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齐齐哈尔市20172018学年度高一下学期期末考试数学试卷第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：化简集合A，然后求交集即可.详解：由题意可知：，又故选：D点睛：本题考查交集及其运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题2. 张丘建算经中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织尺布，一个月（按天计）共织尺布，则从第天起每天比前一天多织布（ ）A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺【答案】D【解析】依题意可知这是首项为，公差为的等差数列，所以，解得.3. 若三点、共线，则有（ ）A. ， B. C. D. 【答案】C【解析】因为三点, ,共线，所以 ，因此选C.4. 已知角为第二象限角，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由同角三角函数的基本关系可得tana，代入二倍角的正切公式可得详解：a是第二象限角，且sina=，cosa=，tana=，tan2a=2=故选：A点睛：本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，考查计算能力，属于基础题5. 在中，若，则与的关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用正弦定理及大边对大角即可得到结果.详解：由正弦定理知，sinAsinB，ab，AB故选：B点睛：本题考查了正弦定理的简单应用，属于基础题.6. 在等比数列中，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用等比数列的性质计算即可.详解：设公比为q，a3+a3q2+a3q4=21，3+3q2+3q4=21，解得q2=2a5=a3q2=32=6，故选：A 点睛：比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：化基本量求通项求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解化基本量求特定项利用通项公式或者等比数列的性质求解化基本量求公比利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解化基本量求和直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解7. 已知，若，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由向量垂直的条件：即数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到t详解：由（+）（+t），可得（+）（+t）=0，即有+t+（1+t）=0，又，即4+4t（1+t）=0，解得t=1故选：C点睛：本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题8. 函数的部分图象如图所示，若，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由图象可得A=1，由周期公式可得=2，代入点（，0）可得值，进而可得f（x）=sin（2x+），再由题意可得x1+x2=，代入计算可得详解：由图象可得A=1，=，解得=2，f（x）=sin（2x+），代入点（，0）可得sin（+）=0+ =k， =k，kZ又| |， =，f（x）=sin（2x+），sin（2+）=1，即图中点的坐标为（，1），又，且f（x1）=f（x2）（x1x2），x1+x2=2=，f（x1+x2）=sin（2+）=，故选：B点睛：已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.9. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：函数有两个零点，构造函数h（x）=x+（x0）和g（x）=t，相当于函数在x0时，图象有两个交点.详解：函数有两个零点，h（x）=x+（x0）和g（x）=t有两个交点，h（x）=x+2=，t，t故选：D点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解10. 已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B详解：如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则PQM为直角三角形；PQ=1，MQ=AC，ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC22ABBCcosABC=4+1221（）=7，AC=，MQ=；在MQP中，MP=；在PMN中，由余弦定理得cosMNP=；又异面直线所成角的范围是（0，AB1与BC1所成角的余弦值为点睛：求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角4结论11. 若等边的边长为，为的中点，且上一点满足：，则当取得最小值时，（ ）A. B. C. D. 【答案】C详解：如图，可知，x0，y0；M，A，B三点共线，且；x+y=1；=10+，当，即3y=x时取“=”，即取最小值；此时x=，；N是AB的中点；=故选：C点睛：考查向量加法的平行四边形法则，三点A，B，C共线的充要条件：，且x+y=1，基本不等式的运用，注意基本不等式等号成立的条件，向量数量积的运算及计算公式12. 已知函数若对任意的，都有，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：对任意的x1、x2R，都有f（x1）g（x2）f（x）maxg（x）min，分别求出最值即可得出详解：对任意的x1、x2R，都有f（x1）g（x2）f（x）maxg（x）min，注意到，又g（x）=|a2|sinx|a2|，故故选：D点睛：本题考查了函数的单调性、等价转化方法、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数的最大值是_【答案】【解析】分析：利用两角和正弦公式简化为y=，从而得到函数的最大值.详解：y=sinx+cosx=函数的最大值是故答案为：点睛：本题考查了两角和正弦公式，考查了正弦函数的图象与性质，属于基础题.14. 设是定义在上的周期为的周期函数，如图表示该函数在区间上的图象，则_【答案】2【解析】分析：由题意结合函数的周期性和函数的图象整理计算即可求得结果详解：由题意可得：f（2018）=f（20186733）=f（1）=2，f（2019）=f（20196733）=f（0）=0，则故选：D点睛：本题考查了函数的周期性，函数的图象表示法等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题15. 设，满足约束条件若目标函数的最大值为，则实数_【答案】1【解析】分析：先作出不等式组的图象，利用目标函数的最大值为2，求出交点坐标，代入 =0即可详解：先作出不等式组的图象如图，目标函数的最大值为2，z= =2，作出直线 =2，由图象知 =2如平面区域相交A，由得，即A（，），同时A（，）也在直线 =0上，23 =0，则b=1，故答案为：1点睛：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及目标函数的意义是解决本题的关键16. 已知三棱锥中，顶点在底面的射影为.给出下列命题：若、两两互相垂直，则为的垂心；若、两两互相垂直，则有可能为钝角三角形；若，且与重合，则三棱锥的各个面都是直角三角形；若，且为边的中点，则.其中正确命题的序号是_（把你认为正确的序号都填上）【答案】【解析】分析：利用线面垂直的判定与性质定理逐一判断即可.详解：若PA，PB，PC两两互相垂直，容易推出AHBC，同理BHAC，可得H是ABC的垂心，正确；若、两两互相垂直，P在底面是射影H在ABC的内部，是三角形ABC的垂心，所以不可能是钝角三角形，不正确；若与重合则PA平面ABC，所以PAAC，PAAB，PABC，又BCAC，所以BC平面PAC，所以BCPC，故四个面都是直角三角形，正确；当PH平面ABC时，PA2=PH2+HA2，PB2=PH2+BH2，PC2=PH2+CH2，因为H是RtABC斜边AB的中点，所以BH=AH=CH，故PA=PB=PC，故正确；点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知直线及点.（1）求经过点，且与直线平行的直线方程；（2）求经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的倍的直线方程.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）根据平行关系求出直线的斜率，利用点斜式求出方程即可；（2）利用二倍角正切公式求出直线的斜率，利用点斜式求出方程即可.详解：（答案一）解：（1）设直线的斜率为，则因为所求直线与平行，所以所求直线的斜率，又所求直线经过点，所以所求直线方程为 （2）依题意，所求直线的斜率又所求直线经过点，所以所求直线方程为 （答案二）解：（1）设直线的斜率为，则因为所求直线与平行，所以所求直线的斜率，又所求直线经过点，所以所求直线方程为，即（2）依题意，所求直线的斜率又所求直线经过点，所以所求直线方程为，即点睛：本题考查了求直线方程问题，考查直线的倾斜角问题，属于基础题18. 已知是公比为正数的等比数列，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）依题意，可求得等比数列an的公比q=2，又a1=2，于是可求数列an的通项公式；（2），利用裂项相消法求和即可.详解：（1）设数列的公比为，依题意，有整理得，解得（舍去），所以数列的通项公式为（2）由（1）知所以所以点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19. 如图，三棱柱中，点为的中点.（1）求证：平面；（2）若底面为正三角形，侧面底面，求四棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：(1) 连结，设，连结要证平面，转证即可；（2）因为侧面底面，所以正的高就是点到平面的距离,故，带入体积公式即可得到结果.详解：证明：（1）连结，设，连结因为为平行四边形，所以为中点，从而为的中位线，所以因为平面，平面，所以平面（2）因为侧面底面，所以正的高就是点到平面的距离,也就是四棱锥的高，由条件得因为，所以，所以四棱锥的底面积所以四棱锥的体积点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法分割法、补形法、等体积法. 割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值20. 在中，角、的对边分别是、，若、成等差数列.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由等差数列和正弦定理以及和差角的三角函数公式可得cosB，由三角形的内角的范围可得B=；（2）把已知数代入余弦定理整体可得ac=6，代入三角形的面积公式可得详解：（1）因为，成等差数列，所以，由正弦定理得，即，因为，所以，又，所以（2）由余弦定理：，得，即因为，所以所以点睛：本题考查正余弦定理解三角形，涉及整体思想和三角形的面积公式，属于中档题21. 如图，四棱锥中，底面，.（1）若，求证：平面平面；（2）若，且，求直线和平面所成角的正切值.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）设，由条件推断出ACBD，根据线面垂直的性质推断出PABD，进而利用线面垂直的判定定理推断出BD平面PAC，又BD平面PBD，推断出平面PBD平面PAC（2）取点，使，连，则，连因为底面，所以底面，所以就是直线与平面所成的角详解：证明：（1）设，若，则，从而， 所以，即因为底面，所以又，所以平面，因为平面，所以平面平面（2）取点，使，连，则，连因为底面，所以底面，所以就是直线与平面所成的角因为，所以，所以，在中，根据余弦定理，得，解得所以所以当时，直线与平面所成角的正切值为点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.22. 平面内动点到两定点，距离之比为常数，则动点的轨迹叫做阿波罗尼斯圆.现已知定点、，圆心为，（1）求满足上述定义的圆的方程，并指出圆心的坐标和半径；（2）若，且经过点的直线交圆于，两点，当的面积最大时，求直线的方程.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）根据定义建立等量关系，化简即可得到圆的方程，进而指出圆心的坐标和半径；（2）设，则的面积，根据正弦函数的最值得到结果.详解：（1）设动点，则，整理得，圆心，半径（2）解法一：在（1）的结果中，令，则得圆的方程为，即.设，则的面积当时，的面积取得最大值8此时，直线的斜率存在，设其方程为，圆心到直线的距离，整理得，解得所以直线的方程为（2）解法二：在（1）的结果中，令，则得圆的方程为，即（）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，可得弦长，所以 （）当直线的斜率存在时，设的方程为，圆心到直线的距离，从而弦长所以，当且仅当，即时，的面积取得最大值8因为，所以面积的最大值为8，此时，由，解得所以直线的方程为点睛：锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围
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