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6.4平面向量的应用最新考纲考情考向分析会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.1向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos(为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|，其中a(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题2向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体3向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题概念方法微思考1根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？提示(1)线段的长度问题(2)直线或线段平行问题(3)直线或线段垂直问题(4)角的问题等2如何用向量解决平面几何问题？提示用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题，最后把运算结果“翻译”成几何关系题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，则A，B，C三点共线()(2)在ABC中，若0，n0，则由2，得(n,0)(m2，m)2(n,0)(m，m)，所以n(m2)2nm，化简得m2.故(m，m)(m2，m)2m22m12.(2)(2018浙江联盟校联考)已知动点P是边长为的正方形ABCD的边上任意一点，MN是正方形ABCD的外接圆O的一条动弦，且MN，则的取值范围是_答案解析如图，取MN的中点H，连接PH，则，因为MN，所以222，当且仅当点P，H重合时取到最小值当P，H不重合时，连接PO，OH，易得OH，则2()222222|cosPOH2|cosPOH2|，当且仅当P，O，H三点共线，且P在A，B，C，D其中某一点处时取到等号，所以21，故的取值范围为.命题点2三角形的“四心”例2已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A内心B外心C重心D垂心答案C解析由原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心引申探究1在本例中，若动点P满足，(0，)，则如何选择？答案A解析由条件，得，即，而和分别表示平行于，的单位向量，故平分BAC，即平分BAC，所以点P的轨迹必过ABC的内心2在本例中，若动点P满足，(0，)，则如何选择？答案D解析由条件，得，从而0，所以，则动点P的轨迹一定通过ABC的垂心命题点3平面向量与解三角形例3(1)O是ABC的外心(三角形外接圆的圆心)若，则BAC等于()A30B45C60D90答案C解析取BC的中点D，连接AD，则2.由题意得32，AD为BC的中线且O为重心又O为外心，ABC为正三角形，BAC60，故选C.(2)在ABC中，AB8，AC6，AD垂直BC于点D，E，F分别为AB，AC的中点，若6，则BC等于()A2B10C2D14答案A解析由题意，知DEAE4，DFAF3，|cosEDF|6，|，BC2.思维升华向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解跟踪训练1 (1)(2018杭州二模)设P为ABC所在平面上一点，且满足34m(m0)若ABP的面积为8，则ABC的面积为_答案14解析由34m，可得，可设，则D，A，C共线，且D在线段AC上，可得，D分AC的比为43，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的倍，故SABCSABP814.(2)(2018浙江十校联盟适应性考试)已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DEEA，CF2FB，如果对于常数，在正方形ABCD的四条边上(不含顶点)有且仅有2个不同的点P，使得，则的取值范围为_答案解析由题意作出图形如图所示，连接EF，取EF的中点G，连接PG，则()()()()22222.由已知和图形可得以点G为圆心，PG为半径的圆只能与AB相交，与BC，AD，CD相离，得PG，易得.题型二向量在解析几何中的应用命题点1向量共线的应用例4 (1)已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，且A，B，C三点共线，当k0时，若k为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_(2)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_答案(1)2xy30(2)(2,4)解析(1)(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)670，解得k2或k11.由k0，n0)，则mn1，(x，n)，(mx，n)2x2mxn2m22n2m2n2m2，而n2m2mn，故当x且nm，即当m，n，x时，2取最小值.(2)(2018绍兴、诸暨期末)已知ABC，满足，点D为线段AB上一动点，若的最小值为3，则ABC的面积S等于()A9B9C18D18答案D解析因为，所以由平面向量的基本定理得，记|3m，|2m(其中m0)，则由|m，得cosA，设t(1t0)，故t(t)3m2(3t2t)m23，即m212，因此SABC|sinA18，故选D.思维升华向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用：利用abab0(a，b为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法跟踪训练2 (1)已知点A在椭圆1上，点P满足(1)(R)(O是坐标原点)，且72，则线段OP在x轴上投影的最大值为_答案15解析因为(1)，所以，即O，A，P三点共线，因为72，所以|272，设A(x，y)，OA与x轴正方向的夹角为，线段OP在x轴上的投影为|cos|x|15，当且仅当|x|时取等号(2)(2018浙江宁波高三适应性考试)已知点M为单位圆x2y21上的动点，点O为坐标原点，点A在直线x2上，则的最小值为_答案2解析由题意得()|2|2|cos，其中为向量和的夹角，因为点A在直线x2上，所以|2，则由二次函数的性质易得当|2时，|2|cos取得最小值42cos，则当cos1，即向量和方向相反时，取得最小值2.1在ABC中，()|2，则ABC的形状一定是()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形答案C解析由()|2，得()0，即()0,20，A90.又根据已知条件不能得到|，故ABC一定是直角三角形2已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x2，则点P的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线D抛物线答案D解析(2x，y)，(3x，y)，(2x)(3x)y2x2，y2x6，即点P的轨迹是抛物线3(2018湖州质检)已知O是ABC的外心，C45，若mn(m，nR)，则mn的取值范围是()A， B，1)C，1) D(1，答案B解析O是ABC的外心，C45，AOB90，又mn，两边平方可得m2n21，(mn)22(m2n2)2，当且仅当mn时，等号成立，mn.又由题意可知，m，n不能同时为正，mn1，故mn的取值范围是，1)4(2018温州高考适应性测试)如图，已知ABC的边BC的垂直平分线交BC于点Q，交AC于点P，若|1，|2，则的值为()A3B.C.D.答案B解析连接AQ，因为PQ垂直平分BC，所以，()，所以()()()(22)(2212).故选B.5过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，48，则抛物线的方程为()Ay28xBy24xCy216xDy24x答案B解析如图所示，由，得F为线段AB的中点，|AF|AC|，ABC30，由48，得|BC|4.则|AC|4，由中位线的性质，有p|AC|2，故抛物线的方程为y24x.故选B.6(2018浙江六校协作体联考)已知O为坐标原点，(3,1)，|，当AOB的面积取得最大值时，等于()A(2，4) B(4,2)C(2，4)或(4,2) D(2，4)或(4,2)答案C解析方法一由于|，则点B在以点O(0,0)为圆心，为半径的圆上，由数形结合易知，要使AOB的面积取得最大值，则需满足.设(a，b)，则解得或当时，(1，3)，则(1，3)(3,1)(2，4)；当时，(1,3)，则(1,3)(3,1)(4,2)综上，(2，4)或(4,2)故选C.方法二由于|，则点B在以点O(0,0)为圆心，为半径的圆上，由数形结合易知，要使AOB的面积取得最大值，则需满足.在平面直角坐标系中，画出向量，当如图1所示时，过点A作AAx轴于点A，过点B作BBx轴于点B，则OBBAOA，又|，所以RtAOARtOBB，则|OB|AA|1，|BB|OA|3，所以B(1，3)，(1，3)，(1，3)(3,1)(2，4)，当如图2所示时，同理可得B(1,3)，(1,3)，(1,3)(3,1)(4,2)，综上，(2，4)或(4,2)故选C.7已知向量(3，4)，(0，3)，(5m，3m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是_答案m解析由题意得(3,1)，(2m,1m)，若A，B，C能构成三角形，则，不共线，则3(1m)1(2m)，解得m.8(2009浙江改编)设向量a，b满足：|a|3，|b|4，ab0，以a，b，ab的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为_答案4解析由|a|3，|b|4及ab0知ab，故a，b，ab构成直角三角形，且|ab|5.又其内切圆半径为1.如图所示将内切圆向上或向下平移可知该圆与该直角三角形最多有4个交点9已知圆C：(x2)2y24，圆M：(x25cos)2(y5sin)21(R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则的最小值是_答案6解析圆C：(x2)2y24的圆心为C(2,0)，半径等于2，圆M：(x25cos)2(y5sin)21，圆心M(25cos，5sin)，半径等于1.|CM|521，两圆相离如图所示，设直线CM和圆M交于H，G两点，则的最小值是.|HC|CM|1514，|HE|HF|2，sinCHE，cosEHFcos2CHE12sin2CHE，|cosEHF226.10已知点D为ABC所在平面上一点，且满足，若ACD的面积为1，则ABD的面积为_答案4解析由，得54，所以4()，即4.所以点D在边BC上，且|4|，所以SABD4SACD4.11已知直线2xy20与x轴、y轴的交点分别为A，B，椭圆1(ab0)的左焦点F1和上顶点D，若0，则该椭圆的离心率e_.答案解析因为直线2xy20与x轴、y轴的交点分别为A，B，所以A(1,0)，B(0，2)，又F1(c,0)，D(0，b)，所以(c,2)，(1，b)因为0，所以c2b0，所以，即，所以，所以该椭圆的离心率e.12.如图，设正BCD的外接圆O的半径为R，点A在BD下方的圆弧上，则的最小值为_答案解析因为|2|(|1)2，因为R|2R，而R0，b0)的左、右焦点，点P在第一象限，且满足|a，()0，线段PF2与双曲线C交于点Q，若5，则双曲线C的渐近线方程为()AyxByxCyxDyx答案B解析由()0，可得|2c，|QF1|a，|QF2|，在QF1F2中，由余弦定理得，cosF1F2Q，即，ca，ba，双曲线的渐近线方程为yx.14(2018浙江杭州市地区联考)在ABC中，AB5，AC4，BAC60，M为ABC内一点，SMABSMCBSMAC123，则等于()A.BC.D答案C解析如图，延长BM交AC于点D，由SMABSMCBSMAC123，可得SMACSCAB，所以M为BD的中点，设k，则SABDkSCBD，SAMDkSCMD，两式相减得SMABkSMCB，故k.所以，.所以22162554.15(2018杭州市高级中学仿真测试)记mina，b已知向量a，b，c满足|a|1，|b|2，且ab1，若cab(，0，且21)，则当minac，bc取最大值时，|c|_.答案1解析设向量a与b的夹角为，则ab|a|b|cos2cos1，所以cos，所以60，不妨设a(1,0)，b(1，)，则c(，)(1，)，所以ac1，bc12.由0，得112，所以minac，bc1，因为120，解得，所以，所以当0时，minac，bc取得最大值，此时c(1,0)，则|c|1.16(2018台州质检)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P是其外接圆O上的任意一点，若a2，bc，则222的最大值为_答案解析以BC的中点O为原点，以所在方向为x轴正方向，所在方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，则A(0,2)，B(，0)，C(，0)，可得外接圆的圆心O为，半径为，所以圆O的方程为x22.设P，则，所以222222222sin.
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