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第14讲导数与函数的单调性函数的单调性与导数导数到单调性单调递增在区间(a,b)上,若f(x)0,则f(x)在这个区间上单调单调递减在区间(a,b)上,若f(x)f(2x-1)的解集为.7.函数f(x)=x+ln(2-x)的单调递增区间为.8.讨论函数y=ax3-x在R上的单调性时,a应分、三种情况讨论.探究点一函数单调性的判断或证明例1 2018商丘二模 已知函数f(x)=(x-1)ex+1+mx2,其中m为常数,且m-e2.讨论函数f(x)的单调性. 总结反思 用导数法判断和证明函数f(x)在区间(a,b)内的单调性的一般步骤:(1)求f(x).(2)确认f(x)在区间(a,b)内的符号(如果含有参数,则依据参数的取值讨论符号).(3)得出结论:f(x)0时,函数f(x)为增函数;f(x)0时,函数f(x)为减函数.变式题 已知函数f(x)=x+axex,aR.(1)求f(x)的零点;(2)当a-5时,求证:f(x)在区间(1,+)上为增函数.探究点二求函数的单调区间例2 2018北京朝阳区一模 已知函数f(x)=lnx-1x-ax(aR). (1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若a-1,求函数f(x)的单调区间. 总结反思 (1)利用导数求函数单调区间的关键是确定导数的符号.不含参数的问题直接解导数大于(或小于)零的不等式,其解集即为函数的单调区间;含参数的问题,应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解,其解集即为函数的单调区间.(2)所有求解和讨论都必须在函数的定义域内,不要超出定义域的范围.变式题 (1)函数f(x)=3ln x-4x+12x2的单调递增区间为()A.(0,1),(3,+)B.(1,3)C.(-,1),(3,+)D.(3,+)(2)函数f(x)=x+3x+2ln x的单调递减区间是.探究点三已知函数单调性确定参数的取值范围例3 已知函数f(x)=x2+ln x-ax.(1)当a=3时,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)在(0,1)上是增函数,求a的取值范围.总结反思 (1)f(x)在D上单调递增(减),只要满足f(x)0(0)在D上恒成立即可.如果能够分离参数,则可分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.(2)二次函数在区间D上大于零恒成立,讨论的标准是二次函数的图像的对称轴与区间D的相对位置,一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论.变式题 (1)2018哈尔滨师大附中三模 若函数f(x)=2x+sin xcos x+acos x在(-,+)上单调递增,则a的取值范围是()A.-1,1B.-1,3C.-3,3D.-3,-1 (2)若函数f(x)=x+aln x不是单调函数,则实数a的取值范围是()A.0,+)B.(-,0C.(-,0)D.(0,+)探究点四函数单调性的简单应用例4 (1)定义域为R的可导函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)f(x),f(0)=2,则不等式f(x)0,若1a3,则()A.f(4a)f(3)f(log3a)B.f(3)f(log3a)f(4a)C.f(log3a)f(3)f(4a)D.f(log3a)f(4a)f(3)总结反思 用导数比较大小或解不等式,常常要构造新函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题,再由单调性比较大小或解不等式.常见构造的辅助函数有:g(x)=xf(x),g(x)=f(x)x,g(x)=exf(x),g(x)=f(x)ex,g(x)=f(x)ln x,g(x)=f(x)lnx等.变式题 (1)已知a=2.12.2,b=2.22.1,c=log2.22.1,则()A.cbaB.cabC.abcD.acb(2)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(2)=7,且f(x)的导函数f(x)3ln x+1的解集为.第14讲导数与函数的单调性考试说明 1.了解函数单调性和导数的关系;2.能利用导数研究函数的单调性;3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).【课前双基巩固】知识聚焦递增递减00充分对点演练1.(0,+)解析 由f(x)=ex-10,解得x0,故其单调递增区间是(0,+).2.解析 设f(x)=x-ln x,x(1,+),则f(x)=1-1x0,所以函数f(x)在(1,+)上是增函数,所以f(x)=x-ln x10,所以xln x.3.(-,0)解析 y=3ax2,函数在区间(-,+)上是减函数,y0在(-,+)上恒成立,即3ax20恒成立,a0.当a=0时,y=-1,不是减函数,a0,所以函数f(x)=ln x-1x在(0,+)上为增函数,所以只需满足1-x2x-10,解得12x0,得x0,可得12-x0,得2-x1,解得x0a=0a0,a=0,a0,ex+1+2m0.当x0时,f(x)0;当x0时,f(x)0. 故f(x)在区间(-,0)上单调递减,在区间(0,+)上单调递增.当-e2mx2.则当x0时,f(x)0;当ln(-2m)-1x0时,f(x)0;当x0.故f(x)在区间(-,ln(-2m)-1),(0,+)上单调递增,在区间(ln(-2m)-1,0)上单调递减.综上所述,当m0时,f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增;当-e2m0时,f(x)在(-,ln(-2m)-1),(0,+)上单调递增,在(ln(-2m)-1,0)上单调递减.变式题解:(1)f(x)的定义域为(-,0)(0,+).令f(x)=0,得x2+a=0,即x2=-a.当a0时,方程无解,f(x)没有零点;当a0时,得x=-a.综上,当a0时,f(x)无零点;当a1),则g(x)=3x2+2x+a,其图像的对称轴为直线x=-13,所以g(x)在(1,+)上单调递增,所以g(x)312+21+a=5+a.因为a-5,所以g(x)0在(1,+)上恒成立,所以g(x)在(1,+)上为增函数,可得g(x)g(1)=20,即f(x)0,所以f(x)在区间(1,+)上为增函数.例2思路点拨 (1)求出f(1)及f(1)的值,利用点斜式可得曲线的切线方程.(2)在定义域内,令f(x)0,求得x的取值范围,可得函数f(x)的单调递增区间;令f(x)0,得x-12a;由g(x)0,得0x-12a.所以g(x)在区间0,-12a上单调递减,在区间-12a,+上单调递增,所以g(x)min=g-12a=52-ln-12a.因为a-1,所以0-12a12,所以ln-12a0,即f(x)0,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+).变式题(1)A(2)(0,1)解析 (1)f(x)=3x-4+x=(x-1)(x-3)x,由f(x)0,得0x3,f(x)的单调递增区间为(0,1),(3,+).(2)函数f(x)的定义域是(0,+),f(x)=1-3x2+2x=(x+3)(x-1)x2.令f(x)0,可得0x0可得单调递增区间;(2)将原问题转化为导函数在区间(0,1)上大于等于零恒成立问题求解即可.解:(1)f(x)的定义域为(0,+),当a=3时,f(x)=x2+ln x-3x,f(x)=2x+1x-3=2x2-3x+1x,由f(x)0,得0x1,函数f(x)的单调递增区间为0,12,(1,+).(2)由题意得f(x)=2x+1x-a.f(x)在(0,1)上是增函数,f(x)=2x+1x-a0在(0,1)上恒成立,即a2x+1x在(0,1)上恒成立.2x+1x22,当且仅当2x=1x,即x=22时,等号成立,a22,故实数a的取值范围为(-,22.变式题(1)A(2)C解析 (1)f(x)=2x+sin xcos x+acos x,f(x)=2+cos 2x-asin x=-2sin2x-asin x+3.设t=sin x,-1t1,则g(t)=-2t2-at+3, f(x)在(-,+)上单调递增,g(t)0在-1,1上恒成立.二次函数g(t)的图像开口向下,g(1)0,g(-1)0,可得-1a1,即a的取值范围是-1,1,故选A.(2)函数f(x)=x+aln x的定义域为(0,+),f(x)=1+ax.当a0时,f(x)0,函数f(x)=x+aln x是增函数.当a0时,由f(x)0,得0x0,得x-a,所以函数f(x)=x+aln x在(0,-a)上单调递减,在(-a,+)上单调递增.因为f(x)=x+aln x不是单调函数,所以实数a的取值范围是(-,0),故选C.例4思路点拨 (1)构造函数g(x)=f(x)ex,通过g(x)的符号判断函数g(x)的单调性,利用单调性得出x的取值范围;(2)先根据函数图像的平移得到函数f(x)的图像关于直线x=2对称,再通过讨论导数的符号得到函数f(x)的单调性,最后将4a,log3a,3转化到同一个单调区间上比较其对应函数值的大小.(1)A(2)B解析 (1)设g(x)=f(x)ex,则g(x)=f(x)-f(x)ex,f(x)0,即函数g(x)在R上单调递增.f(0)=2,g(0)=f(0)=2,则不等式f(x)2ex等价于g(x)g(0).函数g(x)在R上单调递增,x0,当x2时,f(x)0,即函数f(x)在(2,+)上为增函数.1a3,44a64,0log3a1,又f(log3a)=f(4-log3a),34-log3a4,34-log3a4a,f(3)f(4-log3a)f(4a),即f(3)f(log3a)0),则f(x)=1-lnxx2,可得函数f(x)在(0,e)上单调递增,所以f(2.1)f(2.2),即ln2.12.1ln2.22.2,可化为2.12.22.22.1,即1ab,又c=log2.22.11,所以ca3ln x+1等价于f(t)3t+1.设g(x)=f(x)-3x-1,则g(x)=f(x)-3,f(x)的导函数f(x)3,g(x)=f(x)-30=g(2),解得t2,ln x2,解得0x3ln x+1的解集为(0,e2).【备选理由】 例1讨论函数的单调性;例2可以进一步明确不等式f(x)0的解集对应的区间是函数f(x)的单调递增区间,不等式f(x)0,若x(-,a-1),则f(x)0,f(x)为增函数.当a0时,令f(x)=0,得x1=a-1,x2=ln a.令g(a)=a-1-ln a,则g(a)=1-1a=a-1a,当a(0,1)时,g(a)0,g(a)为增函数,g(a)min=g(1)=0,a-1ln a(当且仅当a=1时取“=”).当0a1时,若x(-,ln a),则f(x)0,f(x)为增函数;若x(ln a,a-1),则f(x)0,f(x)为增函数.当a=1时,f(x)=x(ex-1)0,f(x)在(-,+)上为增函数.综上所述:当a0时,f(x)在(-,a-1)上为减函数,在(a-1,+)上为增函数;当0a1时,f(x)在(ln a,a-1)上为减函数,在(-,ln a)和(a-1,+)上为增函数;当a=1时,f(x)在(-,+)上为增函数.例2配合例2使用 2018东莞模拟 已知函数f(x)=ax2e-x(a0),求函数f(x)的单调区间.解:对f(x)求导,得f(x)=a2xex-x2ex(ex)2=ax(2-x)ex.若a0,则当x(0,2)时,f(x)0,当x(-,0)或x(2,+)时,f(x)0,所以f(x)在(0,2)上单调递增,在(-,0),(2,+)上单调递减.若a0,则当x(0,2)时,f(x)0,所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(-,0),(2,+)上单调递增.例3配合例3使用 2018重庆七校期末 已知函数f(x)=x2+(m+2)x+n(m,n为常数).(1)当n=1时,讨论函数g(x)=exf(x)的单调性;(2)当n=2时,若函数h(x)=x+f(x)ex在0,+)上单调递增,求m的取值范围.解:(1)当n=1时,g(x)=exx2+(m+2)x+1,g(x)=exx2+(m+4)x+(m+3)=ex(x+1)x+(m+3).令g(x)=0,解得x=-1或x=-(m+3).当-1-(m+3),即m-(m+3),即m-2时,函数g(x)的单调递增区间为(-,-m-3),(-1,+),单调递减区间为(-m-3,-1).(2)当n=2时,h(x)=x+x2+(m+2)x+2ex,h(x)=1+-x2-mx+mex.由题意知,h(x)0在0,+)上恒成立,即ex-x2m(x-1)在0,+)上恒成立.当x=1时,不等式成立.当x1时,令k(x)=ex-x2x-1,则k(x)=(x-2)(ex-x)(x-1)2. 当x1时,只需k(x)m恒成立.ex-x0恒成立(可求导证明),当1x2时,k(x)2时,k(x)0,k(x)单调递增.k(x)k(2)=e2-4,me2-4.当0x1时,只需k(x)m恒成立.0x1,k(x)0,k(x)单调递减,k(x)k(0)=-1,m-1.综上所述,-1me2-4.
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