳递推公式例1图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式.解如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的3倍，第(3)个是第(2)个的3倍，故有递推公式个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是an3n-1，nN.反思感悟求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系，求通项公式注重观察项与序号的关系，图象法则一如既往地直观.跟踪训练1传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第n个三角形数比第n1(n2，nN)个三角形数多_个石子.答案n解析a2a12，a3a23，anan1n.题型二数列的递推公式命题角度1由递推公式求前若干项例2设数列an满足写出这个数列的前5项.解由题意可知a11，a212，a31，a41，a511.引申探究若数列an满足a12，an1，nN，求a2019.解a23，a3，a4，a52a1，an是周期为4的数列，a2019a45043a3.反思感悟递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律.跟踪训练2已知数列an中，a11，a22，an2an1an，nN，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列an具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2019项？解a11，a22，a31，a41，a52，a61，a71，a82，.发现：an6an，数列an具有周期性，周期T6.证明如下：an2an1an，an3an2an1(an1an)an1an.an6an3(an)an.数列an是周期数列，且T6.a2019a33663a31.命题角度2由递推公式求通项例3(1)对于任意数列an，等式：a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an(n2，nN)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列an满足：a11，an1an2，nN，求通项an；(2)若数列an中各项均不为零，则有a1an(n2，nN)成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列an满足：a11，(n2，nN)，求通项an.解(1)当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)12(n1)12n1.a11也符合上式，所以数列an的通项公式是an2n1，nN.(2)当n2时，ana11.a11也符合上式，所以数列an的通项公式是an，nN.反思感悟形如an1anf(n)的递推公式，可以利用a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an(n2，nN)求通项公式；形如f(n)的递推公式，可以利用a1an(n2，nN)求通项公式.以上方法分别叫叠加法和叠乘法.跟踪训练3已知数列an满足a11，an1an，nN，求数列的通项公式an.解an1an，a2a1，a3a2，a4a3，anan1(n2)，(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)，即ana11(n2，nN).ana1111(n2，nN)，又当n1时，a11也符合上式.an，nN.1.数列1,3,6,10,15，的递推公式是()A.an1ann，nNB.anan1n，nN，n2C.an1an(n1)，nND.anan1(n1)，nN，n2答案C解析由已知得a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，an1ann1，nN，故选C.2.已知数列an满足anan1an1(1)n(n2，nN)且a11，则等于()A.B.C.D.答案B解析由a11得a2a1a1(1)2，则a22；由a3a2a2(1)3，得a3；同理得a43，a5，故，故选B.3.已知数列an满足a12，an1an10(nN)，则此数列的通项an等于()A.n21B.n1C.1nD.3n答案D解析an1an1.当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)22(1)(n1)3n.当n1时，a12也符合上式.故数列的通项an3n(nN).4.数列xn中，若x11，xn11(nN)，则x2019_.答案1解析x11，x2，x31，数列xn的周期为2，x2019x11.5.用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是_.答案an2n1，nN解析a13，a2325，a33227，a432229，an2n1，nN.1.an与an是不同的两种表示，an表示数列a1，a2，an，是数列的一种简记形式.而an只表示数列an的第n项，an与an是“个体”与“整体”的从属关系.2.数列的表示方法(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法.3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.一、选择题1.数列，的第n项an与第n1项an1的关系是()A.an12anB.an12anC.an1anD.an1an答案D2.已知数列an的首项a11，且满足an1an(nN)，则此数列的第4项是()A.1B.C.D.答案B解析a2a11；a3a2；a4a3.3.已知数列an中，an1man1(n1，nN)，且a23，a35，则实数m等于()A.B.C.2D.3答案A解析由题意得a2ma31，即35m1，m.4.已知a11，anan13(n2，nN)，则数列的通项公式为()A.an3n1B.an3nC.an3n2D.an3(n1)答案C解析anan13(n2，nN)，anan13.a2a13，a3a23，a4a33，anan13，以上各式两边分别相加，得ana13(n1)，ana13(n1)13(n1)3n2，a11也符合上式，故选C.5.若a11，an1(nN)，则给出的数列an的第4项是()A.B.C.D.答案C解析a2，a3，a4.6.已知数列an中，an2n225n30(nN)，则数列中最大项的值是()A.107B.108C.108D.109答案B解析由已知得an2n225n3022108，由于nN，故当n取距离最近的正整数6时，an取得最大值108.数列an中的最大项的值为a6108.二、填空题7.已知数列an中，a12，an(n2，nN)，则a2019_.答案2解析a2，a32，a4a2，an的周期为2，a2019a12.8.若数列an满足(n1)an(n1)an1(n2，nN)，且a11，则a100_.答案5050解析由(n1)an(n1)an1，即(n2，nN)，则a100a115050.9.已知数列an中，a1a2ann2(nN)，则a9_.答案解析a1a2a882，a1a2a992，得a9.10.如图是一棵小树的生长示意图，第二年新生枝桠2个，第三年新生枝桠4个，设第n年新生枝桠数为an，则数列an的递推公式为_.答案an三、解答题11.根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式.(1)a10，an1an2n1(nN)；(2)a11，an1an(nN).解(1)a10，a21，a34，a49.猜想an(n1)2(nN).(2)a11，a2，a32，a4.猜想an(nN).12.已知各项均不为0的数列an满足a1，anan1an1an(n2，nN)，求数列an的通项公式.解anan1an1an，且各项均不为0，1.当n2时，2n1.n1，当n2时，an.a1也符合上式，an(nN).13.已知数列an满足：a1m(m为正整数)，an1若a44，求m所有可能的取值.解若a3为奇数，则3a314，a31，若a2为奇数，则3a211，a20(舍去)，若a2为偶数，则1，a22.若a1为奇数，则3a112，a1(舍去)，若a1为偶数，2，a14；若a3为偶数，则4，a38，若a2为奇数，则3a218，a2(舍去).若a2为偶数，则8，a216.若a1为奇数，则3a1116，a15.若a1为偶数，则16，a132.故m所有可能的取值为4,5,32.14.由1,3,5，2n1，构成数列an，数列bn满足b12，当n2时，bn，则b6的值是()A.9B.17C.33D.65答案C解析bn，b2a23，b3a35，b4a59，b5a917，b6a1733.15.在一个数列中，如果对任意nN，都有anan1an2k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列an是等积数列，且a11，a22，公积为8，则a1a2a3a12_.答案28解析依题意得数列an是周期为3的数列，且a11，a22，a34，因此a1a2a3a124(a1a2a3)4(124)28.
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