上海市长宁区、嘉定区2018届高三数学上学期质量调研（一模）试题.doc

上海市长宁区、嘉定区2018届高三数学上学期质量调研（一模）试题一填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1已知集合，则_.2不等式的解集为_.3已知，则_.4_.5已知球的表面积为，则该球的体积为_.6. 已知函数，是函数的反函数，若的图像过点，则的值为_.7若数列为等比数列，且，则_.8在中，角、所对的边分别为、，若，则_.9若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于，则该展开式中常数项的值为_.10已知函数是定义在上且周期为的偶函数当时，则的值为_.11已知数列的前项和为，且,（），若,则数列的前项和_.12若不等式对满足的任意实数，恒成立，则实数的最大值为_.二选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13设角的始边为轴正半轴，则“的终边在第一、二象限”是“”的（ ）（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件14若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题一定正确的是（ ）（A）与、都不相交 （B）与、都相交（C）至多与、中的一条相交 （D）至少与、中的一条相交15对任意两个非零的平面向量和，定义，其中为和的夹角若两个非零的平面向量和满足：；和的夹角；和的值都在集合中则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）16已知函数且，则满足方程的根的个数为（ ）（A）个 （B）个 （C）个 （D）个三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，设长方体中，（1）求四棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）ABCDA1B1C1D118（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知复数满足，的虚部为2（1）求复数；（2）设在复平面上的对应点分别为，求的面积19（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）一根长为的铁棒欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽（1）设，试将表示为的函数；（2）求的最小值，并说明此最小值的实际意义20（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）已知函数（1）求证：函数是偶函数；（2）设，求关于的函数在时的值域的表达式；（3）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围21（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列满足：，（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，且满足，试确定的值，使得数列为等差数列；（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列，且，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列参考答案一填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1 2 34 5 67 8 910 11或 12二选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13A 14D 15B 16C三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤17（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）因为平面，所以就是四棱锥的高， （3分），所以 （6分）故四棱锥的体积为（2）连结、，因为，且，所以四边形是平行四边形，所以故或其补角就是异面直线与所成的角 （2分）在中， （4分）所以， （7分）所以，异面直线与所成角的大小为 （8分）18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）设（），则 （3分）解得或 （5分）所以或 （6分）（2）由（1）知，时， （1分）所以，（2分） （4分）当时， （5分）所以，（6分）（8分）19（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1），（分），（6分）（2）设，则，（2分）所以，此时 （4分）任取、，且，因为、，且，所以，故，即在时是减函数，所以（7分）最小值的实际意义是：在拐弯时，铁棒的长度不能超过，否则，铁棒无法通过也就说，能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为 （8分）20（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）（1）函数的定义域为，对任意，所以，函数是偶函数 （4分）（2），（1分）令，因为，所以，故，原函数可化为，图像的对称轴为直线，当时，函数在时是增函数，值域为； （3分）当时，函数在时是减函数，在时是增函数，值域为 （5分）综上，（3）由，得，（1分）当时，所以，所以，所以，恒成立（3分）令，则，由，得，所以， （6分）所以，即的取值范围为 （7分）21（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）（1）因为，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列 （2分）所以，又由题意，所以（） （4分）（2）由，得，故，即数列是首项为，公差为的等差数列，（2分）所以，令，得，若为等差数列，则，解得 （4分）当时，为等差数列所以，当时，数列为等差数列 （6分）（3），先证数列满足题意，即证此数列中的任何一项都是数列中的项 （2分）令，则只需证即可（3分）此时，故 （6分）所以，此数列中的第项是数列中的第项（7分）（也可以用数学归纳法证明能被整除，证明如下） 当时，能被整除； （4分） 假设当（）时结论成立，即能被整除，那么当时，因为与都能被整除，所以也能被整除，即时，结论也成立 （6分）由、知，当时，能被整除 （7分）因此，以为首项，为公比的无穷等比数列均满足题意，命题得证 （8分）（注：还可由，用二项展开式证明能被整除）