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安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测数学理试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知为虚数单位，则（ ）A. 5 B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得：.本题选择A选项.2. 已知等差数，若，则的前7项的和是（ ）A. 112 B. 51 C. 28 D. 18【答案】C【解析】由等差数列的通项公式结合题意有：，求解关于首项、公差的方程组可得：，则数列的前7项和为：.本题选择C选项.3. 已知集合是函数的定义域，集合是函数的值域，则（ ）A. B. C. 且 D. 【答案】B【解析】函数有意义，则：，即，结合二次函数的性质可得函数的值域为，即：，结合交集的定义可得：.本题选择B选项.4. 若双曲线的一条渐近线方程为，该双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】双曲线的焦点位于轴，则双曲线的渐近线为，结合题意可得：，双曲线的离心率：，本题选择C选项.5. 执行如图程序框图，若输入的等于10，则输出的结果是（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】C【解析】结合流程图可知程序运行如下：首先初始化数据，此次循环满足，执行：，；此次循环满足，执行：，；此次循环满足，执行：，；此次循环满足，执行：，；此时的值出现循环状态，结合输入的值为，而可知最后一次循环时：执行：，；此次循环不满足，输出.本题选择C选项.6. 已知某公司生产的一种产品的质量(单位：克)服从正态分布.现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在内的产品估计有（ ）（附：若服从，则，）A. 3413件 B. 4772件 C. 6826件 D. 8185件【答案】D【解析】由题意可得，该正态分布的对称轴为，且，则质量在内的产品的概率为，而质量在内的产品的概率为，结合对称性可知，质量在内的产品估计有，据此估计产品的数量为：件.本题选择D选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.7. 将函数的图像先向右平移个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，得到的图像，则的可能取值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意结合辅助角公式有：，将函数的图像先向右平移个单位，所得函数的解析式为：，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，所得函数的解析式为：，而，据此可得：，据此可得：.本题选择D选项.8. 已知数列的前项和为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得：，两式作差可得：，即，结合可得：，则数列是首项为，公比为的等比数列，据此有：，.本题选择A选项.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可得，该几何体是一个组合体，左右两端为半径为的半球，中间部分为底面半径为，高为的半个圆柱，其中球的表面积，半圆柱的侧面积，半圆柱裸露的面积，半球裸露的面积，综上可得，该几何体的表面积.本题选择C选项.10. 已知直线与曲线相切(其中为自然对数的底数)，则实数的值是（ ）A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B【解析】由函数的解析式可得：，则切线的斜率：，令可得：，则函数在点，即处的切线方程为：，整理可得：,结合题中所给的切线的斜率有：.本题选择B选项.11. 某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在两种设备上加工，生产一件甲产品需用设备2小时，设备6小时；生产一件乙产品需用设备3小时，设备1小时. 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ）A. 320千元 B. 360千元 C. 400千元 D. 440千元【答案】B【解析】设生产甲、乙两种产品x件,y件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：，原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数的最大值.绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点处取得最大值：千元.本题选择B选项.点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数12. 已知函数(其中为自然对数的底数），若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】考查函数，求导可得，.函数是定义在上关于轴对称的偶函数，分别对应建立两个平面直角坐标系，第一个坐标系按照我们熟悉的坐标系绘制函数的图像，第二个坐标系以水平方向为轴方向，以竖直方向为轴方向，在第一个坐标系中绘制函数的图像，在第二个坐标系中绘制函数的图像，如图所示的直线位置处可以找到满足题意的方程的四个零点，函数零点的值为点处的横坐标，观察可得，的取值范围为，其中，题中直线为临界条件，临界条件处：，.结合选项，满足所得结论形式的区间只有D选项.本题选择D选项.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若平面向量满足，则_【答案】【解析】由题意可得：，两式作差可得：.14. 已知是常数，且，则_【答案】3【解析】所给的等式中，令可得：，令可得：，结合题意有：，求解关于实数的方程可得：.15. 抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过抛物线上一点(第一象限内)作的垂线,垂足为.若四边形的周长为16，则点的坐标为_【答案】【解析】由抛物线的方程可知焦点坐标为，准线方程为，设点的坐标为，由题意结合抛物线的定义可得：，则四边形的周长为,整理可得：，则点的坐标为.16. 在四面体中，二面角的大小为,则四面体外接球的半径为_【答案】【解析】过等边三角形的中心作平面的垂线，取的中点，过点做平面的垂线，设，由几何关系可知：点为四面体外接球的球心，ABD是边长为2的等边三角形，则,二面角的大小为,则，据此，在中，四面体外接球的半径为.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知的内角的对边分别为，.（1）求角；（2）若，求的周长的最大值.【答案】(1) （2）【解析】试题分析：（1）根据正弦定理边化角可得：，整理计算有，则.（2）由（1）的结论结合余弦定理得，即，结合均值不等式可知 (当且仅当时等号成立），则周长的最大值为.试题解析：（1）根据正弦定理，由已知得：，即，从而.，.（2）由（1）和余弦定理得，即，即 (当且仅当时等号成立）.所以，周长的最大值为.18. 2014年9月，国务院发布了关于深化考试招生制度改革的实施意见.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目 并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科 学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获等的概率都是0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获等的概率都是0.75,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量表示他所选考的三个科目中考试成绩获等的科目数，求的分布列和数学期望.【答案】(1) （2），分布列见解析【解析】试题分析：(1)由题意结合对立事件计算公式可知该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为；(2)由题意可知，随机变量的所有可能取值有0, 1，2，3.计算相应的概率值为,，据此可得分布列，然后计算数学期望为.试题解析：（1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件，则，所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为.（2）随机变量的所有可能取值有0, 1，2，3.因为,，所以的分布列为所以.19. 如图，在多面体中，是正方形，平面，平面，点为棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)见解析（2）【解析】试题分析：（1）连结，交于点，由三角形中位线的性质可得平面,由线面垂直的性质定理可得为平行四边形，则，结合面面平行的判断定理有平面.最后，利用面面平行的判断定理可得平面平面.（2）利用两两垂直建立空间直角坐标系，利用空间几何关系可得平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值.试题解析：（1）证明：连结，交于点，为的中点，.平面，平面，平面.都垂直底面，.，为平行四边形，.平面，平面，平面.又，平面平面.（2）由已知，平面，是正方形.两两垂直，如图，建立空间直角坐标系.设，则，从而，设平面的一个法向量为，由得.令，则，从而.，设与平面所成的角为，则，所以，直线与平面所成角的正弦值为.20. 在平面直角坐标系中，圆交轴于点，交轴于点.以为顶点，分别为左、右焦点的椭圆，恰好经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设经过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.【答案】(1) （2）当直线的斜率为时，可使的面积最大，其最大值.【解析】试题分析：（1）由已知可得，椭圆的焦点在轴上.设椭圆的标准方程为，易知，结合椭圆过点，可得椭圆的标准方程为.（2）由题意可知直线的斜率存在.设直线方程为，.联立直线方程与椭圆方程有.直线与椭圆交于不同的两点，则，由弦长公式可得，而点到直线的距离，据此可得面积函数.换元令，结合二次函数的性质可得当直线的斜率为时，可使的面积最大，其最大值.试题解析：（1）由已知可得，椭圆的焦点在轴上.设椭圆的标准方程为，焦距为，则，椭圆的标准方程为.又椭圆过点，解得.椭圆的标准方程为.（2）由于点在椭圆外，所以直线的斜率存在.设直线的斜率为，则直线，设.由消去得，.由得，从而，.点到直线的距离，的面积为.令，则， ，当即时，有最大值，此时.所以，当直线的斜率为时，可使的面积最大，其最大值.点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题21. 已知.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求的值.【答案】(1)见解析（2）【解析】试题分析：（1）的定义域为，求导可得.则考查函数的单调性只需考查二次函数的性质可得：当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.（2）原问题等价于，恒成立. 构造函数，令，则， ，即在时取得最大值.由解得.经检验可得a=1符合题意.故.试题解析：（1）的定义域为，.令，则（a）若，即当时，对任意，恒成立， 即当时，恒成立（仅在孤立点处等号成立）.在上单调递增.（b）若，即当或时，的对称轴为.当时，且.如图，任意，恒成立， 即任意时，恒成立，在上单调递增.当时， ，且.如图，记的两根为 当时，；当时，.当时，当时，.在和上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.（2）恒成立等价于，恒成立. 令，则恒成立等价于， . 要满足式，即在时取得最大值.由解得.当时，当时，；当时，.当时，在上单调递增，在上单调递减，从而，符合题意.所以，.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系中，曲线 (为参数)，在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1）求曲线的普通方程；（2）若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求的最小值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）的极坐标方程即，利用极坐标方程与普通方程的关系可得曲线的普通方程为. （2）由（1）可知，圆的圆心为，半径为1. 设曲线上的动点，由动点在圆上可得：.由三角函数的性质可得，则的最小值为.试题解析：（1）由得：.因为，所以， 即曲线的普通方程为. （2）由（1）可知，圆的圆心为，半径为1. 设曲线上的动点，由动点在圆上可得：. 当时，.23. 已知函数.（1）解关于的不等式；（2）若关于的不等式的解集不是空集，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由不等式的性质零点分段可得不等式的解集为.（2）原问题等价于结合绝对值三角不等式的性质可得，当且仅当时等号成立，则的取值范围是.试题解析：（1），或或或 ，所以，原不等式的解集为.（2）由条件知，不等式有解，则即可.由于，当且仅当，即当时等号成立，故.所以，的取值范围是.
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