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1.3.3 函数的奇偶性（第二课时） “奇偶性”是人教A版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。奇偶性是函数的重要性质，从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又为是继续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。学习奇偶性，能使学生再次体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。 1.教学重点：函数奇偶性的概念和几何意义。2.教学难点：奇偶性概念的数学化提炼过程 1 知识梳理 1.定义：偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数2. 图像： 偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点中心对称。3. 定义域：奇、偶函数的定义域关于原点对称2 题型探究类型一 函数奇偶性的判断例1.给出以下结论：f(x)|x1|x1|是奇函数；g(x)既不是奇函数也不是偶函数；F(x)f(x)f(x)(xR)是偶函数；h(x)既是奇函数，又是偶函数其中正确的序号是_【分析】 先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数；若关于原点对称，利用函数的奇偶性判断 【答案】 方法规律：定义法判断函数奇偶性的步骤 类型二 利用函数的奇偶性求函数值或参数值例2.(1)(2016沧州高一检测)若函数f(x)为奇函数，则a( )A. B. C. D1(2)已知f(x)x5ax3bx8且f(2)10，那么f(2)_.【精彩点拨】 (1)利用奇函数的定义得到f(1)f(1)，列出方程求出a；(2)由已知中f(x)x5ax3bx8，我们构造出函数g(x)f(x)8，由函数奇偶性的性质，可得g(x)为奇函数，由f(2)10，我们逐次求出g(2)、g(2)，可求f(2) 【答案】 (1)A (2)26方法规律：1由函数的奇偶性求参数应关注两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用 (2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数2利用函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值，如本例(2)即是如此类型三 利用奇偶性求函数的解析式例3.函数f(x)在R上为奇函数，当x0时，f(x)1，求f(x)的解析式【精彩点拨】 要求函数的解析式，根据题意，只要求当x0的函数解析式，由x0时，f(x)，可先设x0，则x0，结合f(x)f(x)，f(0)0，可求f(x)【自主解答】 设x0，则x0，f(x)1，f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即f(x)1，f(x)1，f(x)是奇函数，f(0)0，f(x)方法规律：利用奇偶性求函数解析式的一般步骤1在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间2把x对称转化到已知区间上，利用已知区间的解析式进行代入3利用函数的奇偶性把f(x)改写成f(x)或f(x)，从而求出f(x)类型四 函数奇偶性与单调性的综合应用例4.(1)(2016洛阳高一检测)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1、x2(，0(x1x2)，有(x2x1)f(x2)f(x1)0，则当nN*时，有( )Af(n)f(n1)f(n1)Bf(n1)f(n)f(n1)Cf(n1)f(n)f(n1)Df(n1)f(n1)f(n)(2)已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，其图象关于原点对称，且f(1a)f(12a)0，则a的取值范围是_【精彩点拨】 (1)根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行判断即可(2)由于yf(x)在定义域(1,1)上，其图象关于原点对称，可得函数f(x)是奇函数再利用单调性即可得出 (2)yf(x)在定义域(1,1)上，其图象关于原点对称，函数f(x)是奇函数f(1a)f(12a)0，f(1a)f(12a)f(2a1)，又yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，11a2a11，解得0a.a的取值范围是0a.【答案】 (1)B (2)方法规律：1利用函数的奇偶性与单调性求参数的范围问题，要首先弄清函数在各区间上的单调性，然后利用单调性列出不等式并求解，同时不应忘记函数自身定义域对参数的影响2利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的一个单调区间内，然后利用单调性比较三达标检测1.下列函数中，是偶函数的有_(填序号) (1)f(x)x3；(2)f(x)|x|1；(3)f(x)；(4)f(x)x；(5)f(x)x2，x1,2；(6)f(x). 数；对于(6)，定义域为(，11，)，关于原点对称，f(x)f(x)，则为偶函数故为偶函数的是(2)(3)(6)【答案】 (2)(3)(6)2.设函数f(x)(xR)为奇函数，f(1)，f(x2)f(x)f(2)，则f(5)( ) A0 B1 C. D5【解析】 由f(1)，对f(x2)f(x)f(2)，令x1，得f(1)f(1)f(2)又f(x)为奇函数，f(1)f(1)于是f(2)2f(1)1；令x1，得f(3)f(1)f(2)，于是f(5)f(3)f(2).【答案】 C3.已知yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(x2)，则当x0时，f(x)的表达式为( )Af(x)x(x2)Bf(x)x(x2)Cf(x)x(x2)Df(x)x(x2) 【答案】 D4.设偶函数f(x)的定义域为R，当x0，)时，f(x)是增函数，则f(2)，f()，f(3)的大小关系是( ) Af()f(3)f(2) Bf()f(2)f(3) Cf()f(3)f(2) Df()f(2)f(3)【解析】 由偶函数与单调性的关系知，若x0，)时，f(x)是增函数，则x(，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，|2|3|，f()f(3)f(2)，故选A.【答案】 A
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