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1.2充分条件与必要条件学习目标1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明知识点一充分条件与必要条件(1)“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作pq，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件(2)若pq，但qp，称p是q的充分不必要条件，若qp，但pq，称p是q的必要不充分条件知识点二充要条件思考在ABC中，角A，B，C为它的三个内角，则“A，B，C成等差数列”是“B60”的什么条件？答案因为A，B，C成等差数列，故2BAC，又因为ABC180，故B60，反之，亦成立，故“A，B，C成等差数列”是“B60”的充要条件梳理(1)一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果pq，那么p与q互为充要条件(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若AB，则p，q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件()(2)若p是q的充要条件，则p和q是两个相互等价的命题()(3)q不是p的必要条件时，“pq”成立()类型一充分条件、必要条件、充要条件的判定例1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(3)p：AB，q：ABA；(4)p：ab，q：acbc.考点充分条件、必要条件的判断题点充分、必要条件的判断解(1)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等两个三角形相似，p是q的必要不充分条件(2)矩形的对角线相等，pq，而对角线相等的四边形不一定是矩形，qp，p是q的充分不必要条件(3)pq，且qp，p既是q的充分条件，又是q的必要条件(4)pq，且qp，p是q的既不充分也不必要条件反思与感悟充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法：确定谁是条件，谁是结论；尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件(2)命题判断法：如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件跟踪训练1指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：ax2ax10的解集是R，q：0a4；(2)p：|x2|3，q：0满足题意；当a0时，由可得0a4.故p是q的必要不充分条件(2)易知p：1x5，q：1x5，所以p是q的充要条件(3)因为ABAABB，所以p是q的充要条件(4)由根据同向不等式相加、相乘的性质，有即pq.但比如，当1，5时，而2，所以qp，所以p是q的充分不必要条件类型二充要条件的探求与证明命题角度1充要条件的探求例2求ax22x10至少有一个负实根的充要条件是什么？考点充要条件的概念及判断题点寻求充要条件解(1)当a0时，原方程变为2x10，即x，符合要求(2)当a0时，ax22x10为一元二次方程，它有实根的充要条件是0，即44a0，a1.方程ax22x10只有一个负根的充要条件是即a0.方程ax22x10有两个负根的充要条件是即0a1.综上所述，ax22x10至少有一个负实根的充要条件是a1.反思与感悟探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件结论”和“结论条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件跟踪训练2已知数列an的前n项和Sn(n1)2t(t为常数)，试问t1是否为数列an是等差数列的充要条件？请说明理由考点充要条件的概念及判断题点寻求充要条件解是充要条件(充分性)当t1时，Sn(n1)21n22n.a1S13，当n2时，anSnSn12n1.又a13适合上式，an2n1(nN*)，又an1an2(常数)，数列an是以3为首项，2为公差的等差数列故t1是an为等差数列的充分条件(必要性)an为等差数列，则2a2a1a3，解得t1，故t1是an为等差数列的必要条件综上，t1是数列an为等差数列的充要条件命题角度2充要条件的证明例3求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.考点充要条件的概念及判断题点充要条件的证明证明充分性(由ac0推证方程有一正根和一负根)，ac0，一元二次方程ax2bxc0的判别式b24ac0，原方程一定有两不等实根，不妨设为x1，x2，则x1x20，原方程的两根异号，即一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根必要性(由方程有一正根和一负根推证ac0)，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根，不妨设为x1，x2，由根与系数的关系得x1x20，即ac0，此时b24ac0，满足原方程有两个不等实根综上可知，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.反思与感悟对于充要条件性命题证明，需要从充分性和必要性两个方面进行证明，需要分清条件和结论跟踪训练3求证：方程x2(2k1)xk20的两个根均大于1的充要条件是k2.考点充要条件的概念及判断题点充要条件的证明证明必要性：若方程x2(2k1)xk20有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则即即解得k2.充分性：当k2时，(2k1)24k214k0.设方程x2(2k1)xk20的两个根为x1，x2.则(x11)(x21)x1x2(x1x2)1k22k11k(k2)0.又(x11)(x21)(x1x2)2(2k1)22k10，x110，x210，x11，x21.综上可知，方程x2(2k1)xk20有两个大于1的根的充要条件为k2.类型三利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)例4设命题p：x(x3)0，命题q：2x3m，已知p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为_考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围答案3，)解析p：x(x3)0，即0x3；q：2x3m，即x.由题意知pq，qp，则在数轴上表示不等式如图所示，则3，解得m3，即实数m的取值范围为3，)反思与感悟在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤(1)记集合Mx|p(x)，Nx|q(x)；(2)若p是q的充分不必要条件，则MN，若p是q的必要不充分条件，则NM，若p是q的充要条件，则MN；(3)根据集合的关系列不等式(组)；(4)求出参数的范围跟踪训练4设A，B，记命题p：“yA”，命题q：“yB”，若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围为_考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围答案解析由题意知A(0,1)，B，依题意，得BA，故m0和a2x2b2xc20的解集分别是集合M和N，那么“”是“MN”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件的判断题点充分、必要条件的判断答案D解析若0，则MN，即MN；反之，若MN，即两个一元二次不等式的解集为空集时，只要求判别式10，20(a10，a20)内不是单调函数的充要条件是()A0m B0m1Cm1考点充要条件的概念及判断题点寻求充要条件答案B解析f(x)f(x)的图象在(0,1)内单调递减，在(1，)内单调递增若f(x)在(m,2m1)(m0)上不是单调函数，则0m1.二、填空题9若a(1,2x)，b(4，x)，则“a与b的夹角为锐角”是“0x”的_条件考点充分条件、必要条件的判断题点充分、必要条件的判断答案既不充分也不必要10已知p：x2x20，q：xm.若p的一个充分不必要条件是q，则实数m的取值范围是_考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围答案1，)解析由x2x20，解得x1或x2.q是p的充分不必要条件，m1.11有下列命题：“x2且y3”是“xy5”的充分条件；“b24ac0”是“一元二次不等式ax2bxc0的解集为R”的充要条件；“a2”是“直线ax2y0平行于直线xy1”的充分不必要条件；“xy1”是“lg xlg y0”的必要不充分条件其中真命题的序号为_考点充分条件、必要条件的判断题点充分、必要条件的判断答案解析当x2且y3时，xy5成立，反之不一定，所以“x2且y3”是“xy5”的充分不必要条件，故为真命题；不等式解集为R的充要条件是a0且b24ac0，故为假命题；当a2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则，所以a2，所以“a2”是“两直线平行”的充要条件，故为假命题；lg xlg ylg(xy)0，所以xy1且x0，y0，所以xy1必成立，反之不然，所以“xy1”是“lg xlg y0”的必要不充分条件，故为真命题综上可知，真命题是.三、解答题12判断下列各题中，p是q的什么条件(1)p：|x|y|，q：xy；(2)p：ABC是直角三角形，q：ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；(4)p：圆x2y2r2(r0)与直线axbyc0相切，q：c2(a2b2)r2.考点充分条件、必要条件的判断题点充分、必要条件的判断解(1)|x|y|xy，但xy|x|y|，p是q的必要不充分条件(2)ABC是直角三角形ABC是等腰三角形，ABC是等腰三角形ABC是直角三角形，p是q的既不充分也不必要条件(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形，四边形是矩形四边形的对角线互相平分，p是q的必要不充分条件(4)若圆x2y2r2(r0)与直线axbyc0相切，则圆心(0,0)到直线axbyc0的距离等于r，即r，c2(a2b2)r2；反过来，若c2(a2b2)r2，则r成立，说明圆x2y2r2(r0)的圆心(0,0)到直线axbyc0的距离等于r，即圆x2y2r2(r0)与直线axbyc0相切，故p是q的充要条件13已知p：2x23x20，q：x22(a1)xa(a2)0，且命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围解令Mx|2x23x20x|(2x1)(x2)0，Nx|x22(a1)xa(a2)0x|(xa)x(a2)0x|xa2或xa由已知pq且qp，得MN，或解得a2或a2，即a2.即实数a的取值范围是.四、探究与拓展14下列各题中，p是q的充要条件的是_(填序号)p：m2或m6，q：yx2mxm3有两个不同的零点；p：1，q：yf(x)为偶函数；p：cos cos ，q：tan tan ；p：ABA，q：UBUA.考点充分、必要条件的判断题点充要条件的判断答案解析对于，q：yx2mxm3有两个不同的零点q：m24(m3)0q：m2或m6p；对于，当f(x)0时，qp；对于，若，k(kZ)，则有cos cos ，但没有tan tan ，pq；对于，p：ABAp：ABq：UBUA.15已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要条件，求m的取值范围考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的取值范围解由x28x200，得2x10，Px|2x10由xP是xS的必要条件，知SP.则当0m3时，xP是xS的必要条件，即所求m的取值范围是0,3
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