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3.2古典概型学习目标1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解概率的一般加法公式及适用条件知识点一古典概型思考1“在区间0,10上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？答案不属于因为在区间0,10上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型思考2若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型吗？答案不一定符合还必须满足每个基本事件出现的可能性相等才符合古典概型梳理(1)古典概型的特征：有限性在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；等可能性每个基本事件发生的可能性是均等的(2)古典概型的计算公式：P(A).知识点二概率的一般加法公式(选学)1事件的交(或积)由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作DAB(或DAB)2概率的一般加法公式：如果A，B不是互斥事件，则P(AB)P(A)P(B)P(AB)1每一个基本事件出现的可能性相等()2古典概型中的任何两个基本事件都是互斥的()题型一古典概型的判断例1某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、命中5环和不中环你认为这是古典概型吗？为什么？解不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、命中5环和不中环的出现不是等可能的(为什么？)，即不满足古典概型的第二个条件.反思与感悟判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性跟踪训练1从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？解不是，因为有无数个基本事件.题型二古典概型的概率计算例2将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察出现点数的情况(1)一共有多少种不同的结果？(2)点数之和为5的结果有多少种？(3)点数之和为5的概率是多少？解(1)将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，得到的点数有1,2,3,4,5,6，共6种结果，故先后将这枚骰子抛掷两次，一共有6636(种)不同的结果(2)点数之和为5的结果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种(3)正方体骰子是质地均匀的，将它先后抛掷两次所得的36种结果是等可能出现的，其中点数之和为5(记为事件A)的结果有4种，因此所求概率P(A).反思与感悟古典概型问题包含的题型较多，但都必须紧扣古典概型的定义，进而用公式进行计算列举法是求解古典概型问题的常用方法，借助于图表等有时更实用更有效跟踪训练2在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，从每个袋中各任取一张卡片，则两张卡片上数字之和等于7的概率为_答案解析试验结果如表所示：0123450012345112345622345673345678445678955678910由表可知两张卡片上数字之和共有36种情况，其中和为7有4种情况，所求事件的概率为.1下列不是古典概型的是()A从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小B同时掷两颗骰子，点数和为7的概率C近三天中有一天降雨的概率D10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率答案C解析A，B，D为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C不满足等可能性，故不为古典概型2从长度分别为1,2,3,4的四条线段中，任取三条不同的线段，以取出的三条线段为边可组成三角形的概率为()A0B.C.D.答案B解析从中任取三条线段共有4种取法，能构成三角形的只有长度为2,3,4的线段，所以P，故选B.3从数字1,2,3,4,5中任取2个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是()A.B.C.D.答案B解析从数字1,2,3,4,5中任取2个不同的数字能构成20个两位数：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54，而大于40的数有8个：41,42,43,45,51,52,53,54，故所求的概率是.4从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率为_答案解析从2,3,8,9中任取2个分别记为(a，b)，则有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共有12种情况，其中符合logab为整数的有log39和log28两种情况，P.5现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答求所取的2道题不是同一类题的概率解将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有1,5，1,6，2,5，2,6，3,5，3,6，4,5，4,6，共8个，所以P(B).古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中经常遇到的题型解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性在应用公式P(A)时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，从而求出m，n.一、选择题1下列是古典概型的是()A任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时B求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时C从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止答案C解析A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故D不是2从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都入选的概率为()A.B.C.D.答案C解析从五个人中选取三个人有10种不同结果：(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，而甲、乙都入选的结果有3种，故所求的概率为.3甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为()A.B.C.D.答案A解析甲、乙两人参加学习小组，若以(A，B)表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B，则一共有：(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9种情形，其中两人参加同一个学习小组共有3种情形，根据古典概型概率公式，得P.4先后抛掷两颗骰子，所得点数之和为7的概率为()A.B.C.D.答案C解析抛掷两颗骰子，一共有36种结果，其中点数之和为7的共有6种结果，根据古典概型的概率公式，得P.5盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1,2,3,4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率是()A.B.C.D.答案A解析从装有四个小球的盒子里随机摸出两个小球，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共有6种取法，其中小球上标有的数字之和为5的取法共有2种，分别为(1,4)，(2,3)，根据古典概型的概率公式，得其概率为，故选A.6袋中有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为()A.B.C.D.答案C解析袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15个两球颜色为一白一黑的基本事件有(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6个其概率为.7假如小明同学的QQ密码是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中的6个数字组成的六位数，由于长时间未登录QQ，小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录QQ时密码的最后一个数字随意选取，则恰好能登录的概率是()A.B.C.D.答案D解析只考虑最后一位数字即可，从0至9这10个数字中随机选择一个作为密码的最后一位数字有10种可能，选对只有一种可能，所以选对的概率是.8甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b1,2,3,4,5,6，若|ab|1，就称甲、乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()A.B.C.D.答案D解析首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|ab|1，由于a，b1,2,3,4,5,6，则满足要求的事件可能的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种，而依题意得，基本事件的总数有36种因此他们“心有灵犀”的概率为P.二、填空题9若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P落在圆x2y216内的概率是_答案解析基本事件的总数为6636，记事件A点P(m，n)落在圆x2y216内，则A所包含的基本事件有(1,1)，(2,2)，(1,3)，(1,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(2,1)，共8个P(A).10从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率是_答案解析设3件正品为A，B，C,1件次品为D，从中不放回地任取2件，有以下基本事件：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6个其中恰有1件是次品的基本事件有：AD，BD，CD，共3个，故P.11从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于_答案解析用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc共15种，其中2名都是女同学的有ab，ac，bc共3种，故所求的概率为.三、解答题12某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查(1)求应从初级教师、中级教师、高级老师中分别抽取的人数；(2)若从分层抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率解(1)由分层抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3,2,1.(2)在分层抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3,2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6，则从中抽取2名教师的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种所以P(B).13海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率解(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：501,1503,1002，所以A，B，C三个地区的商品被抽取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A1；B1，B2，B3；C1，C2，则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A1，C1，A1，C2，B1，B2，B1，B3，B1，C1，B1，C2，B2，B3，B2，C1，B2，C2，B3，C1，B3，C2，C1，C2，共15个每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件出现的机会是等可能的记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有B1，B2，B1，B3，B2，B3，C1，C2，共4个所以P(D)，即这2件商品来自相同地区的概率为.四、探究与拓展14一次掷两枚骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2(mn)x40有实数根的概率是_答案解析基本事件共有36个因为方程有实根，所以(mn)2160.所以mn4，其对立事件是mn4，它包含(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本事件所以所求概率为1.15“抢红包”的活动给节假日增添了一份趣味，某发红包单位进行一次关于“是否参与抢红包活动”的调查活动，组织员工在几个大型小区随机抽取50名居民进行问卷调查，对问卷结果进行了统计，并将调查结果统计如下表：年龄(岁)10，20)20，30)30，40)40，50)50，60)60，70调查人数mn141286参与的人数3412632表中所调查的居民年龄在10,20)，20,30)，50,60)内的人数成等差数列(1)求表中m，n的值，并补全如图所示的频率分布直方图；(2)在被调查的居民中，若从年龄在10,20)，20,30)内的居民中各随机选取1人参加抽奖活动，求选中的两人中仅有一人没有参与抢红包活动的概率解(1)由题意得解得补全频率分布直方图，如图所示：(2)记年龄在10,20)内的居民为a1，A2，A3，A4(其中居民a1没有参与抢红包括动)，年龄在20,30)内的居民为b1，b2，B3，B4，B5，B6(其中居民b1，b2没有参与抢红包活动)各选取1人的情形有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，B3)，(a1，B4)，(a1，B5)，(a1，B6)，(A2，b1)，(A2，b2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，B5)，(A2，B6)，(A3，b1)，(A3，b2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A3，B5)，(A3，B6)，(A4，b1)，(A4，b2)，(A4，B3)，(A4，B4)，(A4，B5)，(A4，B6)，共24种其中仅有一人没有参与抢红包活动的情形有10种，分别为(a1，B3)，(a1，B4)，(a1，B5)，(a1，B6)，(A2，b1)，(A3，b1)，(A4，b1)，(A2，b2)，(A3，b2)，(A4，b2)，所以选中的两人中仅有一人没有参与抢红包活动的概率P.
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