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2017-2018学年上期高二期中考试文科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 中，角的对边分别为，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】在ABC中， ，则 ，由正弦定理可得： 故选C2. 等比数列中，若，则（ ）A. 64 B. -64 C. 32 D. -32【答案】A【解析】数列是等比数列，即 解得 那么 故选A3. 已知等差数列中，公差，则（ ）A. 5或7 B. 3或5 C. 7或-1 D. 3或-1【答案】D【解析】在等差数列中，公差，得 ，解得 或 故选D4. 中，,则（ ）A. 15 B. 9 C. -15 D. -9【答案】B【解析】中，则，如图所示； 故选B5. 已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 12【答案】B【解析】把 配方得 得到顶点坐标为 ，即 由 成等比数列，则 ，故选B6. 已知等差数列的公差为整数，首项为13，从第五项开始为负，则等于（ ）A. -4 B. -3 C. -2 D. -1【答案】A【解析】在等差数列中，由 ，得 ，得 ，公差 为整数， 故选A7. 已知中，角的对边分别为，已知，则此三角形（ ）A. 有一解 B. 有两解 C. 无解 D. 不确定【答案】C【解析】由正弦定理有，所以，而，所以角A的值不存在，此三角形无解。选C.8. 中，角的对边分别为，已知，则的形状是（ ）A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】由，可得 ，正弦定理，可得a 即 当 时，的形状是等腰三角形，当 时，即 ，那么 ，的形状是直角三角形故选C【点睛】本题考查正弦定理和三角形内角和定理的运用解题的关键是得到一定要注意分类讨论9. 中，角的对边分别为，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为三角形内角和为，所以,由正弦定理的推论有，选A.10. 九章算术中有“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”这个问题中，甲所得为（ ）A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱【答案】B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又 ,则,故选B.11. 已知构成各项均为正数的等比数列，且公比，若去掉该数列中一项后剩余三个数仍按原顺序排列是等差数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得，这4项分别为，若去掉第一项，则构成等差数列，解得（舍去），或（舍去），；若去掉第二项，则构成等差数列，解得（舍去），或（舍去），或；若去掉第三项，则构成等差数列，解得，或（舍去），或（舍去）；若去掉第四项，则构成等差数列，解得（舍去），所以满足题意的，选D.点睛：本题主要考查等比数列的定义及通项公式，等差数列的定义和性质，体现了分类讨论思想，属于基础题。12. 已知锐角中，角的对边分别为，若，则的面积的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】， 由题 为锐角，可得 由正弦定理可得 ，可得： .可得 故选C第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知等差数列的前项和为，则_【答案】 【解析】当时，当时，因为是等差数列，所以，。14. 中，角的对边分别为，若，则_【答案】 【解析】由正弦定理及可得，又，所以，即,由余弦定理可得，则，应填答案。15. 数列满足（且），则_【答案】2【解析】由已知有，当时，所以，所以，所以，数列是周期数列，故。16. 中，角的对边分别为,下列四个论断正确的是_（把你认为正确论断的序号都写上）若，则；若，,则满足条件的三角形共有两个；若成等差数列，成等比数列，则为正三角形；若，,的面积，则.【答案】【解析】对于，由正弦定理有，所以，正确；对于，由正弦定理有，所以,由于，所以满足条件的三角形只有一个，错误；对于，由已知有，所以，又，则，为正三角形，故正确；对于，由，所以，则，故错误，综上情况，正确的有。点睛：本题主要考查解三角形，涉及的知识点有正弦定理和三角形面积公式等，属于中档题。三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在中，角的对边分别为，且满足.（1）求角；（2）若的面积，求边.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）根据 利用二倍角和诱导公式化简可得角（2）根据 ，即可求解边的值试题解析：（1）解得或，.（2），即， ，解得.18. 已知等差数列前项和，等比数列前项和为，.（1）若，求数列的通项公式；（2）若，求.【答案】(1) (2) 当时，；当时，此时.【解析】试题分析：（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，由已知条件求出，再写出通项公式；（2）由，求出的值，再求出的值，求出。试题解析：设等差数列公差为，等比数列公比为有，即.（1），结合得，.（2），解得或3，当时，此时；当时，此时.19. 在等差数列中，其前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和，并证明.【答案】(1) (2)详见解析试题解析：（1）设等差数列的公差为，则由及等差数列的通项公式，得，又，解得，则；（2）由（1）知，即 ，则 .所以.20. 在中，角的对边分别为，且.（1）判断的形状并加以证明；（2）当时，求周长的最大值.【答案】(1)详见解析(2) 时，最大且最大值为【解析】试题分析：（1）由已知条件求出，为直角三角形；（2）当时，周长，时，最大且最大值为。试题解析：（1），即，故，又，即，为直角三角形.（2）为直角的斜边，当时，.，即时，最大且最大值为.点睛：本题主要考查解三角形，有余弦定理、勾股定理等，属于中档题。解答本题的关键是灵活掌握三角函数中的公式。21. 轮船从某港口将一些物品送到正航行的轮船上，在轮船出发时，轮船位于港口北偏西且与相距20海里的处，并正以30海里的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船沿直线方向以海里/小时的航速匀速行驶，经过小时与轮船相遇.（1）若使相遇时轮船航距最短，则轮船的航行速度大小应为多少？（2）假设轮船的最高航速只能达到30海里/小时，则轮船以多大速度及什么航行方向才能在最短时间与轮船相遇，并说明理由.【答案】(1) 轮船以海里/小时的速度航行，相遇时轮船航距最短. (2) 航向为北偏东，航速为30海里/小时，轮船能在最短时间与轮船相遇.【解析】试题分析：（1）设两轮船在处相遇，在 中，利用余弦定理得出关于t的函数，从而得出的最小值及其对应的，得出速度；（2）利用余弦定理计算航行时间，得出 距离，从而得出 的度数，得出航行方案试题解析：（1）设相遇时轮船航行的距离为海里，则 .当时，即轮船以海里/小时的速度航行，相遇时轮船航距最短.（2）设轮船与轮船在处相遇，则 ，即.，即，解得，又时，时，最小且为，此时中，航向为北偏东，航速为30海里/小时，轮船能在最短时间与轮船相遇.22. 已知正项等差数列的前项和为，若，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记的前项和，求.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（）由和可得，即；又，成等比数列，得，综合起来可求得即可.（）由已知可求出，即数列是由等差数列和等比数列组合而成，前项和为可由错位相减法求得.试题解析：（），即，所以， 2分又，成等比数列，即， 4分解得，或（舍去），故； 6分（）法1：， 得，得， 12分考点：1.等差数列和等比数列的性质；2. 求数列前n项和.
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