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2019年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷（A卷）文科数学本试卷共5页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2考生作答时，将答案答在答题卡上请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试题卷上答题无效3选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚4保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合,则 A. B. C. D.2.已知复数满足,则复数的共轭复数为 A. B. C. D.3.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合. 若点是角终边上一点,则A. B. C. D.4.如图是计算的程序框图,若输出的值为,则判断框中应填入的条件是A. B. C. D.5.已知两条平行直线,之间的距离为1，与圆相切,与相交于两点,则=A. B. C. D.6.函数的大致图象为 A B C D7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为A. B. C. D.8.剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一,作为一种镂空艺术,它能给人以视觉上的艺术享受.在如图所示的圆形图案中有个树叶状图形(即图中阴影部分),构成树叶状图形的圆弧均相同.若在圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是A. B. C. D.9.已知,函数在上的最大值为,则实数的取值范围是A. B. C. D.10.函数图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称, 则在上的单调递增区间为A. B. C. D.11.已知椭圆与双曲线有共同的焦点,且在第一象限内相交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为.若,则的最小值是A. B. C. D.12.如图,在四棱锥中,四边形为矩形,则四棱锥外接球的表面积为A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量 若,则 .14.若实数满足约束条件且目标函数的最大值为,则实数 . 15.在中，内角所对的边分别为,为的面积,且成等差数列,则的大小为 .16.已知函数.若，则的最大整数值为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）等差数列的前项和为,.数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和满足,求的值. 18.（12分）如图,在多面体中,四边形为矩形,，,分别是,的中点,是线段上的任一点.(1)求证：；(2)求三棱锥的体积.19.（12分）随着新课程改革和高考综合改革的实施,高中教学以发展学生学科核心素养为导向,学习评价更关注学科核心素养的形成和发展.为此,我市于2018年举行第一届高中文科素养竞赛，竞赛结束后,为了评估我市高中学生的文科素养,从所有参赛学生中随机抽取1000名学生的成绩（单位：分）作为样本进行估计,将抽取的成绩整理后分成五组,从左到右依次记为,并绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)请补全频率分布直方图并估计这1000名学生成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)采用分层抽样的方法从这1000名学生的成绩中抽取容量为40的样本,再从该样本成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查,求至少有一名学生成绩不低于90分的概率；(3)我市决定对本次竞赛成绩排在前180名的学生给予表彰,授予“文科素养优秀标兵”称号.一名学生本次竞赛成绩为79分,请你判断该学生能否被授予“文科素养优秀标兵”称号.20.（12分）已知,是曲线上任意一点,动点满足.(1)求点的轨迹的方程；(2)过点的直线交于两点，过原点与点的直线交直线于点,求证：.21.（12分）已知函数(1)讨论的单调性；(2)当时,证明:.(2) 选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）,以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；(2)设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.23.选修4-5:不等式选讲(10分) 已知函数.(1)若不等式的解集为，求的值；(2)设函数.若，求的取值范围.2019年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷（A卷）文科数学参考答案及评分细则评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则2对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分3解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5分,满分60分（1）D （2）C （3）B （4） B （5） D （6）A （7）D （8）B （9）A （10）A （11）C （12）B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5分,满分20分（13） （14） （15） （16）三、解答题：本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.本小题主要考查等差数列、等比数列及前n项和等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.满分12分.解：（1）设等差数列的公差为, 则有 2分解得则. 3分又,即, 4分所以. 5分（2） 依题意得： 6分 7分. 8分又,则, 10分 因为在上为单调递增函数,11分所以. 12分18.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面平行及垂直的判定和性质,空间几何体的体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想,考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养满分12分解：(1)连接.因为,分别是,的中点,且,所以,又,所以,所以,四点共面. 1分因为平面,所以平面,所以. 3分因为,是的中点,所以. 4分又,所以平面. 5分又因为,所以面,所以. 6分(2)在中,由,得. 7分因为平面,所以.又,所以, 8分因为,分别是,的中点,所以. 9分又,所以的面积, 10分因为,所以. 11分三棱锥的体积为. 12分19.本小题主要考查频率分布直方图、平均数、古典概型和样本估计总体等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识,考查统计与概率思想、分类和整合思想,考查数学抽象、数学建模、数据分析、数学运算等核心素养.满分12分.解：（1）成绩落在的频率为,1分补全的频率分布直方图如图： 2分样本的平均数. 4分（2）由分层抽样知,成绩在内的学生中抽取人,记为,成绩在内的学生中抽取人,记为, 5分则满足条件的所有基本事件为：共个,6分记“至少有一名学生成绩不低于90分”为事件,则事件包含的基本事件有：共个. 7分故所求概率为. 8分（3） 因为,所以由频率分布直方图可以估计获得“文科素养优秀标兵”称号学生的成绩为. 10分因为,所以该同学能被授予“文科素养优秀标兵”称号. 12分20.本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的求解等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想,考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养满分12分.解：（1）设,由得：, 1分则 2分即 3分因为点为曲线上任意一点,故,代入得.4分所以点的轨迹的方程是.5分（2） 依题意得,直线的斜率存在,其方程可设为,设 6分联立得,所以，. 7分因为直线的方程为,8分且是直线与直线的交点,所以的坐标为.9分根据抛物线的定义等于点到准线的距离,由于在准线上,所以要证明,只需证明垂直准线,即证轴. 10分因为的纵坐标.11分所以轴成立,所以成立. 12分21.本小题主要考查函数的单调性与最值、导数的应用等基础知识,考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想、数形结合思想考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.满分12分解：(1)由得. 1分当即时,所以在上单调递增.2分当即时,由得；由得,3分所以在上单调递减,在上单调递增. 4分要证成立,只需证成立,即证. 5分现证：.设则, 6分所以在上单调递减,在上单调递增. 7分所以. 8分因为,所以，则，即,当且仅当时取等号.9分再证：. 10分设,则.所以在上单调递增,则,即. 11分因为,所以.当且仅当时取等号，又与两个不等式的等号不能同时取到,即,所以. 12分22.选修4-4：极坐标与参数方程本小题主要考查直角坐标与极坐标互化、椭圆的参数方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想,考查数学运算核心素养等.满分10分.解：（1）由曲线的参数方程（为参数）消去参数得， 即的普通方程为：. 2分曲线的极坐标方程为可化为：. 3分由,可得 的直角坐标方程为直线.5分（2）设 6分则点到直线的距离为 7分 8分当时,的最小值为 9分此时可取,故 10分23.选修4-5：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式,考查运算求解能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想,考查数学运算、逻辑推理等核心素养.满分10分.解：（1）因为,所以, 1分即,所以,2分解得, 3分因为不等式的解集为所以即. 5分（2）因为,所以,6分当且仅当时等号成立. 7分因为恒成立,所以,即 8分当时,等价于，成立.当时,等价于，解得. 9分综上所述的取值范围是 10分
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